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图像性质
1.作法与图形:
通过如下3个步骤
(1)列表
(2)描点;
[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理];
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b)
2.性质:
(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。
3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4.k,b与函数图像所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比)
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当k>
0,b>
0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。
0,b<
0,这时此函数的图象经过一,三,四象限。
当k<
0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。
0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。
当k<0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
二次函数性质
定义
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>
0时,开口方向向上,a<
0时,开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量,y是x的函数
二次函数表达式
①一般式
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式
[抛物线的顶点P(h,k)]:
y=a(x-h)^2+k
③交点式
[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]:
y=a(x-x1)(x-x2)
3种形式转化
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±
√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;
当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;
当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±
√b^2-4ac乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>
0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;
在{x|x<
-b/2a}上是减函数,在{x|x>
-b/2a}上是增函数;
抛物线的开口向上;
函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.定义域:
R
值域:
(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);
②[t,正无穷)
奇偶性:
非奇非偶(当且仅当b=0时,函数解析式为f(x)=ax^2+c,此时为偶函数)
周期性:
无
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;
a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:
(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b+√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)^2+t[配方式]
此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b^2)/4a);
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0,0)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,sqrt[4ac-b^2]/4a)
对称轴
x=0
x=h
x=-b/2a
当h>
0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<
0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
0,k>
0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
0,k<
0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:
当a>
0时,开口向上,当a<
0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>
0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;
当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<
0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;
当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>
0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×
(-b/2a)-A|(A为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<
0.图象与x轴没有交点.当a>
0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>
0;
当a<
0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<
0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:
如果a>
0(a<
0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:
y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
反比例函数
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-&
sup1;
。
反比例函数表达式
y=k/x其中X是自变量,Y是X的函数
y=k/x=k·
1/x
xy=k
y=k·
x^-1
y=k\x(k为常数(k≠0),x不等于0)
反比例函数的自变量的取值范围
①k≠0;
②一般情况下,自变量x的取值范围是x≠0的任意实数;
③函数y的取值范围也是任意非零实数.
反比例函数图象
反比例函数的图象属于以原点对称的双曲线,
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会相交(K≠0)。
反比例函数性质
1.当k>
0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<
0时,图象分别位于二、四象限,y随x的增大而增大。
2.k>
0时,函数在x<
0上为减函数、在x>
0上同为减函数;
k<
0上为增函数、在x>
0上同为增函数。
定义域为x≠0;
值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
实际问题-分析数量关系-一元二次方程-解法(1.直接开平方,2.因式分解法,3.配方法,4.公式法)-一元二次方程的根-检验-实际问题
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么AB两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则b&
sup2;
+4k·
m≥(不小于)0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线:
x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
10.反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
11.k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数的图象上有一点P(m,n)其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根,且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式.
分析:
要求反比例函数解析式,就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程.
解:
∵m,n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根
∴m+n=3,mn=k,
又PO=根号13,
∴m2+n2=13,
∴(m+n)2-2mn=13,
∴9-2k=13.
∴k=-2
当k=-2时,△=9+8>0,
∴k=-2符合条件,
【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点,过其中一点A向x、y轴作垂线,垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为6,求:
(1)直线与双曲线的解析式;
(2)点A、A1的坐标.
矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段,
设A点坐标为(m,n),则AB=|n|,AC=|m|,
根据矩形的面积公式知|m·
n|=6.
反比例函数的画法
x
...
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
-4
-6
-12
12
6
1)列表,如
2)在平面直角坐标系中标出点
3)用平滑的曲线描出点
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- 一次 函数 性质