矩量法实验报告.doc
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矩量法实验报告.doc
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矩量法实验报告
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题目一:
用矩量法计算,边界条件为
分析:
显然,这是一个简单的边值问题,其精确解为
(1)
下面用矩量法求解这个问题,我们选择基函数为
(2)
则,原微分方程的解可以写成级数展开式为
(3)
对于检验函数我们选择
(4)
在这种情况下,就是伽略金法。
由內积公式,
(5)
得,
(6)
(7)
同时,由
(8)
式中L是线性算子,g为已知函数,为未知函数。
令在L的定义域中被展开为的组合,如
(9)
式中是系数。
由于算子L是线性的,所以有
(10)
我们已经规定了一个合适的内积,由(6)、(7)式可把上式写成矩阵形式为
(11)
由此可求得
(12)
最后再把上式代入(3)式,即可得矩量法结果。
因为这是一个简单的微分方程,有精确解,所以为了体现N取不同值的时候矩量法的逼近程度,所以取N从1~3时矩量法的计算结果,并和解析解做比较。
N=1时,,由式(12)得。
N=2时,得 N=3时,得
显然第三级解,即N=3时,矩量法所得的解和解析解是完全相同的。
为了便于比较,把N取不同值的曲线画在同一张图里面,如图1。
由图可以看出,当N=3的时候,用矩量法所得的解和解析解是完全相同的。
源程序代码:
clear
clc
x=linspace(0,1,100);%先画出解析结果以便和矩量法的结果相比较
f0=5/6.*x-1/2.*x.^2-1/3.*x.^4;
plot(x,f0,'gp');
gridon
axis([0100.3])
title('矩量法计算二次微分函数');
holdon;
forN=1:
3%N从1到3分别取不同的值,在此用循环分别计算之,更方便
f=0;
l=zeros(N,N);g=zeros(N,1);
%%由于每次循环所用到的矩阵l、g的维数是不一样的,所以每次内循环之前都要先对矩阵初始化,这样可以加快运算的速度
form=1:
N
g(m)=m*(3*m+8)/(2*(m+2)*(m+4));%与矩量法相应的激励向量
forn=1:
N
l(m,n)=m*n/(m+n+1);%与矩量法相应的阻抗矩阵
end
end
alpha=l\g;%计算出每次的alpha
forn=1:
N%在上面计算出一次alpha的值的时候,即马上画出相应的曲线
f=f+alpha(n)*(x-x.^(n+1));
end
draw(x,f,N);%自定义的画图函数,在N取不同值时,赋予画图函数不同的线形
holdon
end
legend('解析解','N取1时','N取2时','N取3时');%由画出的图可以看出,在N=3的时候,用矩量法实现的曲线与解析解画出的曲线完全重合
functiondraw(x,y,n)%画图函数
ifn==1
plot(x,y,'r');
elseifn==2
plot(x,y,'b');
elseifn==3
plot(x,y,'k');
elseifn==4
plot(x,y,'co')
end
题目二:
Z
一块正方形的导体板,边长为2a米,位于z=0的平面上,中心在坐标原点,如图2所示。
设表示道题板上的面电荷密度,板的厚度为零。
X
Y
O
图二
则空间任一点的静电位是
(1)
式中,板上的边界条件是(常数)。
此时方程是
(在板上z=0)
(2)
式中,待求的未知函数是电荷密度。
一个有意义的参数是导体板的电容
(3)
假设将导体板划分为N个正方形小块。
定义函数
(4)
则电荷密度就可表示为
(5)
将(5)代入
(2),并且在每个的中点满足所得的方程,则有
(6)
式中 (7)
注意,是上单位振幅的均匀电荷密度在的中心处产生的电位。
由求解式(6)得到。
据此,电荷密度由式(5)逼近,对于式(3)的平板电容相应地近似为
(8)
此结果可以解释为:
物体的电容是其各小块电容的总和加上每一对小块间的互电容。
为了将上述结果翻译成线性空间和矩量法的语言。
令
(9)
(10)
(板上电位) (11)
于是与
(2)式等效。
取内积
(12)
为了应用矩量法,以函数式(4)为分域基并规定检验函数为
(13)
这是一个二维的狄拉克函数。
为了得到数值结果,必须计算(7)式的。
令表示每个的边长,由本身面上的单位电荷密度在其中心处产生的电位是
(14)
上单位电荷在中心处产生的电位可用同样的方法计算,但算式复杂。
若将上的电荷视为点电荷,并应用
(15)
值得注意的是,在本题的编程和计算中要特别注意导体板的边长和2a和分块的边长2b的关系,同时注意a的赋值,a并不是边长,2a才是导体板的边长。
