高考北京理科数学试题及答案word解析版.docx
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理科)
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)【2013年北京,理1,5分】已知集合,,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】,故选B.
(2)【2013年北京,理2,5分】在复平面内,复数对应的点位于()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
【答案】D
【解析】,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.
(3)【2013年北京,理3,5分】“”是“曲线过坐标原点”的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵,∴,∴曲线过坐标原点,故充分性成立;∵过原
点,∴,∴,.故必要性不成立,故选A.
(4)【2013年北京,理4,5分】执行如图所示的程序框图,输出的值为()
(A)1(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】依次执行的循环为,;,;,,故选C.
(5)【2013年北京,理5,5分】函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线关于轴对称,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】依题意,向右平移1个单位之后得到的函数应为,于是相当于向左平移1个单位的结果,∴,故选D.
(6)【2013年北京,理6,5分】若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由离心率为,可知,∴.∴渐近线方程为,故选B.
(7)【2013年北京,理7,5分】直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积
等于()
(A)(B)2(C)(D)
【答案】C
【解析】由题意可知,的方程为.如图,点坐标为,
∴所求面积,故选C.
(8)【2013年北京,理8,5分】设关于,的不等式组,表示的平面区域内存在点,满足,求得的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含上的点,只需要可行域的边界点在下方,也就是,即,故选C.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
共6小题,每小题5分,共30分.
(9)【2013年北京,理9,5分】在极坐标系中,点到直线的距离等于.
【答案】
【解析】在极坐标系中,点对应直角坐标系中坐标为,直线对应直角坐标系中的方程为
,所以点到直线的距离为1.
(10)【2013年北京,理10,5分】若等比数列满足,,则公比;前项
和.
【答案】2;
【解析】由题意知.由,∴.∴.
(11)【2013年北京,理11,5分】如图,为圆的直径,为圆的切线,与圆相交于,若,,则________;______.
【答案】,
【解析】设,则.由切割线定理可得,,即,
可得.∴,.在中,AB=.
(12)【2013年北京,理12,5分】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.
【答案】96
【解析】连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有(种).
(13)【2013年北京,理13,5分】向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若
,则_______.
【答案】4
【解析】可设,,为单位向量且,则,.由,
∴,解得,∴.
(14)【2013年北京,理14,5分】如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为________.
【答案】
【解析】过点作垂直底面,交于点,连接,过点作垂直于底面
,交于点,点到直线CC1的距离就是,故当垂直于时,
点到直线距离最小,此时,在中,,,
∴.
三、解答题:
共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)【2013年北京,理15,13分】在中,,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
解:
(1)因为,,,所以在中,由正弦定理得.
所以.故.
(2)由
(1)知,cosA=,所以.又因为,所以.
.在中,..
(16)【2013年北京,理16,13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设是此人停留期间空气质量优良的天数,求的分布列与数学期
望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?
(结论不要求证明)
解:
设表示事件“此人于3月日到达该市”.根据题意,,且.
(1)设为事件“此人到达当日空气重度污染”,则..
(2)由题意可知,所有可能取值为0,1,2,且;
;
.所以X的分布列为:
X
0
1
2
P
故X的期望.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
(17)【2013年北京,理17,14分】如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形.平面平面,,.
(1)求证:
平面;
(2)求证二面角的余弦值.
(3)证明:
在线段上存在点,使得,并求的值.
解:
(1)因为为正方形,所以.因为平面平面,且垂直于这两个平面的交
线,所以平面.
(2)由
(1)知,.由题知,,,所以.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则,,,
.设平面的法向量为,则,即.
令,则,,所以.同理可得,平面的法向量为.
所以cos〈n,m〉=.由题知二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
(3)设是直线上一点,且,所以.
解得,,.所以.由,即,解得
.因为,所以在线段上存在点,使得.此时,.
(18)【2013年北京,理18,13分】设为曲线在点处的切线.
(1)求的方程;
(2)证明:
除切点之外,曲线在直线的下方.
解:
(1)设,则.所以.所以的方程为.
(2)令,则除切点之外,曲线在直线的下方等价于.
满足,且.当时,,,所以,
故单调递减;当时,,,所以,故单调递增.
所以,.所以除切点之外,曲线在直线的下方.
(19)【2013年北京,理19,14分】已知是椭圆上的三个点,是坐标原点.
(1)当点是的右顶点,且四边形为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点不是的顶点时,判断四边形是否可能为菱形,并说明理由.
解:
(1)椭圆右顶点B的坐标为.因为四边形为菱形,所以与相互垂直平分.
所以可设,代入椭圆方程得,即.
所以菱形的面积是.
(2)假设四边形为菱形.因为点不是的顶点,且直线不过原点,所以可设的方程为
.由,消并整理得.
设,,则,.
所以的中点为.因为为和的交点,所以直线的斜率为.
因为,所以与不垂直.所以不是菱形,与假设矛盾.
所以当点不是的顶点时,四边形不可能是菱形.
(20)【2013年北京,理20,13分】已知是由非负整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项的最小值记为,.
(1)若为…,是一个周期为4的数列(即对任意,),写出的
值;
(2)设是非负整数,证明:
的充分必要条件为是公差为的等差数列;
(3)证明:
若,,则的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
解:
(1),.
(2)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以.
因此,,.
(必要性)因为,所以.又因为,,所以.
于是,,,因此,即是公差为的等差数列.
(3)因为,,所以,.故对任意,.
假设中存在大于2的项.设为满足的最小正整数,则,并且对任意,
.又因为,所以,且.于是,,
.故,与矛盾.
所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2.
因为对任意,,所以.故.
因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1.
5
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