高中数学完整讲义复数.docx

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高中数学讲义

复数

典例分析

题型一：

复数的概念

【例1】若复数是纯虚数，则实数的值为（）

A． B． C．或 D．

【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（）

A．B．C．D．或

【例3】已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【例4】若复数是纯虚数，则实数．

【例5】设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为．

【例6】复数（）

A． B． C． D．

【例7】计算：

（表示虚数单位）

【例8】设，，则下列命题中一定正确的是（　　）

A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限

C．不是纯虚数D．是虚数

【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（　　）

①两个复数不能比较大小；

②若是纯虚数，则实数；

③是虚数的一个充要条件是；

④若是两个相等的实数，则是纯虚数；

⑤的一个充要条件是．

⑥的充要条件是．

A．1 B．2 C．3 D．4

题型二：

复数的几何意义

【例10】复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例11】复数，，则复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例12】在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例13】在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例14】在复平面内，复数对应的点与原点的距离是（）

A．B．C．D．

【例15】若复数满足，且复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）

A． B． C． D．

【例16】已知复数z＝3＋4i所对应的向量为，把依逆时针旋转θ得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（　　）

A．3i　B．4i　C．5i　D．－5i

【例17】复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例18】若，复数在复平面内所对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【例19】设为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平 面的（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【例20】如果复数满足，那么的最小值是（）

A．1 B． C．2 D．

【例21】满足及的复数的集合是（）

A．B．

C．D．

【例22】已知复数的模为，则的最大值为_______．

【例23】复数满足条件：

，那么对应的点的轨迹是（　　）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【例24】复数，满足，，证明：

．

【例25】已知复数，满足，，且，求与的值．

【例26】已知复数满足，且，求证：

．

【例27】已知，，，求．

【例28】已知复数满足，求的最大值与最小值．

题型三：

复数的四则运算

【例29】复数等于（）

A． B． C． D．

【例30】设，且为正实数，则（）

A． B． C． D．

【例31】已知复数，则（）

A． B． C． D．

【例32】设的共轭复数是，若，，则等于（）

A． B． C． D．

【例33】已知集合，则（）

A． B． C． D．

【例34】已知复数，则（）

A．49B．7C．25D．5

【例35】若将复数表示为（，，是虚数单位）的形式，则．

【例36】若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　）

A． B．4 C． D．6

【例37】i是虚数单位，若，则乘积的值是（）

A．B．C．3D．15

【例38】设且，若复数是实数，则（）

A． 　B． C． D．

【例39】若为实数，，则等于（）

A． B．－C．2D．－2

【例40】若复数z=（）是纯虚数，则=

【例41】定义运算，则符合条件的复数的所对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【例42】定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，

则复数为实数的概率为（）

A．B．C．D．

【例44】已知复数满足，则复数＝_____________

【例45】已知，若，则等于（　　）

A． B． C． D．4

【例46】复数等于（）

A． B．C． D．

【例47】计算：

．

【例48】已知复数，，则的最大值为（　　）

A． B． C． D．3

【例49】若复数，求实数使．（其中为的共轭复数）

【例50】设、为实数，且，则=________．

【例51】对任意一个非零复数，定义集合．

⑴设是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率；

⑵若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．

【例52】解关于的方程．

【例53】已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．

【例54】关于的方程有实根，求实数的取值范围．

【例55】设方程的根分别为，，且，求实数的值．

【例56】用数学归纳法证明：

．

并证明，从而．

【例57】若是方程（）的解，

求证：

．

【例58】已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．

【例59】设复数，满足，其中，求的值．

【例60】设复数满足，求的最值．

【例61】若，，试求．

【例62】已知虚数为的一个立方根，即满足，且对应的点在第二象限，证明，并求与的值．

【例63】若（），

求证：

【例64】设是虚数，是实数，且．

⑴求的值及的实部的取值范围；

⑵设，求证：

为纯虚数；

⑶求的最小值．

【例65】对任意一个非零复数，定义集合．

⑴设是方程的一个根，试用列举法表示集合；

⑵设复数，求证：

．

【例66】已知复数，和，其中均为实数，为虚数单 位，且对于任意复数，有，．

⑴试求的值，并分别写出和用表示的关系式；

⑵将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点 的一个变换：

它将平面上的点变到这一平面上的点．

当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；

⑶是否存在这样的直线：

它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?

若存在，试求 出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

9

思维的发掘能力的飞跃