19与圆的位置关系Word格式.docx
- 文档编号:18646806
- 上传时间:2022-12-30
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:74.49KB
19与圆的位置关系Word格式.docx
《19与圆的位置关系Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《19与圆的位置关系Word格式.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
外切
d=R+r
1
切点在连心线上
内切
d=R-r
相交
R-r<
d<
连心线垂直平分公共弦
内含
R-r
二、典型例题剖析
例1、已知两圆的半径为r1=1,r2=3,圆心距d和r1,r2恰好能构成一个三角形,则:
(1)这两圆有_________公共点;
(2)d的取值范围是_________;
(3)这两圆的位置关系是_________.
分析:
由于圆心距d和r1,r2恰好能构成一个三角形,可知|r1-r2|<
|r1+r2|
2<
4
两圆相交
两圆有两个公共点.
解:
(1)2;
(2)2<
4;
(3)相交.
例2、如图,AB是⊙O的直径,D在AB的延长线上,BD=OB,C在圆上,∠CAB=30°
.求证:
DC是⊙O的切线.
因C在圆上,欲证DC是圆的切线,只需证明OC⊥CD即可,这一步可通过∠OCB+∠BCD=90°
得到.
证明:
连结OC、BC.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
.
又OC=OB,∠CAB=30°
,
∴△BCO为等边三角形,即OB=OC=BC.
又BD=OB,∴BD=BC,∴△BDC为等腰三角形,
∴∠BCD=
∠ABC=30°
∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°
+30°
=90°
∴DC是⊙O的切线.
例3、如图,AB是⊙O的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别是A、B、E,DO、AE相交于点F,CO、BE相交于点G.求证:
(1)CO⊥DO;
(2)四边形EFOG是矩形.
(1)欲证OC⊥OD只需证∠ODC+∠OCD=90°
根据切线长定理,得∠ODC+∠OCD=
(∠ADC+∠BCD).
再由切线的性质不难得AD//BC,从而∠ADC+∠BCD=180°
,
(1)获证.
(2)仍由切线长定理,可证AE⊥DO,BE⊥CO,而∠AEB=90°
,
(2)获证.
(1)∵AB是⊙O的直径,AD、BC是⊙O的切线,
∴AD⊥AB,BC⊥AB,
∴AD//BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°
又∵DC是⊙O的切线,
由切线长定理,得∠ODC=
∠ADC,∠OCD=
∠BCD,
∴∠ODC+∠OCD=
(∠ADC+∠BCD)=90°
故∠DOC=90°
,即OC⊥OD.
(2)∵DA、DE分别切⊙O于点A、E,
∴DA=DE,∴AE⊥DO,
∴∠EFO=90°
同理BE⊥CO,∠EGO=90°
又AB是直径,∴∠FEG=90°
∴四边形EFOG是矩形.
点评:
在有关圆的问题中,切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据.
例4、如图,在直角坐标系中,点O′的坐标为(2,0),⊙O′与x轴交于原点O和点A.又B、C、E三点的坐标分别为(-1,0),(0,3),(0,b),且0<
b<
3.
(1)求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式;
(2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O′有哪几种位置关系?
并求出每种位置关系中b的取值范围.
本例是数形结合类的结论探索型问题.其中第
(1)问不难求解;
第
(2)问应先设点E在OC上移动至某处时,恰使直线BE切⊙O′于点M.下面的目标是探求OE之长,即知
.再由0<
3知直线BE与⊙O′的三种位置关系的b值或取值范围.
(1)由题设条件可得A(4,0).
设经过B、C两点的直线的解析式为y=kx+b,将B(-1,0),C(0,3)代入,易求得直线的解析式为y=3x+3.
(2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O′有三种位置关系:
相离、相切、相交.
设当点E在OC上移动至某处时,恰使直线BE切⊙O′于点M,连结O′M.
∵BM切⊙O′于点M,
∴O′M⊥BM且O′M=2.
在Rt△BMO′中,∵BO′=3,O′M=2,
又∵OE⊥OB,O′M⊥BM,∠EBO=∠O′BM,
∴Rt△BEO∽Rt△BO′M
结论探索型问题是近几年中考的热点题型.解题时,一般充分利用已知条件或图形特征进行猜想和分析,发现规律、获取结论.
例5、如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于点C,直线CB交⊙O2于点D,直线DA交⊙O1于E,连结CE.求证:
(1)△CAE是等腰三角形;
(2)DA·
DE=CD2-CE2.
(1)连结AB.
∵CA切⊙O2于点A,
∴∠FAD=∠ABD.
又∵四边形ABCE为⊙O1的内接四边形,
∴∠ABD=∠E,∴∠FAD=∠E.
又∵∠FAD=∠EAC,
∴∠E=∠EAC,
∴CE=CA,即△ACE为等腰三角形.
(2)∵CA切⊙O2于点A,
∴∠CAB=∠D.
又∵∠ACB=∠DCA,
∴△CAB∽△CDA,
∴
,即CA2=CB·
CD.①
又∠ABD=∠E(
(1)已证),∠ADB=∠CDE,
∴△ABD∽△CED,
,即DA·
DE=DB·
DC,②
①+②得:
CA2+DA·
DE=CB·
CD+BD·
CD=CD2,
∴DA·
DE=CD2-CA2=CD2-CE2.
