高中物理解题中涉及的数学知识.doc
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高中物理解题中涉及的数学知识
物理和数学是联系最密切的两门学科。
运用数学工具解决物理问题的能力,是中学物理教学的最基本的要求。
高中物理中用到的数学方法有:
方程函数的思维方法,不等式法,极限的思维方法,数形结合法,参数的思维方法,统计及近似的思维方法,矢量分析法,比例法,递推归纳法,等等。
现就“力学”与“电磁学”中常用数学知识进行归纳。
Ⅰ.力学部分:
静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量与几何、代数知识相结合,从而增大题目难度,更注重求极值的方法。
Ⅱ.电磁学部分:
电磁学中的平衡、加速、偏转及能量与圆的知识、三角函数,正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值(配方法或公式法)、均值不等式、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程(斜率,截距)、对称性、、数学归纳法及数学作图等联系在一起。
第一章解三角形三角函数
1、正弦定理:
在中,、、分别为角、、的对边,则有
(为的外接圆的半径)变形公式:
;
2、三角形面积公式:
.
3、余弦定理:
在中,有,推论:
4、均值定理:
若,,则,即.;
称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数.
5、均值定理的应用:
设、都为正数,则有
⑴若(和为定值),则当时,积取得最大值.
⑵若(积为定值),则当时,和取得最小值.
1、半径为的圆的圆心角所对弧的长为,则角的弧度数的绝对值是.
2、弧度制与角度制的换算公式:
,.
3、若扇形的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,,.
4、角三角函数的基本关系:
;.
5、函数的诱导公式:
,,.
,,.
,,.
,,.
,.,.
6、函数的性质:
①振幅:
;②周期:
;③频率:
;④相位:
;⑤初相:
.
第二章三角恒等变换
8、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴;⑵;
⑶;⑷;
9、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴.
⑵
升幂公式
降幂公式,.
⑶.
10、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的形式。
,其中.
第三章平面向量
1、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:
共起点.
⑶三角形不等式:
.
⑷运算性质:
①交换律:
;
②结合律:
;③.
⑸坐标运算:
设,,则.
2、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:
共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:
设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
第四章导数及其应用
1、定义:
在点处的导数记作;.
2、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.
3、常见函数的导数公式:
①;②;③;
4、求函数的极值的方法是:
解方程.当时:
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
5、求函数在上的最大值与最小值的步骤是:
求函数在内的极值;将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
第五章函数
一元二次不等式的解法
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根
无实根
的解集
或
的解集
(1)求函数的值域或最值
①观察法:
对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.
③判别式法:
若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程,
则在时,由于为实数,故必有,从而确定函数的值域或最值.
⑦数形结合法:
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
②顶点式:
③两根式:
(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
③若已知抛物线与轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求更方便.
(3)二次函数图象的性质
①二次函数的图象是一条抛物线,对称轴方程为顶点坐标是.
②当时,抛物线开口向上,当时,;
当时,抛物线开口向下,当时,.
③当时,图象与轴有两个交点.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、求函数的零点:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
.
1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点.
3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
空间几何
1、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,就是k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
2、直线的斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直
球的表面积球体的体积
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