数值计算课后2.docx

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数值计算课后2

习题二解答

1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间［3,4］内的根，精确到10-3，即误

差不超过-103。

2

分析：

精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：

因为f（3）=-10v0,f（4）=9>0,所以，方程在区间［3,4］上有根由

banba

22n

有2n-1>1000，又为210

所以n=11,即只需要二分11次即可

列表讨论如下:

n

an

bn

Xn

f（Xn）的符号

1

3

4

3.500

一

2

3.500

4

3.750

+

3

3.500

3.750

3.625

一

4

3.625

3.750

3.688

+

5

3.625

3.688

3.657

+

6

3.625

3.657

3.641

+

7

3.625

3.641

3.633

+

8

3.625

3.633

3.629

一

9

3.629

3.633

3.631

一

10

3.631

3.633

3.632

+

11

3.631

3.632

3.632

一

x*QX1=3.632。

指出：

（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表:

n

an

bn

Xn

f（Xn）的符号

1

3

4

3.5000

2

3.5000

4

3.7500

+

3

3.5000

3.7500

3.6250

一

4

3.6250

3.7500

3.6875

+

5

3.6250

3.6875

3.6563

+

6

3.6250

3.6563

3.6407

+

7

3.6250

3.6407

3.6329

+

8

3.6250

3.6329

3.6290

一

9

3.6290

3.6329

3.6310

一

10

3.6310

3.6329

3.6320

+

11

3.6310

3.6320

3.6315

一

（3）用秦九韶算法计算f（Xn）比较简单。

1*•求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间

解：

令y

3X

2x2

4x

7，

则y3x2

4x

4

（3x

2）（x

2）

当y3x2

4x

4

（3x

2）（x

2

2）0时，有x,,X22。

函数单调区间列表分析如下:

X

2

（-s，_）

3

2

3

（-,2）

3

2

（2,+s）

/

y

+

0

——

0

+

y

一＞149

27

—15

f一

因为y

（2）1490,y

（2）150,所以方程在区间（-,2）上无根；

3273

21492

因为y（）0，而函数在（，）上单调增，函数值不可能变号，所以

3273

方程在该区间上无根；

因为y

（2）150，函数在（2,+s）上单调增，所以方程在该区间上最多有

一个根，

而⑶=-10<0,y⑷=9>0，所以方程在区间（3,4）有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是（3.4）。

1

2.证明1xsinx0在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于-10

2

的根，需要迭代多少次？

分析：

证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间

有至少一个零点。

则f（0）f

（1）

指出:

要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。

3•试用迭代公式Xk1

—,x01，求方程x32x210x200的

xk2xk10

根，要求精确到105。

分析：

精确到105即误差不超过1105

2

解：

令f（x）x32x210x20

列表进行迭代如下:

Xk

f（Xk）

0

1

-7

1

1.53846

3.75964

2

1.29502

-1.52380

3

1.40182

0.70311

4

1.35421

-0.30667

5

1.37530

0.13721

6

1.36593

-0.06067

7

1.37009

0.02705

8

1.36824

-0.01198

9

1.36906

0.00531

10

1.36870

-0.00228

11

1.36886

0.00110

12

1.36879

-0.00038

13

1.36882

0.00025

14

1.36881

3992105

15

1.36881

5

399210

指出：

精确到105可以从两个方面判定。

第一，计算过程中取小数到105位，最后两个计算结果相同，终止计算。

第二，计算过程中取小数到106，当Xk1Xk-105终止计算。

2

本题采用第一种方法。

附近的根，要求精确到102。

0.5处，因为

2.2sin（0.5-）

g（0.5）105」0.96151

e

所以迭代法g（Xk1）Xk警互1在X00.5的邻域内收敛

eXk

列表迭代如下：

Xk

0

0.5

1

0.71

2

0.69

3

0.69

此时2cos0.69e0'690.00614。

5.为求方程x3x2

10在Xo1.5附近的一个根，设将方程改为下列等价

形式，并建立相应的迭代公式:

1

二,迭代公式xk1

X

（1）x

（2）x3

⑶X2

X2,迭代公式Xk1

—,迭代公式Xk1

X1

1

~2；

Xk

1

（1X：

）3;

1

（Xk1）?