一条公共弦的连结,使弦切角与圆周角、圆内接四边形的外角与内角之间得以沟通,可见“两圆相交、连公共弦”是多么重要.而更多的时候要用到“连心线垂直平分公共弦”这条重要性质的传递作用.
例6、⊙O1与⊙O2外切于点P,一条公切线为AB,A、B为切点.设两圆的半径为r1、r2.求证:
AB2=4r1r2.
证法一:
如图
(1),过两圆的切点P作内公切线PC交AB于点C,连结O1C、O2C及O1P、O2P.
∵AB、CP均为两圆的切线,
∴CA=CP=CB,O1C平分∠ACP,O2C平分∠BCP,
∴∠O1CO2=90°
又P在两圆连心线O1O2上,
∴O1O2为Rt△O1CO2的斜边,且CP⊥O1O2.
由Rt△O1PC∽Rt△CPO2得CP2=O1P·
O2P,
即
∴AB2=4r1r2.
证法二:
如图
(2),连结O1A、O2B及O1O2,过O1作O1D⊥O2B于D.
∵AB为两圆的公切线,
∴O1A⊥AB,O2B⊥AB,
∴四边形ABDO1为矩形,∴BD=AO1,O1D=AB.
设⊙O1,⊙O2的半径分别为r1、r2(r2>
r1),则
O1O2=r1+r2,O2D=r2-r1.
在Rt△O1DO2中,O1D2=O1O22-O2D2=(r1+r2)2-(r2-r1)2=4r1r2,
即AB2=4r1r2.
证法
(一)作两圆的内公切线,充分发挥了切线长定理的两个作用(切线长相等、点C与圆心的连线平分两条切线的夹角);
证法
(二)是通过平移切线AB,化归为解直角三角形问题来解决,显得简洁、直观,这些都是常用的方法.
例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且O2点在⊙O1上.
(1)如图
(1),AD是⊙O2的直径,连结DB,并延长交⊙O1于点C.求证:
O2C⊥AD;
(2)如图
(2),如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在直线是否与AD垂直?
证明你的结论.
(1)连结AB,则有∠AO2C=∠ABC=180°
-∠ABD=90°
∴CO2⊥AD.
(2)CO2所在直线与AD垂直,理由:
作直径AD1交⊙O2于D1,连结D1B并延长交⊙O1于C1,连结AB.
由第
(1)问可知∠AO2C1=90°
∴∠AD1B+∠BC1O2=90°
在⊙O2中,∠AD1B=∠ADB,在⊙O1中,∠BC1O2=∠BCO2,
∴∠ADB+∠BCO2=90°
,∴∠DEC=90°
,∴CE⊥AD.
解决此类问题,关键是要找出一般与特殊的关系.在图形变换中,要找出不变量.
冲刺练习
一、填空题.
1、等腰直角三角形内切圆半径与外接圆半径之比是_________.
2、在△ABC中,∠A=80°
.若H为垂心,则∠BHC=_________;
若O为外心,则∠BOC=_________;
若I为内心,则∠BIC=_________.
3、已知AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D,⊙O的切线DE交BC于E.那么DE︰BC=_________.
4、△ABC中,AB=12,BC=10,AC=7,AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F点,则AD=_________,BE=_________,CF=_________.
5、已知半径不相等的两圆有公共点,则两圆的公切线条数是__________.
6、如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,CA是⊙O1的直径,CA、CB的延长线分别交⊙O2于D、E两点.若AD=CB=2cm,BE=10cm,则⊙O2的半径是__________cm.
7、如图,在边长为3cm的正方形ABCD中,⊙O1与⊙O2相外切,且⊙O1分别与DA、DC边相切,⊙O2分别与AB、BC边相切,则圆心距O1O2的长为__________.
[答案]
二、选择题.
8、如图,PC、DA为⊙O的切线,AB为⊙O的直径.若DA=2,CD︰DP=1︰2,则AB的长为( )
A.
B.4
C.
D.2
9、若⊙O外一点P与点O的距离为4cm,从P向⊙O作切线,切线长与圆的半径之差为2cm,则圆的半径为( )cm.
10、如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°
,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于( )
B.
D.
11、如图,⊙O2与⊙O1内切于点E,⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2交⊙O2于点C、D.若AC︰CD︰DB=2︰4︰3,则⊙O2与⊙O1的半径之比为( )
A.2︰3 B.2︰5
C.1︰3 D.1︰4
12、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为
.若圆心距O1O2等于
,则( )
A.两圆有两条外公切线,有且只有一条内公切线
B.两圆既有两条外公切线,又有两条内公切线
C.两圆只有两条外公切线,没有内公切线
D.两圆既无外公切线,也无内公切线
13、若⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1与⊙O2的半径分别为2和
,公共弦长为2,则∠O1AO2的度数为( )
A.105°
B.75°
或15°
C.105°
D.15°
[答案与提示]
三、解答题.
