圆锥曲线高考大题Word文档格式.docx
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22b4-3
x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=^.
43
(I)求直线FM的斜率;
(II)求椭圆的方程;
(III)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围
(1)求椭圆E的方程;
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由
10.一种作图工具如图1所示.0是滑槽AB的中点,短杆ON可绕0转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=0N=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕0转动一
周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C•以0为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(I)求曲线C的方程;
(H)设动直线I与两定直线h:
x_2y=:
0和l2:
x・2y=:
0分别交于P,Q两点.若直线I总与曲线C有且只有一个公共
点,试探究:
0QP的面积是否存在最小值?
若存在,求出该最小
值;
若不存在,说明理由.
13.已知椭圆C:
x2y2=1ab0的离心率为
ab
x
12.在直角坐标系xoy中,曲线C:
y=一与直线y=kx,a(a>
0)交与M,N两点,
(I)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(H)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有/OPM=/OPN?
说明理由.
2,点P0,1和点Am,nm工0都在椭圆C上,直线PA交x轴
(I)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);
(H)设0为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N•问:
y轴上是否存在点Q,使得
.OQM=/ONQ?
若存在,求点Q的坐标;
14.已知抛物线G:
x2=:
4y的焦点F也是椭圆C2:
y2X2-1(ab-0)的一个焦点,G与C?
的公共弦的长为26.
(1)求C2的方程;
⑵过点F的直线l与G相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向
(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率
(ii)设G在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:
直线I绕点F旋转时,■MFD总是钝角三角形
15.已知椭圆x2y-1,过原点的两条直线h和I?
分别于椭圆交于二、m和C、D,记得到的平行四边形CD的
面积为S.
(1)设A(x,,%),C(X2,y2),用直、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=2x$1—屜%;
1
(2)设h与I2的斜率之积为…,求面积S的值.
1.【答案】
(I)详见解析;
(n)能,4-7或4,7.
【解析】
(I)设直线l:
y=kxb(k=O,b=O),A(X1,yJ,,M(Xm』m).
1-0
予.于是直线曲的斜率也弋=〒郦砌直线皿硏率
与/的斜率的乘积为定值”
(II)四边形OAPB^l为平行四边形.
因为直线/过点(?
册)1所以?
不过原点且与C有两个交点的充要条件是盘>
0,k^-3.
±
k?
n
.捋点(2」叭的坐标代入直线/的方程得b=}^3~k],因此工r
33
设直线二£
■的方程为y=kx“,丄Xi,%,Bx,,y2,将厶三的方程代入椭圆方程,得
12k2x2-4k2x2k2-1=0,
i-
从而天kO,故喜纯PU的肴程沃1亠+_■z—.
1—H亠A„
厂八r、、
n亠+2贝UP点的坐标沁—2,—二—.
丘]1+\託*1I
鼻・-■/
R3A-+1IJ1+P因沖PU=:
_VB,所⑵、一,,——:
—、
|>
t||1—1
此时首绫-AB君程沏厘=X-1或工
若k=0,则线段上三的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.
3.【答案】
(I)x+y=1;
(n)G(-9,0)在以AB为直径的圆外.
424
【解析】解法一:
(I)由已知得
,则|AB|=t21
42321
-2t+2t+—t+—
2,且O到直线AB的距离为d2,设.AOB的面积为S(t),
t21t21
•-S(t)=;
lAB|d
1-2(t2-\2•2乞2,当且仅当t2二1时,等号成立,故AOB面积的最大值为
2222
x2
5.【答案】
(I)一:
计-1;
(II)
c43
(i)2;
(ii)6(3.(I)由题意知2a=4,则a=2,又-,a2
a2
_c2=b2可
得b=1,所以椭圆C的标准方程为
x2x2v2
4八1.(11)由(知椭圆E的方程为164=1,
(i)设pxo,yo,
OQ
OP
22Xn2(—'
-X。
)(—丸V。
)
由题意知Q因为0^0=1,又——=1,即
4164
J2、
x^+Vo=1,所以人=2,
4丿
即!
=2.
