苏教版小学数学五年级下册期末复习热难点知识梳理第6讲 圆Word文件下载.docx
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应用圆的面积公式解决问题时,关键是先找准或求出圆的半径,然后应用圆的面积公式S=πr2求出圆的面积。
3.已知圆的周长求圆的面积
已知圆的周长求圆的面积,要先求出圆的半径,再求圆的面积。
知识点五:
简单组合图形的面积
1.圆环的意义及面积的计算
(1)两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环,也叫环形。
(2)圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积,如果用R表示外圆半径,r表示内圆半径,S表示圆环的面积,那么圆环的面积计算公式是S=πR2-πr2或S=π(R2-r2)。
2.组合图形面积的求法
把图形进行分割、拼接,转化为规则几何图形,再求面积。
三、例题讲解
考点一:
【例题精讲】
例1.(2019秋•雨花区期末)顶点在圆心上的角叫圆心角,顶点在圆周上的角叫圆周角.下面图形中,是圆心角的画“√”是圆周角的画“△”.
【分析】根据圆心角和圆周角的含义:
顶点在圆心上,并且由两条半径围成的角是圆心角;
顶点在圆上的角叫做圆周角;
据此解答即可.
【解答】解:
【点评】明确圆心角和圆周角的含义,是解答此题的关键.
举一反三
1.(2020秋•迁安市期末)画一个周长为12.56厘米的圆,并标出圆心、半径.
【分析】抓住“圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小”,先利用C=2πr求出这个圆的半径即可解决问题.
r=12.56÷
3.14÷
2=2(厘米),
以O为圆心,以r=2厘米为半径,画圆如图所示:
【点评】此题考查了画圆的两大要素及公式C=2πr的应用.
2.画两个同心圆,第一个圆的直径为4厘米,第二个圆的直径比第一个圆大1厘米.
【分析】以固定一点为圆心,分别以4÷
2=2厘米和(4+1)÷
2=2.5厘米为半径画圆.
如图:
4÷
2=2(厘米)
(4+1)÷
2=2.5(厘米)
【点评】此题考查了利用圆心与半径画圆的方法的灵活应用.
3.(2017秋•岳池县期中)找出下面图中的圆心角,在横线里画“√”.
【分析】顶点在圆心的角是圆心角,据此解答.
根据圆心角的意义可得:
【点评】此题考查了对圆心角的认识.
考点二:
例2.判断如图所示各个图形中阴影部分是不是扇形,是的画“√”.
【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形,据此判断即可.
【点评】此题考查了对扇形的认识.
1.下列各图中,哪些阴影部分是扇形?
【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形做扇形,据此判断即可.
由分析可知:
下面各图中选项①②⑤⑥⑦的阴影部分是扇形.
【点评】此题主要考查扇形的认识.
2.下面图形中阴影部分是扇形的画“√”.
3.如图图形的阴影部分是扇形的画“√”.
考点三:
例3.(2020春•南京期末)算一算,比一比.
一个圆的半径是5厘米,半径增加1厘米,周长增加 6.28 厘米.
一个圆的半径是10厘米,半径增加1厘米,周长增加 6.28 厘米.
一个圆的半径是20厘米,半径增加1厘米,周长增加 6.28 厘米.
一个圆的半径是R厘米,半径增加r厘米,周长增加 2πr 厘米.
通过计算和比较,你能想到什么?
【分析】根据圆的周长公式:
C=2πr,如果圆的半径增加1厘米,那么圆的周长就增加2πr厘米。
据此解答。
2×
3.14×
1=6.28(厘米)
π×
r=2πr(厘米)(答案不唯一)。
我发现半径增加1厘米,圆的周长就增加6.28厘米。
故答案为:
6.28、6.28、6.28、2πr(答案不唯一)。
【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用,关键是熟记公式。
1.(2019•衡阳)如图中圆和长方形的面积相等,如果长方形的长是15.7m,请你计算阴影部分的周长.
【分析】由题意可知,圆和长方形面积相等,长方形的宽等于圆的半径,我们设圆半径为r米,则有:
3.14r2=15.7r,方程两边都除以r,再除以3.14即可求出圆的半径r.阴影部分的周长等于长方形周长减去半径的2倍,再加上圆周长的
.
