中考代数综合题Word文档格式.docx
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)是抛物线
与
轴的两个交点
的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;
(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.
答案与解析
【答案】
(1)解方程
,得
=-3,
=1.
抛物线与x轴的两个交点坐标为:
C(-3,0),B(1,0).
将A(3,6),B(1,0),C(-3,0)代入抛物线的解析式,得
解这个方程组,得
抛物线解析式为
.
(2)由
,得抛物线顶点P的坐标为(-1,-2),对称轴为直线x=-1.
设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A(3,6),C(-3,0)代入,得
解这个方程组,得
直线AC的函数关系式为y=x+3.
由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点,
故解方程组
得
点Q坐标为(-1,2).
(3)作A点关于x轴的对称点
,连接
轴交点
即为所求的点.
设直线
的函数关系式为y=kx+b.
解这个方程组,得
直线
的函数关系式为y=-2x.
令x=0,则y=0.
点M的坐标为(0,0).
类型二、函数与方程综合
2.已知关于x的二次函数
,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在
(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
本题是二次函数与一元二次方程的综合题.本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象,与x轴的交点个数及二次函数的性质.
(1)对于关于x的二次函数
由于△=(-m)2-4×
1×
所以此函数的图象与x轴没有交点.
对于关于x的二次函数
由于△=
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.
故图象经过A,B两点的二次函数为
(2)将A(-1,0)代入
整理,得
解之,得m=0,或m=2.
①当m=0时,
.令y=0,得
解这个方程,得
此时,B点的坐标是B(1,0).
②当m=2时,
解这个方程,得x3=-1,x4=3.
此时,B点的坐标是B(3,0).
(3)当m=0时,二次函数为
,此函数的图象开口向上,对称轴为x=0,
所以当x<0时,函数值y随x的增大而减小.
当m=2时,二次函数为
,此函数的图象开口向上,对称轴为x=1,
所以当x<1时,函数值y随x的增大而减小.
从题目的结构来看,二次函数与一元二次方程有着密切的联系,函数思想是变量思想,变量也可用常量来求解
【变式】已知:
关于x的一元二次方程:
(1)求证:
这个方程有两个不相等的实数根;
(2)当抛物线
与x轴的交点位于原点的两侧,且到原点的距离相等时,求此抛物线的解析式;
(3)将
(2)中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2,当直线
(b<0)与图形C2恰有两个公共点时,写出b的取值范围.
(1)证明:
∵
∴该方程总有两个不相等的实数根.
(2)由题意可知y轴是抛物线的对称轴, ∴
,解得
∴此抛物线的解析式为
(3)-3<b<0.
类型三、以代数为主的综合题
3.如图所示,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),将线段OA绕原点O顺时针旋转120°
得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A,O,B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;
若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;
若没有,请说明理由.
(1)由∠AOB=120°
可得OB与x轴正半轴的夹角为60°
,利用OB=2及三角函数可求得点B的坐标;
(2)利用待定系数法可求出解析式;
(3)OB为定值,即求BC+CO最小.利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点;
(4)利用转化的方法列出
关于点P的横坐标x的函数关系式求解.
解:
(1)B(1,
).
(2)设抛物线的解析式为
,代入点B(1,
),得
.所以
(3)如图所示,抛物线的对称轴是直线x=-1,因为A,O关于抛物线的对称轴对称,所以当点C位于对称轴与
线段AB的交点时,△BOC的周长最小.
设直线AB的解析式为
,则
因此直线AB的解析式为
当
时,
因此点C的坐标为
(4)如图所示,过P作y轴的平行线交AB于D,设其交x轴于E,交过点B与x轴平行的直线于F.
设点P的横坐标为x.
则
时,△PAB的面积的最大值为
,此时
本题为二次函数的综合题,综合程度较高,要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法.因为线段的长度为正数,所以在用点的坐标表示线段长度时,我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标,上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”,从而不用加绝对值号,本题中线段PD的长为
就是利用了这一规律.
4.如图所示,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4,0),B(-2,0),E(0,8).
(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式;
(2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;
此时,点M,N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形MDNA能否形成矩形?
若能,求出此时t的值;
若不能,请说明理由.
