雅安市中考数学真题带详细解答.docx
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雅安市中考数学真题带详细解答
2014年雅安市中考数学真题(带详细解答)
=∠DON,根据正方形的性质可得OC=OD,然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等,根据全等三角形对应边相等可得OM=ON,然后判断出四边形OMEN是正方形,设正方形ABCD的边长为2a,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD,再利用勾股定理列式求出CE,根据正方形的性质求出OC=OD=a,然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a2,再根据正方形的面积公式列式计算即可得解.
解答:
解:
如图,过点O作OM⊥CE于M,作ON⊥DE交ED的延长线于N,
∵∠CED=90°,
∴四边形OMEN是矩形,
∴∠MON=90°,
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM,
∴∠COM=∠DON,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OD,
在△COM和△DON中,
,
∴△COM≌△DON(AAS),
∴OM=ON,
∴四边形OMEN是正方形,
设正方形ABCD的边长为2a,则OC=OD=×2a=a,
∵∠CED=90°,∠DCE=30°,
∴DE=CD=a,
由勾股定理得,CE===a,
∴四边形OCED的面积=a•a+•(a)•(a)=×()2,
解得a2=1,
所以,正方形ABCD的面积=(2a)2=4a2=4×1=4.
故选B.
点评:
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
13.(3分)(2014•雅安)函数y=的自变量x的取值范围为x≥﹣1.
考点:
函数自变量的取值范围.
分析:
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
解答:
解:
由题意得,x+1≥0,
解得x≥﹣1.
故答案为:
x≥﹣1.
点评:
本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
14.(3分)(2014•雅安)已知:
一组数1,3,5,7,9,…,按此规律,则第n个数是2n﹣1.
考点:
规律型:
数字的变化类.
分析:
观察1,3,5,7,9,…,所给的数,得出这组数是从1开始连续的奇数,由此表示出答案即可.
解答:
解:
1=2×1﹣1,
3=2×2﹣1,
5=2×3﹣1,
7=2×3﹣1,
9=2×5﹣1,
…,
则第n个数是2n﹣1.
故答案为:
2n﹣1.
点评:
此题考查了数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决实际问题.
15.(3分)(2014•雅安)若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数,称为“V”数,如756,326,那么从2,3,4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数,则该数是“V”数的概率为.
考点:
概率公式.
分析:
首先将所有由2,3,4这三个数字组成的无重复数字列举出来,然后利用概率公式求解即可.
解答:
解:
由2,3,4这三个数字组成的无重复数字为234,243,324,342,432,423六个,而“V”数有2个,
故从2,3,4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数,则该数是“V”数的概率为=,
故答案为:
.
点评:
本题考查的是用列举法求概率的知识.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
16.(3分)(2014•雅安)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,则直线y=x+与以O点为圆心,1为半径的圆的位置关系为相切.
考点:
直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.
分析:
首先求得直线与坐标轴的交点坐标,然后求得原点到直线的距离,利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系求解.
解答:
解:
令y=x+=0,解得:
x=﹣,
令x=0,解得:
y=,
所以直线y=x+与x轴交于点(﹣,0),与y轴交于点(0,),
设圆心到直线y=x+的距离为r,
则r==1,
∵半径为1,
∴d=r,
∴直线y=x+与以O点为圆心,1为半径的圆的位置关系为相切,
故答案为:
相切.
点评:
本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质,属于基础题,比较简单.
17.(3分)(2014•雅安)关于x的方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0的两实数根为x1,x2,且x12+x22=3,则m=0.
考点:
根与系数的关系;根的判别式.
分析:
根据方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0的两实数根为x1,x2,得出x1+x2与x1x2的值,再根据x12+x22=3,即可求出m的值.
解答:
解:
∵方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0的两实数根为x1,x2,
∴x1+x2=2m﹣1,x1x2=m2﹣1,
∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(2m﹣1)2﹣2(m2﹣1)=3,
解得:
x1=0,x2=2(不合题意,舍去),
∴m=0;
故答案为:
0.
点评:
本题考查了根与系数的关系及根的判别式,难度适中,关键掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.
三、解答题(共69分,解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)
18.(12分)(2014•雅安)
(1)|﹣|+(﹣1)2014﹣2cos45°+.
(2)先化简,再求值:
÷(﹣),其中x=+1,y=﹣1.
考点:
分式的化简求值;实数的运算;特殊角的三角函数值.
专题:
计算题.
分析:
(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用平方根定义化简,计算即可得到结果;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将x与y的值代入计算即可求出值.
解答:
解:
(1)原式=+1﹣2×+4=5;
(2)原式=÷=•=,
当x=+1,y=﹣1时,xy=1,x+y=2,
则原式==.