设圆半径为rm.
3.14r2=15.7r
3.14r2÷
r=15.7r÷
r
3.14r=15.7
3.14r÷
3.14=15.7÷
3.14
r=5
(15.7+5)×
2﹣5×
2+3.14×
5×
=20.7×
=41.4﹣10+7.85
=39.25(m)
答:
阴影部分的周长是39.25m.
【点评】解答此题要弄清楚阴影部分的周长是由哪些线段围成的.关键是求圆的半径(长方形的周长).圆半径在圆的有关计算方面可以说是个万能数.
2.(2019•湘潭模拟)用2根都是31.4cm长的铁丝,分别围成一个正方形和一个圆,哪个图形的面积大?
大多少?
【分析】根据正方形的周长公式C=4a知道a=C÷
4,求出正方形的边长;
再根据正方形面积公式S=a×
a,即可求出正方形的面积;
根据圆的周长公式C=2πr,知道r=C÷
π÷
2,求出圆的半径,再根据圆的面积公式S=πr2,即可求出圆的面积;
再与正方形的面积比较,即可得出答案.
正方形的边长:
31.4÷
4=7.85(厘米),
正方形的面积:
7.85×
7.85≈61.62(平方厘米),
圆的半径:
2=5(厘米),
圆的面积:
5,
=3.14×
25,
=78.5(平方厘米);
因为78.5>61.62,
所以圆的面积大.
【点评】解答此题可以得出一个结论:
周长相等的正方形和圆,圆的面积大.
3.(2019秋•交城县期中)一根铁丝正好能围成直径是6厘米的圆,如果把它围成一个正方形,则这个正方形的边长是多少?
【分析】根据题意,围成正方形的周长即是围成圆的周长,可根据圆的周长公式:
C=πd,进行计算即可得到围成圆的周长,再除以4就是正方形的边长.
6÷
4
=18.84÷
=4.71(厘米)
正方形的边长是4.71厘米.
【点评】此题主要考查的是圆和正方形的周长公式的应用.
考点四:
例4.(2020秋•甘井子区期末)如图,把一个圆分成若干等份后,可以拼成近似的长方形。
①拼成的图形与原来的圆之间有什么联系?
推导一下圆的面积计算公式。
②请你再想一种圆的面积计算公式推导方法,并且画图说明对应关系和推导过程。
【分析】①根据圆面积公式的推导过程可知,把一个圆平均分成若干份(偶数份),沿半径剪开后排出一个近似数的长方形,这个长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径,因为长方形的面积=长×
宽,所以圆的面积=πr×
r=πr2。
②把这个圆平均分成16个扇形,把这16个扇形剪开。
设这个圆的半径为r,则这个圆的周长为2πr,每个扇形的弧长是
πr。
这些扇形组成一个近似的梯形,梯形的面积等于这个圆面积。
由梯形的面积公式推导出圆的面积公式。
①如图:
把一个圆平均分成若干份(偶数份),沿半径剪开后拼成一个近似数的长方形,这个长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径,因为长方形的面积=长(πr)×
宽(r),所以圆的面积=πr×
=πr2。
②如图:
把一个圆平均分成16个扇形,把这16个扇形剪开,拼成一个近似的梯形。
梯形的上底是
πr×
3=
πr,下底是
5=
πr,高是2r。
其面积是:
(
πr+
πr)×
2r÷
2
=πr×
=2πr2÷
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。
1.(2020秋•虎林市期末)计算如图中圆环(阴影部分)的面积.(R=10厘米,r=6厘米)
【分析】圆环的面积公式S=π(R2﹣r2),已知外面的半径是10厘米,内圆的半径是6厘米,据此解答.
(102﹣62)
(100﹣36)
64
=200.96(平方厘米)
阴影部分的面积是200.96平方厘米.
【点评】本题主要考查了学生对圆环面积公式的掌握.
2.(2020秋•土默特左旗校级期末)现在有一根长125.6米的绳子,要围成一块尽量大的土地,你认为怎样围,围成的是什么图形?
面积是多少?