(ii)设AN,%,BX2,y2将y=kx•m代入椭圆E的方程,
可得14k2x28kmx4m2-16=0由二0
228km4m-16
14k2
可得m2:
:
4-16k2…①则有x-!
x22,x1x2二
1+4k2
所以为7|=4山6於号一亦因为直线
y=kx■m与轴交点的坐标为0,m所以=OAB
s=2mx2-X2卜
2j16k2匚4-m2m
2#(16k2+4m2)m2
2、m
1+4k2』
m
人m
令2-=t
14k
将y=kx■m代入椭圆C的方程可得1-4k2x28kmx■4m2-4=0由厶_0
可得
m-14k
…②由①②可知0:
:
t乞1因此S=24-tt=2-t24t,故S乞23当且仅当t=1
m2=14k2
时取得最大值23由(i)知,AABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为63.
a—y/5b.c—J□:
_护—故e—-=丁"
a5
⑴由题设条件和(I)的计算结果可得,直Z的方程为焉w=b曲詢坐标沟(爭弓),
设点Y关于直线肿的对称点&
的坐标次(耳)贝懷段XS的中樣丁册坐标利』L-:
;
_匕亠厶又
*~~I*4■
融的程为京+計.
设直线OP的斜率为m,得m=丫,即y=mx(x式0),与椭圆方程联立,整理可得m2=$
xx3
故所求椭圆的标准方程为——+y2=1.
(2)解法一:
如图(21)图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF丄PF2,则
=PQ=PEI*QE,有QFl=4^-2P片
PE=PQI^QE】PF「因此Aa-1PJ-=7:
PF:
PF】=2(2-a/?
)<
7而PF:
=2a-
TJT"
■*■j
一=7(2-72);
+(7:
-1);
=<
9-6V?
=^-<
j
x2y2一、
9.【答案】
(1)1;
(2)存在,Q点的坐标为Q(0,2).
42
(1)由已知,点(2,1)在椭圆E上.
21彳
~2+疋=1,
!
ab22
因此,
y2—b2=c2,解得a=2,b=^2.所以椭圆的方程为—+-L=1.学优高考网
_42
cv2
=
a2,
(2)当直线I与x轴平行时,设直线I与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件,则|QCL|PCLl,即
|QD||PD|
|QC|=|QD|.所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为
点的坐标只可能为Q(0,2).下面证明:
对任意的直线
1,均有鵠=翳当直线1的斜率不存在时,由上可知,结论
成立•当直线I的斜率存在时,可设直线I的方程为y=kx+1,A、B的坐标分别为(x「^),(X2,y2)•
-22
xy,
12222
联立42,得(2k2・1)x2•4kx-2=0.其判别式厶=16k28(2k21)0,所以,
y=kx1
xX2…:
k,X1X2-2.因此11/x2=2k.
2k212k21x,x2x,x2
易知,点B关于y轴对称的点的坐标为B^x?
y2).
所以咯=咯,目卩2屯用三点共绽
故存在与疗同慨点如亠使得备=書恒成立
OB
10.【答
妙-
©
刃_丨和_l氏il
1的
餌丨£
1丨丹
案】
(I)Xy=1;
(n)存在最小值8.(I)设点D(t,0)(|t「E2),
164
-22
(x^-t)y°
=1,
=22
~D=2DN,,且|dN旧0^|=1,所以(t—x,—y)=2(Xo—t,y°
),且!
K+y2=1.
即t—xJxo—Zt,且迩_2小0.y2y°
.
由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,
于是t,2x0,故沟=4,y0,代入x0y0,可得:
6•4「,即所求的曲线
C的方程为
xy‘
1.
(n)
(1)当直线I的斜率不存在时,直线
I为x=4或x=—4,都有S闿pq=1汉4汉4=8.
(2)当直线I的斜率存在时,
、、1
设直线l:
y=kxm(k=二),
I总与椭圆C有且只有一个公共点,
即m2=16k24.
222
(14k)x8kmx4m_16=0.因为直线
2222
所以.:
-64km-4(14k)(4m—16)=0,
y=kxm,2m
又由『可得P(
lx_2y=0,1_2k
1_2k)'
同理可得ifk).由原点O到直线PQ的距离为黑和
|PQ|=1•k2|Xp-XqI,可得
当打钗詁时,
兀“=S(i^l)=8(-l——二
f1-4A-1-4丁
K0<
.r<
1-5JiJO<
l-4.r<
b所\^SA.-
41-4^'
・1-4L
当且仅当彳=0时取等号.