14、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D.连结AD并延长交BC于点E.
(1)若BC=
,CD=1.求⊙O的半径;
(2)取BE的中点F,连结DF.求证:
DF是⊙O的切线;
(3)过D点作DG⊥BC于G,OE与DG相交于点M.求证:
DM=GM.
15、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=r.
(1)求证:
DC是⊙O的切线;
(2)求AD·
OC的值;
(3)若AD+OC=
,求CD的长.
16、如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线,交⊙O2于点C.过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
PA·
PE=PC·
PD;
(2)当AD与⊙O2相切且PA=6,PC=2,PD=12时,求AD的长.
17、如图,⊙O与⊙O1内切于点A,直线OO1交⊙O于点B,交⊙O1于另一点F.过B点作⊙O1的切线,切点为D,交⊙O于点C,DE⊥AB,垂足为E.
CD=DE;
(2)将两圆内切改为外切,其他条件不变,
(1)中的结论是否成立?
请证明你的结论.
18、如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,切点为B、C.连结BA并延长交⊙O1于D,过D作CB的平行线交⊙O2于E、F.
CD是⊙O1的直径;
(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.
19、如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF.
(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍,BC=6,AB=4.求BE的长.
20、如图,AD是⊙O的直径,一条直线l与⊙O相交于E、F两点.过点A、D分别作直线l的垂线,垂足是B、C,CD交⊙O于G.
(1)求证:
AD·
BE=FG·
DF;
(2)设AB=m,BC=n,CD=p.求证:
tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2-nx+p=0的两个实数根;
(3)若
(2)中方程满足n2=4mp,判断直线l与⊙O的位置关系.
1、
2、100°
;
160°
130°
3、1︰2 4、4.5;
7.5;
2.5
5、1条或2条或3条 6、
7、
提示:
2、分别画出图形.
3、BE=DE=EC.
4、设AD=x,BE=y,CF=z,则
6、连结O1B,O2B,过O2作O2H⊥BE于H,易求得AC=4cm,则△CO1B为边长是2cm的正三角形,则O2H=
.由勾股定理求得BO2=
7、分别由O1、O2作AB的垂线,垂足为E、F,再作O2H⊥O1E于H,则O1H=O2H=3-(r1+r2).
由2[3-(r1+r2)]2=(r1+r2)2求得.
8、A 9、B 10、A
11、C 12、B 13、C
10、设⊙O的半径为r,作OE⊥AC于E,则△AEO∽△ACD,故有
11、作连心线O1O2,交⊙O1于F,则其必过点E.设⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r,且r=EO2=2k,则AO2=4k,BO2=5k,故4k·
5k=2k·
(2R-2k),∴R=6k.
12、∵O1O2>
,∴两圆外离.
13、分圆心在公共弦的两侧和同侧.
14、解:
(1)易求r=1.
(2)连结OF,则OF//AE,可证△OBF≌△ODF,
∴∠ODF=∠OBF=90°
∴DF是⊙O的切线.
(3)∵DG//AB,
∵AO=BO,∴DM=GM.
15、证:
(1)连结OD,证∠OBC=90°
及△OBC≌△ODC.
(2)连结BD,由△ABD∽△OCB得AD·
OC=2r2.
(3)AD、OC是关于x的一元二次方程x2-
+2r2=0的两个根,解得OC=4r.再由勾股定理得
16、解:
(1)连结AB、CE,证△PCE∽△PAD即可.
(2)由PB·
PD=PA2得PB=3.
又∵PA·
PC=PB·
PE,
∴PE=4,
而DA2=DB·
DE=9×
16,
∴AD=12.
17、解:
(1)连结DF、AD、AC,证Rt△EDA≌Rt△CDA即可.
(2)成立,画图,证法同
(1).
18、解:
(1)过A点作内公切线,连结AC,可证AB⊥AC.
连结CD,则CD的圆周角为90°
,故CD是⊙O1的直径.
(2)BE=BF=BC.
连结AE,△EBA∽△DBE,BE2=BA·
BD.
又BC2=BA·
BD,∴BE=BC.
又∵∠CBE=∠BEF,∠CBE=∠EFB,
∴∠EFB=∠BEF,∴BF=BE.
19、解:
(1)两圆外切.
作⊙ABD的切线l交DE于H,
延长BA交⊙AEC于F,可证∠HAE=∠C,
再证AH也是⊙AEC的切线.
(2)延长DA交⊙AEC于G,连结GF,可证△ADB∽△AGF,
∴AB︰AF=2(等于两圆的半径比).
又∵AB=4,∴AF=2,
∵BA·
BF=BE·
BC,∴BE=4.
20、解:
(1)作OH⊥l于H,则CF=BE,△GCF∽△AFD,用BE代换CF即得.
(2)连结AG,则AB=CG,
(3)由n2=4mp得BC2-4AB·
CD=0,即(FC+FB)2-4FC·
FB=0,
∴(CF-FB)2=0,∴FC=FB,
∴F是BC的中点.
又E是BC的中点,
∴E与F重合,即直线l与⊙O相切.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 19 位置 关系