【分析】根据在所有的平面图形中,周长一定围成了圆的面积最大,所以可以把这根绳子围成一个圆形,然后再根据圆的周长公式C=2πr确定圆的半径,最后再根据圆的面积公式:
S=πr2进行计算即可得到答案.
围成圆的半径为:
125.6÷
2=20(米),
围成圆的面积为:
202=1256(平方米),
把绳子围成圆形面积最大,面积是1256平方米.
【点评】此题主要考查的是在所有的平面图形中,周长一定围成的圆的面积最大,然后再根据圆的周长公式和圆的面积公式进行计算即可.
3.(2020秋•广东期末)公园里有一个直径为20米的圆形花坛,在它的周围铺设2米宽的水泥路,求这条水泥路的面积.
【分析】求小路的面积,即环形的面积,由题意知:
小圆的半径为:
20÷
2=10米,大圆的半径为:
10+2=12米;
根据“环形的面积=大圆面积﹣小圆面积=πR2﹣πr2”解答即可.
(20÷
2+2)2﹣3.14×
102,
144﹣3.14×
100,
=452.16﹣314,
=138.16(平方米);
求这条水泥路的面积138.16平方米.
【点评】解答此题的关键是先要求出大圆的半径和小圆的半径,进而根据环形的面积计算方法解答.
考点五:
例5.(2019秋•中山市期末)图中的大圆半径等于小圆的直径,请你求出阴影部分的面积.
【分析】观察图形可知,阴影部分的面积=大圆的面积减去小圆的面积,据此根据圆的面积=πr2计算即可解答.
62﹣3.14×
(6÷
2)2
=113.04﹣28.26
=84.78(平方厘米),
阴影部分的面积是84.78平方厘米.
【点评】此题主要考查圆的面积公式的计算应用.
1.(2019•衡阳模拟)计算下面各图形的面积.
【分析】①根据圆的面积公式:
S=πr2,把数据代入公式解答.
②根据圆的面积公式:
③上面是半圆,下面是长方形,根据圆的面积公式:
S=πr2,长方形的面积公式:
S=ab,把数据代入公式解答.
①3.14×
22
=12.56(平方厘米)
这个圆的面积是12.56平方厘米.
②3.14×
(5÷
6.25
=19.625(平方厘米)
这个圆的面积是19.625平方厘米.
③3.14×
(8÷
2)2÷
2+8×
5
16×
2+40
=25.12+40
=65.12(平方厘米)
这个组合图形的面积是65.12平方厘米.
【点评】此题主要考查圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
2.(2018秋•鹿城区期末)在一个半径为8米的圆形花坛外,围绕着一条宽1米的环形小路.这条小路的面积是多少平方米?
【分析】求小路的面积即求环形的面积,需知道内圆半径(已知)和外圆半径(未知),内圆半径加上小路的宽即外圆半径,根据环形面积公式s=π(R2﹣r2),代入公式计算即可.
8+1=9(米),
(92﹣82)
(81﹣64)
17
=53.38(平方米).
这条小路的面积是53.38平方米.
【点评】此题主要考查环形的面积公式及其计算,根据s=π(R2﹣r2)计算比较简便.
3.(2019•长沙)
数学小知识:
“勾股定理”是指在一个直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.例如:
两条直角边的长分别为3、4,则32+42=
52,即斜边的长为5.
已知图中两条直角边的长度,求出图中以斜边为直径所作圆的面积.
【分析】设这个圆的半径为r,则直径就是2r,根据勾股定理可得:
(2r)2=82+62由此设出这个圆的半径即可求出这个圆的面积.
设这个圆的半径为r,则直径就是2r,根据勾股定理可得:
(2r)2=82+62,
4r2=64+36,
4r2=100,
r2=25,
所以r=5;
52,
=78.5(平方分米);
这个圆的面积是78.5平方分米.
【点评】此题考查了圆的面积公式的计算应用以及利用勾股定理求直角三角形的斜边的计算方法.
四、巩固练习
A.基础训练
1.(2020秋•深圳期末)图中图形的周长是( )米.
A.25.7B.31.4C.15.7D.39.25
【分析】因为半圆的周长等于半圆所在圆周长的一半再加上一条直径,即半圆的周长=πd÷
2+d,代入数据,求出半圆的周长.