所以当上=0时,5二珥的最小11为&
综合
(1)C2)可知,当直线i与衙圆C在四个顶点处相切时,AOPOffi面积取得最小值&
11.【答案】
(I);
(II)xy1.(I)过点c,0,0,b的直线方程为bx+cy-bc二0,学优高考网
2123
则原点O到直线的距离d=r~b^=r="
,由d=—c,得a=2b=2/a2-c2,解得离心率—二』3.
lb2+c2a2a2
(II)解法一:
由(I)知,椭圆;
的方程为x2+4y2=4b2.
(1)依题意,圆心划-2,1是线段丄3■的中点,且|AB|=10.
易知,比不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入
(1)得
(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0设A(x1,y1),B(x2,y2),贝U
8k(2k+1)4(2k+1)-4b,,8k(2k+1)—曰,1
X|+x2=2—,x1x2=2.由x-!
+x2=-4,得2—=-4,解得k=-
1+4k21+4k21+4k22
22
由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆上的方程为x+y=1
123
M(2a,a),N(-22,a),或
C在(22a,a)处的切线方程为
12.【答案】
(I)ax-y-a=0或ax,y,a=0(n)存在(I)由题设可得
/2
M(-22,a),N(2a,a).:
yJx,故y—在x=22a处的到数值为a,24
y_a=Ja(x-2Ja),即Pax-y_a=0.故y=—在x=-2勺2a处的到数值为-pa,C在(_2帯2a,a)处的切线方
程为y—a二-a(x2a),即axy0.故所求切线方程为ax-y-a=0或axy0.
(n)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为复合题意得点,M^,%),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率
分别为k1,k2.将y=kx•a代入C得方程整理得X2-4kx-4a二0.
•••X1X2"
kg二-4a.Ak1k^y-by2化2kxx2(a—b)(x1X2)=k(ab)
x1x2X!
冷a
当b=-a时,有k1k2=0,则直线pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补,
故/OPM=/OPN,所以P(0,-a)符合题意•
13.【答案】⑴匚+y2=1,M^-m,0),
(2)存在点Q(0,土J2)
21—n
(I)由于椭圆6=
<
rb*
&
>
OiiS点叽ii且离心率为伞
=l,bL=13^=-扩a
a'
一A
a"
7=?
八"
軌的肓程为壬〜
(II)vAO,1),号缶,-n),直线丹的方程淘Iy=-
■/AO,1),煎堀打,直线刊的方程为;
y=£
+1,令尸=0,用二尊(上0);
M1一刀1—J7
■4—打
——T+1,直线P弓与玄轴交于点Xi令
y-
1+?
?
(1)由Ci:
x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),:
F也是椭圆C?
的一焦点,
⑵如图,A(M,yJ,B(X2,y2),。
化小),D^y),
■.*厶OQ英—ZiWj/.tan止QQ賈=tanZiW:
x・16kx-64=0,而x,x2是这个方程的两根,
(9+)jc:
64=Ch而,.r4是这个芳程的两根,丘+斗=—―r,疋花=——聖「r⑤,
9+8^*-g+g"
将④©
带入③,得16〔宀】)=•心£
p+丽16仇二+】)=】&
,咒十:
D,
{9-軌丁9-盼[”加「
/.[9+SA?
):
=16x9,解需Jt=±
迺,即直线』的斜率次土逅.
44
(:
)由=4y得*」=斗…IG在点月处的切线方程为y—比=冷(工一对,即
■■
1=咼玄一生,令S得工=三,即北(¥
"
),代丙=(弓T),而fS=<
vL:
ii-l)(于蹇
币页7二三一尸-1=艺+1〉。
*因此丄疔x是锐角,从而zj"
d=1str-厶t鬥f是钝角.故直丄…4
线r绕点F旋转时,AVFZ)总是钝角三角形,
15.【答案】
(1)详见解析
(2)S=2
【解析】证明:
(1)直线li:
yix-%y=0,点C到li的距离d-
yiX2-为y2
AB|=2QA|=2「x:
+y;
,
所以S=2S左申=2汇^|AEd=2x1y2—x2y1
解:
(2)设h:
y二kx,则l2:
yx.设
2k
■--X1,%,CX2,y2.
y二kxx22y2-1
,得x;
12k2
同理x2=
12-1
I2k丿
2k2
2k21
由1,S=2xy-X2%|2
X1X2X2kX1
k
2k212k
k12k22k21
整理得S二2.
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