高三数学总复习导数高考真题练习1.docx
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高三总复习
导数高考真题练习1
1.已知为实数,函数.
(1)若是函数的一个极值点,求实数的取值;
(2)设,若,使得成立,求实数的取值范围.
2.已知函数.
(1)若函数有两个极值点,求实数的取值范围;
(2)若关于的方程,有实数解,求整数的最大值.
3.已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若函数在定义域内不单调,求的取值范围.
4.(2014•四川)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f
(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
5.(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex﹣ln(x+m)
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>0.
6.已知函数.
(1)若函数的图象在点处的切线方程为,求,的值;
(2)当时,在区间上至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.
7.(2018•卷Ⅰ)已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个极值点,证明:
8.已知在处的切线方程为。
(1)求的解析式;
(2)求的导函数的零点个数;
(3)求证:
。
9.已知函数.
(1)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
(2)当且时,不等式在上恒成立,求的最大值.
10.已知函数f(x)=mex﹣lnx﹣1.
(1)当m=1,x∈[1,+∞)时,求y=f(x)的值域;
(2)当m≥1时,证明:
f(x)>1.
11.设f(x)=xex(e为自然对数的底数),g(x)=(x+1)2.
(Ⅰ)记,讨论函数F(x)的单调性;
(Ⅱ)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),若函数G(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
12.已知函数f(x)=ex+2ax.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为0,求a的值;
(3)若对于任意x≥0,f(x)≥e﹣x恒成立,求a的取值范围.
13.已知函数f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
14.(2017•新课标Ⅱ)设函数f(x)=(1﹣x2)ex.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
15.(2017•新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】
(1)解:
函数定义域为,.
∵是函数的一个极值点,∴,解得.
经检验时,是函数的一个极小值点,符合题意,∴.
(2)解:
由,得,
记,∴,∴当时,,单调递减;
当时,,单调递増.∴,
∴,记,∴.
∵,∴,
∴,∴时,,单调递减;时,,单调递增,∴,∴.故实数的取值范围为.
【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】
(1)根据题意首先求出函数的定义域以及原函数的导函数,由导函数的性质即可得出原函数的极值,从而能求出a的值。
(2)利用已知条件构造函数并对原函数求导,即可得出构造的函数的单调性再由分离参数的思想,重新再构造函数G(x)并利用该函数的导函数的性质求出其单调性进而得出该函数的单调区间以及最值,从而得出a的取值范围。
2.【答案】
(1)解:
则,
得方程有两个不等的正实数根,
即,
(2)解:
方程,即,记函数,,,
令 ,,
单调递减,,
存在,使得,即,
当,,递增,,递减,
即,,
故,整数的最大值为
【考点】利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件,利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】
(1)求出函数的导数,利用函数在某点取得极值的条件,结合二次函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可;
(2)分离参数m,构造函数h(x)=,(x>0),利用导数研究函数的单调性,求出m是最大值即可.
3.【答案】解:
函数的定义域为,
导函数.
(Ⅰ)当时,因为,,
所以曲线在处的切线方程为.
(Ⅱ),
设函数在定义域内不单调时,的取值范围是集合;
函数在定义域内单调时,的取值范围是集合,则.
所以函数在定义域内单调,等价于恒成立,或恒成立,
即恒成立,或恒成立,
等价于恒成立或恒成立.
令,则,
由得,所以在上单调递增;
由得,所以在上单调递减.
因为,,且时,,
所以.
所以,
所以
【考点】函数的单调性与导数的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,利用导数研究曲线上某点切线方程,可得切线的斜率和切点,运用点斜式方程可得切线的方程;
(Ⅱ)求得f(x)的导数,利用函数的单调性与导数的关系,由参数分离和构造函数法,求得导数和单调性,可得函数值的取值范围,即可得到所求a的范围.
4.【答案】
(1)解:
∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,
又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,
∴①当时,则2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b;
②当,则1<2a<e,
∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex﹣2a>0,
∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,
g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;
③当时,则2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g
(1)=e﹣2a﹣b,
综上:
函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为
(2)解:
由f
(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,
若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,
由
(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.
若,则gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1
令h(x)= (1<x<e)
则=,∴.由>0⇒x<
∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,
==<0,即gmin(x)<0恒成立,
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒,
又,所以e﹣2<a<1,
综上得:
e﹣2<a<1.
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点
【解析】【分析】
(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;
(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.
5.【答案】
(1)解:
∵,x=0是f(x)的极值点,∴,解得m=1.
所以函数f(x)=ex﹣ln(x+1),其定义域为(﹣1,+∞).
∵.
设g(x)=ex(x+1)﹣1,则g′(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(﹣1,+∞)上为增函数,
又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0;当﹣1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0.
所以f(x)在(﹣1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数;
(2)解:
证明:
当m≤2,x∈(﹣m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时f(x)>0.
当m=2时,函数在(﹣2,+∞)上为增函数,且f′(﹣1)<0,f′(0)>0.
故f′(x)=0在(﹣2,+∞)上有唯一实数根x0,且x0∈(﹣1,0).
当x∈(﹣2,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,
从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
由f′(x0)=0,得,ln(x0+2)=﹣x0.
故f(x)≥=>0.
综上,当m≤2时,f(x)>0.
【考点】根据实际问题选择函数类型,利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】
(1)求出原函数的导函数,因为x=0是函数f(x)的极值点,由极值点处的导数等于0求出m的值,代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间;
(2)证明当m≤2时,f(x)>0,转化为证明当m=2时f(x)>0.求出当m=2时函数的导函数,可知导函数在(﹣2,+∞)上为增函数,并进一步得到导函数在(﹣1,0)上有唯一零点x0,则当x=x0时函数取得最小值,借助于x0是导函数的零点证出f(x0)>0,从而结论得证.
6.【答案】
(1)解:
因为,让你以,即.
又因为,所以切点坐标为,
因为切点在直线上,所以,
(2)解:
因为,所以.
当时,,所以函数在上单调递增,令,此时,符合题意;
当时,令,则,则函数在上单调递减,在上单调递增.
①当,即时,则函数在上单调递减,在上单调递增,
,解得.
②当,即时,函数在区间上单调递减,则函数在区间上的最小值为,解得,无解.
综上,,即实数的取值范围是
【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】
(1)结合切线斜率的计算公式,并将点(0,f(0)同时代入直线方程和函数f(x)中,即可得出答案。
(2)利用导函数,结合m的取值范围,对原函数f(x)的单调性进行判断,题目关键判断出f(x)最小值与0的关系,由此计算出m的值,即可得出答案。
7.【答案】
(1)解:
的定义域为,.
若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.
若,令得,或.
当时,;
当时,.所以在单调递减,在单调递增.
(2)解:
由
(1)知,存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.
由于,
所以等价于.
设函数,
由
(1)知,在单调递减,又,从而当时,.
所以,
即.
【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】
(1)求出函数的导数,对a分类讨论研究函数的单调性;(2
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