试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有似值。

4位有效数字的近

解：

（1）因为X1

12

g（x）（-2）（X2）

x

1

-2，所以迭代函数为g（x）

X

2x3，|g（1.5）

21.53

1

12

X

2

话

，则

2

1满足局部

3.375

收敛性条件，所以迭代公式Xk114具有局部收敛性。

Xk

（2）因为

Xk1

1

g（x）1（1

3

（1

x2）312x

1

X2）3,所以迭代函数为g（x）（1

232x

x）32,

3（1X2亍

1

X2）3,则

21.5

2

3（11.52）3

1

（1X：

）3具有收敛性。

g（1.5）

0456

1满足局部收敛性条件，所以迭代公式

（3）因为x

（x

1

r

1）2

，所以迭代函数为g（x）

，则

（X1）2

1

g（x）2（x

2（x

1

g（1.5）尹51）

3

20.5"

1.4141不满足收敛性条件，所以迭代公式

Xk1

不具有收敛性。

（Xk1）2

1

用迭代公式Xk11A列表计算如下:

Xk

Xk

0

1.5

1

1.444

2

1.480

3

1.457

4

1.471

5

1.462

6

1.468

7

1.464

8

1.467

9

1.465

10

1.466

11

1.465

所以，方程的近似根为x*1.465。

6.设（x）xC（x23），应如何取C才能使迭代公式Xk1（xQ具有局部

收敛性？

解：

设C为常数，因为（x）xC（x23），所以（x）12Cx，要使迭代

公式具有局部收敛性，需|（Xo）12Cxo1，此时即有112Cxo1，也即

1Cxo0。

即只要C取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。

指出：

本题的一般形式为：

（Xk）具有局部收敛

设（x）xCf（x），应如何取C才能使迭代公式Xk1

性?

代格式要求解的方程是x（x）XXCf（x）f（x）0。

也就是说，这是如

何选择C，构造一个求解方程f（x）=0的收敛的迭代格式的问题

因为（x）xCf（x），所以（x）1Cf（x），

要使迭代格式收敛，需I（x）|1Cf（x）|1

解之得2Cf（x）0，

即C与f（x）异号，且Cf（x）2。

下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：

因为（x）xC（x23），所以当xxC（x23）时，有C（x23）0,则

.3。

x.3，即函数（x）xC（x23）的不动点为x*

而（x）12Cx，

根据局部收敛性定理,

o时，迭代格式收敛到3；

取X0=2为迭代的初始近似值。

迭代的结果列表如下:

k

0

1

2

3

Xk

2

1.8889

1.8795

1.8794

1

因为x3x>

o.。

。

。

1-103,符合计算的精度要求,所以

xx31.8794。

应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下

Xk

0

3

1

3.084

2

3.0864

3

3.0864

所以」3.0864。

0.324

指出：

1

如果将方程-c0改写为等价的cx10，则有f（x）cx1，相应的迭

x

代公式为

cxk11

Xk1xk

cc

无法展开迭代。

9•设a为已知数，试用牛顿法导出求na的迭代公式，并求极限

解：

设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程f（x）xna0的解为

Xk1

Xk

f（Xk）

Xk

f（Xk）

nn

nXkXka

n1

nXk

（n

n

Xka

n1

nXk

1）x：

a

n1nXk

1

[（nn

此即求na的迭代公式。

由此，则

1）Xk

n

Xk

ai]

na

lim——

k

-[（n

n

..Xk1

lim—:

2

k（naXk）

11n1

-[（n1）a（1n）x^n1]limn

k

1）Xk

Xk

（naXk）2

na」[（n1）XkaXkn]limk

n

（:

aXk）2

2

（1）（naXk）

2[（nn

1）a（1n）Xkn]

2（幅Xk）

2[（a（n

：

1n）（n用1]

2

（1）

a（1n）

ia（1n）a（1n）

1n

2x；n

2kimx；n2（na）n1

2na

kim

lim

k

kim

指出：

本题中，表面上是k

是极限过程中实际的变量。

本质上。

本题实际上是求极限

n—na-[（n1）Xk

yaXk1n

lim—尸2lim

k（naXk）2k

na-[（n1）xax1n]

lim_2

xna（nax）2

由于讨论的是0型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两

0

次应用罗必塔法则。