此题一题多问,分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数最值的求解方法的理解,并考查应用方程思想解决问题的意识和能力.
(1)点A(-4,0),点B(-2,0),点E(0,8).
关于原点的对称点分别为D(4,0),C(2,0),F(0,-8).
设抛物线C2的解析式是
∴所求抛物线的解析式是
(2)由
(1)可计算得点M(-3,-1),N(3,1).
过点N作NH⊥AD,垂足为H.
当运动到时刻t时,AD=2OD=8-2t,NH=1+2t.
根据中心对称的性质OA=OD,OM=ON,
∴四边形MDNA是平行四边形.
∴
∴四边形MDNA的面积
∵运动至点A与点D重合为止,据题意可知0≤t<4,
∴所求关系式是
(0≤t<4).
(3)
(0≤t<4)
时,S有最大值
(4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形.
由
(1)知四边形MDNA是平行四边形,对角线是AD、MN,
∴当AD=MN时四边形MDNA是矩形.
∴OD=ON.
∴OD2=ON2=OH2+NH2.
解得
(不合题意,舍去).
∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形,此时
直角坐标系中,坐标与线段长的关系;
用等量关系列方程.以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形,等腰三角形,等边三角形,某线段是某线段的几倍,或者隐含着这些条件存在,都是利用方程思想解决问题的有效信息.
【变式】如图所示,抛物线
与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(3)若E点在x轴上,F点在抛物线上,如果A,C,E,F构成平行四边形,直接写出点E的坐标.
(1)∵
,∴C(0,3).
又∵
,∴A(1,0).
∴AB=4。
∴B(-3,0).
(2)把A(1,0),B(-3,0)代入
得:
∴a=-1,b=-2,
∵
∴顶点坐标(-1,4).
(3)如图1和图2.
当AC为平行四边形的一边时,
(-1,0),E2(
,0),E3(
,0).
当AC为平行四边形的对角线时,E4(3,0).
5.已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,α,β为方程
的两个根,点M(t,T)在函数y2的图象上.
(1)若
,求函数y2的解析式;
(2)在
(1)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为
时,求t的值;
(3)若0<α<β<1,当0<t<l时,试确定T,α,β三者之间的大小关系,并说明理由.
第
(1)问由
的两根为α,β,利用根的定义代入得到b,c的方程组可求出b,c值;
第
(2)问分别求出A,B两点坐标,利用直线y=x与x轴夹角为45°
得到关于t的方程;
第(3)问利用求差法比较T,α,β的大小,注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T,α,β的大小关系
解:
(1)∵y1=x,y2=x2+bx+c,y1-y2=0,
将
分别代入
解得
∴函数y2的解析式为
(2)由已知,y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为
.得
设ABM中AB边上的高为h,
则
,即
由直线y1=x与x轴的夹角为45°
可得
由
当
时,解得
;
∴t的值为
(3)由已知,得
化简得
∵
有a+b=1-β>0,β+b=1-α>0.
又0<t<1时,∴t+α+b>0,t+β+b>0.
∴当0<t≤α时,T<α≤β;
当α<t≤β时,α<T≤β;
当β<1时,α<β<T.
本题是关于函数、方程、不等式的综合题,涉及知识面较广.
巩固练习
一、选择题
1.如图,已知在直角梯形AOBC中,AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9,对角线OC、AB交于点D,点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点,以O为原点,直线OB为x轴建立平面直角坐标系,则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是( )
A.点G B.点E C.点D D.点F
2.已知函数y=
,若使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数y=
和y=
的图象交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
4.若a+b-2
-4
=3
-
c-5,则a+b+c的值为______.
5.已知关于x的方程x2+(k-5)x+9=0在1<x<2内有一实数根,则实数k的取值范围是______.
6.关于x的方程,2kx2-4x-3k=0的两根一个小于1,一个大于1,则实数k的的取值范围是______.
三、解答题
7.已知:
关于x的一元二次方程
有两个整数根,m<
5且m为整数.
(1)求m的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数
的图象沿x轴向左平移4个单位长度,求平移后的二次函数图象的解析式;
(3)当直线y=x+b与
(2)中的两条抛物线有且只有三个交点时,求b的值.