本题计算时,取分块数N=100。
这是得到导体板的电容值为
同时,沿导体板的电荷密度的分布的二维和三维图如下,图三和图四。
图三
图四
程序代码如下:
clear
clc
%===========================================%
%确定初始量
%===========================================%
N=100;%确定导体板的分块数
a=0.5;b=a/sqrt(N);%给定正方形导体板的边长
ebslong=8.854e-12;%介电常数
l=zeros(N);%给定l(m,n)的阶数,这样可以缩短循环的时间
gm=ones(1,N);%给[gm]定值,同时确定阶数
%%确定每个分块的中心坐标
x=-a+2*a/sqrt(N)/2:
2*a/sqrt(N):
a-2*a/sqrt(N)/2;%建立坐标系,以正方形板的中心为坐标原点
X=zeros(2,N);
k=0;%矩阵初始化也即坐标生成,循环变量初始化
forn=1:
sqrt(N)
form=1:
sqrt(N)
k=k+1;
X(1,k)=x(n);
end
end
k=0;
forn=1:
sqrt(N)
form=1:
sqrt(N)
k=k+1;
X(2,k)=x(m);
end
end%生成每个分块的中心坐标
%%求出面电荷密度
forn=1:
N
form=1:
N
ifm==n
l(m,n)=2*b*0.8814/(pi*ebslong);%计算m等于n的时候的元素
else
l(m,n)=b^2/(pi*ebslong*sqrt((X(1,m)-X(1,n))^2+(X(2,m)-X(2,n))^2));%计算n不等于m的时候的矩阵元素
end
end
end
alpha=l\gm';%求出αn
C=(2*b)^2*sum(alpha)%求出导体板的电容
density=zeros(1,sqrt(N));
m=0;
forn=sqrt(N)/2:
sqrt(N):
N-sqrt(N)/2
m=m+1;
density(m)=alpha(n);%沿导体板中间线的电荷密度
end
%%为了画图的方便,在此画图的时候不再是以原来所建立的坐标系为参考,而是以每个分块的编号为参考
figure
surface(reshape(alpha,sqrt(N),sqrt(N)));%导体板的三维电荷密度分布
title('电荷分布三维图');xlabel('沿X轴的距离');
ylabel('沿Y轴的距离');zlabel('电荷密度/电位');
figure
plot(density,'r');gridon%电荷密度分布的横切面也即沿导体板中间线的电荷密度分布
title('电荷密度');xlabel('沿板方向上的距离');
ylabel('电荷密度/电位');
figure
plot(alpha);
title('所有分块上的电荷密度');xlabel('分块的编号');%所有分块上的电荷密度的分布,可以看出在导体板的两边是有边沿效应的
ylabel('电荷密度/电位');%以上图形的横坐标均没有归一化
题目三:
计算一个长度为,直径为的直导线天线的方向图。
分析:
为了求解,可以用网络参数描述问题的解,把导线看成是N个小段连在一起的,每一个小段的终点确定了在空间的一对端点,这N对端点可以想像成一个N端口网络,而短路所有网络的端口就得到了线状物体。
我们可以采用把电流源依次加在每个端口上,而在所有端口计算开路电压,就求得N端口的阻抗矩阵。
此方法只包含空间的电流元。
导纳矩阵是阻抗矩阵的逆矩阵,只要导纳矩阵已知,则对任一个特定激励的电压(外加电压),都可以用矩阵乘法来找出端口电流(在导线上的电流分布)。
在已知外加场的作用下,在导体S上的电荷密度和电流密度J的方程可用下述方程求得。
用滞后位的积分来表示由和J产生的散射场,并应用在s上的边界条件,这些公式归纳如下:
(1)
(2)
(3)
(4)
在S上 (5)
图1表示一根任意的细导线,对于它可作如下的近似:
(1)假定电流只是沿着导线轴的方向流动;
(2)电流和电荷密度可以近似地认为是线电流I及在导线轴上的;(3)只对导线表面上E的轴向分量使用边界条件式(5)做了这些近似之后,式
(1)至式(5)就变成
导线轴
细导线
图一 图二
在S上 (6)
(7)
(8)
(9)
式中是沿导线轴的长度变量,R是从轴上源点指向导线表面的场点之间的距离。
想要用计算机对上述方程求解,则需对上面的方程离散化。
积分可近似为沿N个小段积分的总和,此时,在每个小段上视I和q为常数。
在积分所处的相同区间上,导数可由有限差分来近似。
图2表明将导线轴划分为N个小段。
第n小段由始点,中点n和终点组成,增量表明是在和之间,和分别表示增量沿上移动负的和正的二分之一增量。
所需要的式
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