10÷
2+10,
=15.7+10,
=25.7(米).
图中图形的周长是25.7米.
故选:
A.
【点评】解答此题的关键是确定半圆的周长等于半圆所在圆周长的一半加一条直径的长.
2.(2020秋•深圳期末)在一个周长为100厘米的正方形纸片内,要画一个最大的圆,这个圆的半径是( )
A.25厘米B.40厘米C.12.5厘米
【分析】正方形内最大的圆的直径是这个正方形的边长,由此利用正方形的周长公式求得这个正方形的边长再除以2即可.
100÷
2=12.5(厘米),
所以这个最大圆的半径是12.5厘米.
C.
【点评】此题考查了正方形内最大圆的特点以及正方形的周长公式的灵活应用.
3.(2020秋•广东期末)一个圆的周长与直径的比值是( )
A.3.14B.πC.2πD.无法确定
【分析】根据圆周率的含义:
圆的周长和它直径的比值,叫做圆周率,用字母“π”表示,π是一个无限不循环小数,近似值为3.14;
进而得出结论。
根据圆周率的含义可知:
一个圆的周长与直径的比值是π。
B。
【点评】此题考查了圆周率的含义。
4.(2018秋•抚宁区期末)下面阴影部分是扇形的是( )
B.
C.
【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形,据此判断即可.
如图所示:
A、C图中都不是由半径和圆弧组成的,不是扇形;
B图阴影部分是扇形.
【点评】此题主要考查学生对扇形的认识.
5.(2020春•海安市期末)如果一个圆的半径增加3厘米,那么它的周长增加( )厘米.
A.3πB.6πC.9πD.无法确定
【分析】设原来圆的半径为r厘米,则后来的圆的半径为(r+3)厘米,那么原来圆的周长=2πr,增加后的圆的周长=2π(r+3),然后用“原来圆的周长﹣后来圆的周长”解答即可。
设原来圆的半径为r厘米,则后来的圆的半径为(r+3)厘米;
原来圆的周长=2πr
增加后的圆的周长=2π(r+3)
所以增加的周长为:
2π(r+3)﹣2πr
=2πr+6π﹣2πr
=6π(厘米)
它的周长增加6π厘米。
【点评】此题考查了圆的周长公式的计算方法的灵活运用。
6.(2019春•南丰县期中)在一张长9厘米,宽7厘米的长方形纸上画一个圆,圆规两脚间的距离不能超过( )厘米.
A.4.5B.7C.3.5D.9
【分析】根据题意,长方形内最大的圆就是以长方形宽为直径的圆;
圆规两间的距离即这个圆的半径,由题中数据即可解得.
长方形中最大的圆就是以宽为直径的圆,
r=7÷
2=3.5(厘米),
圆规两间的距离不能超过3.5厘米.
【点评】抓住圆规画圆的方法,根据长方形中最大圆的特点即可解决此类问题.
7.(2019•绵阳)一张圆形的纸,至少要对折( )次,才能看到圆心.
A.1B.2C.3
【分析】圆中心的那个点即圆心,所有直径都相交于圆心,将一个圆形纸片最少要对折两次,才能找到两条折痕相交的那个点,即圆心.
将一个圆形纸片最少要对折两次,才能找到两条折痕相交的那个点,即圆心.
【点评】本题考查了确定圆心的方法.
8.(2020秋•白山期末)把一个圆平均分成128份,然后剪开,拼成一个近似的长方形,在这个转化过程中,( )
A.周长和面积都没变B.周长没变,面积变了
C.周长变了,面积没变
【分析】把一个圆形平均分成128份,剪开拼成一个近似的长方形,这个转化过程圆的面积不变,这个长方形的宽就等于圆的半径,长就等于圆的周长的一半,所以这个转化过程中圆的面积不变,周长增加了两个半径的长度;
依此解答即可。
把一个圆形平均分成128份,剪开拼成一个近似的长方形,这个转化过程圆的面积不变,周长发生变化,周长增加了两个半径的长度,所以本题选项C正确。
C。
【点评】解答此题的关键是明白:
将圆拼成一个近似的长方形后,这个长方形的宽就等于圆的半径,长就等于圆周长的一半。
9.(2020秋•郑州期末)用圆规画一个直径为2厘米的圆,圆规两脚间的距离应取 1 厘米,所画圆的周长是 6.28 厘米.