8.已知关于
的一元二次方程
不论
取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若直线
与函数
的图象
的一个交点的横坐标为2,求关于
的解.
(3)在
(2)的条件下,将抛物线
绕原点旋转
,得到图象
,点
为
轴上的一个动点,过点
作
轴的垂线,分别与图象
、
交于
两点,当线段
的长度最小时,求点
的坐标
9.抛物线
,a>0,c<0,
(2)抛物线经过点
,Q
①判断
的符号;
②若抛物线与x轴的两个交点分别为点A
,点B
(点A在点B左侧),
请说明
10.已知:
二次函数y=
此二次函数与x轴有交点;
(2)若m-1=0,求证方程
有一个实数根为1;
(3)在
(2)的条件下,设方程
的另一根为a,当x=2时,关于n的函数
的图象交于点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与
的图象分别交于点C、D,若CD=6,求点C、D的坐标.
答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A;
【解析】
在直角梯形AOBC中
∵AC∥OB,CB⊥OB,OB=18,BC=12,AC=9
∴点A的坐标为(9,12)
∵点G是BC的中点
∴点G的坐标是(18,6)
∵9×
12=18×
6=108
∴点G与点A在同一反比例函数图象上,故选A.
2.【答案】D;
函数y=
的图象如图:
根据图象知道当y=3时,对应成立的x有恰好有三个,∴k=3.故选D.
3.【答案】A;
【解析】先设P(0,b),由直线APB∥x轴,则A,B两点的纵坐标都为b,而A,B分别在反比例函数y=
和y=
的图象上,可得到A点坐标为(﹣
,b),B点坐标为(
,b),从而求出AB的长,然后根据三角形的面积公式计算即可.
4.【答案】20;
整理得:
(a-1-2
+1)+(b-2-4
+4)+
(c-3-6
+9)=0
(
-1)2+(
-2)2+
-3)2=0,
∴
=1,
=2,
=3,
∵a≥1,b≥2,c≥3,
∴a=2,b=6,c=12,
∴a+b+c=20.
故答案为:
20.
5.【答案】
【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y=x2+(k-5)x+9图象开口向上,与x轴的一个交点的
横坐标在1<x<2内,故有两种情况,分析得出结论.
6.【答案】
或
7.【答案与解析】
(1)∵方程
有两个整数根,
∴△=
0,且为完全平方数.
∵m<
5且m为整数,
∴m=0或4.
(2)当m=0时,方程的根为x1=0,x2=2;
当m=4时,方程的根为x3=8,x4=2.
∵方程有两个非零的整数根,
∴m=4.
∴二次函数
的解析式是
.
的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到:
∴平移后的二次函数图象的解析式为
.
(3)当直线y=x+b与
(2)中的两条抛物线有且只有三个交点时,可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点(3,-5).
①当直线y=x+b与平移后抛物线只有一个交点时,由
得方程
即
.∴△=41+4b=0,∴
②当直线y=x+b过点(3,-5)时,b=-8.
综上所述,当直线y=x+b与
(2)中的两条抛物线有且只有三个交点时,
或b=-8.
8.【答案与解析】
(1)证明:
∵不论
取何值时,
∴
∴不论
代入方程
再将
代入,原方程化为
.
(3)将
代入得抛物线:
,将抛物线
得到的图象
的解析式
为:
设
∴当
的长度最小,
此时点
的坐标为
9.【答案与解析】
∵
∴
∵a>0,c<0,
(2)解:
∵抛物线经过点P
,点Q
∴
①∵
<0.
>0.
②由a>0知抛物线
开口向上.
∵
∴点P
和点Q
分别位于x轴下方和x轴上方.
∵点A,B的坐标分别为A
,B
∴由抛物线
的示意图可知,对称轴右侧的点B的横坐标
满足
(如图所示)
∵抛物线的对称轴为直线
,由抛物线的对称性可
,由
(1)知
10.【答案与解析】
令
,则有
△=
∵
,∴△≥0
∴二次函数y=
与x轴有交点
(2)解:
解法一:
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- 中考 代数 综合