高考数学圆锥曲线大题练习及解析.doc

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2013年高考数学压轴题圆锥曲线训练

注:

试题均为历年高考试题和模拟试题，精选其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1.已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

解：

（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．

设两点坐标分别为．

由得．

所以．

又因为边上的高等于原点到直线的距离．

所以，．

（Ⅱ）设所在直线的方程为，

由得．

因为在椭圆上，

所以．

设两点坐标分别为，

则，，

所以．

又因为的长等于点到直线的距离，即．

所以．

所以当时，边最长，（这时）

此时所在直线的方程为．

2.如图，椭圆：

的一个焦点为F（1，0），且过点．

y

x

A

B

M

F

N

l

O

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若为垂直于轴的动弦，直线：

与轴交

于点，直线与交于点．

（ⅰ）求证：

点恒在椭圆上；

（ⅱ）求面积的最大值．

（Ⅰ）由题设，，从而．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）（ⅰ）由题意得，，

设，则，．……①

与的方程分别为：

，

．

设，则有

由②，③得

y

x

A

B

M

F

N

O

，．

由于

．所以点恒在椭圆上．

（ⅱ）设的方程为，代入得．

设，，则有：

，．

y

x

A

B

M

F

N

O

．

令，则

，

因为，，所以当，即，时，

有最大值，此时过点．

的面积有最大值．

3.设椭圆中心在坐标原点，A（2,0）、B（0,1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.

（Ⅰ）若=6，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值。

22．（Ⅰ）解：

依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，． 2分

如图，设，其中，

D

F

B

y

x

A

O

E

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或． 6分

（Ⅱ）解法一：

根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

． 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分

解法二：

由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分

4.已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．

（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

22．解：

（Ⅰ）由题意得

又，

解得，．

因此所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）

（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，

．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，

所以，即，

因为是的垂直平分线，

所以直线的方程为，即，

因此，

又，

所以，

故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）当存在且时，由

（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：

由于

，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：

因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

5.已知抛物线：

，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：

抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解法一：

（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

x

A

y

1

1

2

M

N

B

O

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，

直线与抛物线相切，

，．即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，

．由（Ⅰ）知

．

轴，．

又

．

，解得．

即存在，使．

解法二：

（Ⅰ）如图，设，把代入得

．由韦达定理得．

，点的坐标为．，，

抛物线在点处的切线的斜率为，．

（Ⅱ）假设存在实数，使．

由（Ⅰ）知，则

，

，，解得．

即存在，使．

6.抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．

（1）证明三点共线；

（2）如果、、、四点共线，问：

是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？

如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

22．

（1）证明：

设，

则直线的方程：

即：

因在上，所以①

又直线方程：

由得：

所以

同理，

所以直线的方程：

令得

将①代入上式得，即点在直线上

所以三点共线

（2）解：

由已知共线，所以

以为直径的圆的方程：

由得

所以（舍去），

要使圆与抛物线有异于的交点，则

所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点

则，所以交点到的距离为

7.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

解：

（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．即．

（II）由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，

即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

O

y

x

1

l

F

8.如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．

（1）已知，，求的值；

（2）求的最小值．

解法一：

（Ⅰ）设点，则，由得：

，化简得．

（Ⅱ）

（1）设直线的方程为：

．

设，，又，

P

B

Q

M

F

O

A

x

y

联立方程组，消去得：

，，

由，得：

，，整理得：

，，

．

解法二：

（Ⅰ）由得：

，

，

，

．

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：

．

（Ⅱ）

（1）由已知，，得．

则：

．…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：

．…………②

由①②得：

，即．

（Ⅱ）

（2）解：

由解法一，

．

当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．

9.已知椭圆C:

=1（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

解：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．

（Ⅱ）设，．

（1）当轴时，．

（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．

当时，，综上所述．

当最大时，面积取最大值．

07天津（22）（本小题满分14分）

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求使得下述命题成立：

设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．

（Ⅰ）证法一：

由题设及，，不妨设点，其中

，由于点在椭圆上，有，，

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得

．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入原式并化简得，即．

证法二：

同证法一，得到点的坐标为，

过点作，垂足为，易知，故

由椭圆定义得，又，所以

，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：

圆上的任意点处的切线方程为．

当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组

的解．当时，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

．

若，则．

所以，．

由，得．在区间内此方程的解为．

当时，必有，同理求得在区间内的解为．

另一方面，当时，可推出，从而．

综上所述，使得所述命题成立．

10.设、分别是椭圆的左、右焦点．

（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．

（Ⅰ），，．∴，．设．则

，又，

联立，解得，．

（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．

联立

∴，

由

，，得．①

又为锐角，∴

又

∴

∴．②

综①②可知，∴的取值范围是．

11.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

A

B

x

y

N

C

O

解法1：

（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，

N

O

A

C

B

y

x

直线的方程为，与联立得消去得．

由韦达定理得，．

于是．

，

当，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

N

O

A

C

B

y

x

l

则，点的坐标为．

，

，

，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

解法2：

（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：

；（Ⅱ）求四边形ABCD面积最小值．

22．证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，，

；

因为与相交于点，且的斜率为．

所以，．四边形的面积

．

当时，上式取等号．

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．