【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径,直径已知,从而可以求出圆的半径,于是以任意一点为圆心,1厘米线段为半径即可画出符合要求的圆,进而利用圆的周长公式即可求其周长.
如图所示,即为所要求画的圆;
2÷
2=1(厘米),
圆的周长:
2=6.28(厘米);
圆规两脚间的距离应取1厘米,所画圆的周长是6.28厘米.
1、6.28.
圆规两脚间的距离就是圆的半径.
10.(2017秋•巴东县期末)圆有 无数 条半径(r),圆半径的长度是它直径的 一半 ;
半圆有 1 条对称轴,它的周长是 它所在圆周长的一半加上直径 .
【分析】从圆心到圆上任意一点的线段叫做圆的半径,由于圆上有无数个点,所以圆有无数条半径,圆半径的长度是它直径的一半;
根据轴对称图形的性质分析:
一个图形的一部分,沿着一条直线对折,能够和另一部分重合,这样的图形就是轴对称图形,这条直线就是对称轴,依据定义可知:
半圆有一条对称轴;
半圆的周长等于它所在圆周长的一半加上直径.
由此解答即可.
圆有无数条半径(r),圆半径的长度是它直径的一半;
半圆有1条对称轴,它的周长是它所在圆周长的一半加上直径;
无数,一半,1,它所在圆周长的一半加上直径.
【点评】本题主要考查了对圆和扇形的认识.
B.拓展提高
11.(2020秋•深圳期末)在一个边长8厘米的正方形内画一个最大的圆,这个圆的半径是 4厘米 .
【分析】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长,圆心就是这个正方形的中心,由此用8除以2即可求出半径.
8÷
2=4(厘米)
圆的半径是4厘米;
4厘米.
【点评】明确正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长,是解答此题的关键.
12.(2015秋•霍邱县校级月考)一个圆有 无数 条半径,经过圆心并且两端都在圆上的线段有 无数 条.
【分析】根据圆的半径和直径的含义及圆的特征:
从圆心到圆上任意一点的线段叫半径.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径;
在同一个圆里有无数条半径,有无数条直径.
一个圆有无数条半径,经过圆心并且两端都在圆上的线段有无数条.
无数,无数.
【点评】此题考查了圆的半径和直径的含义及圆的特征.
13.(2019秋•白云区期末)要用圆规画一个直径7cm的圆,圆规两脚间的距离应是 3.5cm ;
要画一个周长6πcm的圆,圆规两脚间的距离应是 3cm .
【分析】
(1)根据画圆的步骤可知,圆规两脚间的距离应取7÷
2=3.5cm。
(2)圆规画圆,圆规两脚之间的距离是圆的半径长度,由圆周长÷
2可求得半圆的半径,据此解答。
(1)圆规两脚间的距离:
7÷
2=3.5(cm)
(2)6π÷
=6÷
=3(cm)
要用圆规画一个直径7cm的圆,圆规两脚间的距离应是3.5cm;
要画一个周长6πcm的圆,圆规两脚间的距离应是3cm。
3.5cm;
3cm。
【点评】此题主要考查的是如何根据圆的直径或周长确定圆的半径。
14.(2020秋•长春期末)一个圆形鱼池的直径是20米,如果绕周围走一圈,要走 62.8 米.
【分析】要求绕周围走一圈,走多少米,就是求这个圆形鱼塘的周长,根据圆的周长=πd,代入数据即可解答.
20=62.8(米)
要走62.8米.
62.8.
【点评】此题考查了圆的周长公式的实际应用.
15.(2019春•衡东县期末)扇形统计图可以清楚地表示出 部分 同 整体 之间的关系.
【分析】扇形统计图中把整体看成单位“1”,较易表示出各部分占整体的百分之几或几分之几.
扇形统计图可以清楚地表示出部分同整体之间的关系.
部分,整体.
【点评】
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