点评:
此题考查了分式的化简求值,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.(8分)(2014•雅安)某老师对本班所有学生的数学考试成绩(成绩为整数,满分为100分)作了统计分析,绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图,请你根据图表提供的信息,解答下列问题:
分组49.5~59.559.5~69.569.5~79.579.5~89.589.5~100.5
频数2a20168
频率0.040.080.400.32b
(1)求a,b的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)老师准备从成绩不低于80分的学生中选1人介绍学习经验,那么被选中的学生其成绩不低于90分的概率是多少?
考点:
频数(率)分布直方图;频数(率)分布表;概率公式.
分析:
(1)根据第一组的频数和频率求出总人数,再用总人数乘以59.5~69.5的频率,求出a的值,再用8除以总人数求出b的值;
(2)根据
(1)求出的a的值可补全频数分布直方图;
(3)根据图表所给出的数据得出成绩不低于80分的学生中选1人有24种结果,其成绩不低于90分的学生有8种结果,再根据概率公式即可得出答案.
解答:
解:
(1)学生总数是:
=50(人),
a=50×0.08=4(人),
b==0.16;
(2)根据
(1)得出的a的值,补图如下:
(3)从成绩不低于80分的学生中选1人有24种结果,
其中成绩不低于90分的学生有8种结果,故所求概率为=.
点评:
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
20.(8分)(2014•雅安)某地要在规定的时间内安置一批居民,若每个月安置12户居民,则在规定时间内只能安置90%的居民户;若每个月安置16户居民,则可提前一个月完成安置任务,问要安置多少户居民?
规定时间为多少个月?
(列方程(组)求解)
考点:
二元一次方程组的应用.
分析:
设安置x户居民,规定时间为y个月.等量关系为:
,若每个月安置12户居民,则在规定时间内只能安置90%的居民户;若每个月安置16户居民,则可提前一个月完成安置任务.
解答:
解:
设安置x户居民,规定时间为y个月.
则:
,
所以12y=0.9×16(y﹣1),
所以y=6,
则x=16(y﹣1)=80.
即原方程组的解为:
.
答:
需要安置80户居民,规定时间为6个月.
点评:
本题考查了二元一次方程组的应用.解题关键是弄清题意,合适的等量关系,列出方程组.
21.(9分)(2014•雅安)如图:
在▱ABCD中,AC为其对角线,过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E.
(1)求证:
△ABC≌△DCE;
(2)若AC=BC,求证:
四边形ACED为菱形.
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)利用AAS判定两三角形全等即可;
(2)首先证得四边形ACED为平行四边形,然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.
解答:
证明:
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB平行且等于CD,∠B=∠DAC,
∴∠B=∠1,
又∵DE∥AC
∴∠2=∠E,
在△ABC与△DCE中,
,
∴△ABC≌△DCE;
(2)∵平行四边形ABCD中,
∴AD∥BC,
即AD∥CE,
由DE∥AC,
∴ACED为平行四边形,
∵AC=BC,
∴∠B=∠CAB,
由AB∥CD,
∴∠CAB=∠ACD,
又∵∠B=∠ADC,
∴∠ADC=∠ACD,
∴AC=AD,
∴四边形ACED为菱形.
点评:
本题考查了菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理,难度不大.
22.(10分)(2014•雅安)如图,已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A(m,﹣2).
(1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标;
(2)试根据图象写出不等式≥kx的解集;
(3)在反比例函数图象上是否存在点C,使△OAC为等边三角形?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题.
分析:
(1)把点A的坐标代入y=求出m的值,再运用A的坐标求出k,两函数解析式联立得出B点的坐标.
(2)把k的值代入不等式,讨论当a>0和当a<0时分别求出不等式的解.
(3)讨论当C在第一象限时,△OAC不可能为等边三角形,当C在第三象限时,根据|OA|=|OC|,求出点C的坐标,再看AC的值看是否构成等边三角形.
解答:
解:
(1)把A(m,﹣2)代入y=,得﹣2=,
解得m=﹣1,
∴A(﹣1,﹣2)代入y=kx,
∴﹣2=k×(﹣1),解得,k=2,
∴y=2x,
又由2x=,得x=1或x=﹣1(舍去),
∴B(1,2),
(2)∵k=2,
∴≥kx为≥2x,
①当x>0时,2x2≤2,解得0<x≤1,
②当x<0时,2x2≥2,解得x≤﹣1;
(3)①当点C在第一象限时,△OAC不可能为等边三角形,
②如图,当C在第三象限时,要使△OAC为等边三角形,则|OA|=|OC|,设C(t,)(t<0),
∵A(﹣1,﹣2)
∴OA=
∴t2+=5,则t4﹣5t2+4=0,
∴t2=1,t=﹣1,此时C与A重合,舍去,
t2=4,t=﹣2,C(﹣2,﹣1),而此时|AC|=,|AC|≠|AO|,
∴不存在符合条件的点C.
点评:
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是求出点C的坐标,看是否构成等边三角形.
23.(10分)(2014•雅安)如图,⊙O的直径CD垂直于弦AB
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