名校大联考 高考数学全真模拟测试82Word文件下载.docx
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9.设函数f(x)=(x-1)x(x+1),则满足f'
(x)dx=0的实数a有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
10.正三棱锥S-ABC内接于球O,其底面边长是2,侧棱长是4,则球O的体积是( )
A.B.
C.D.
11.(2015四川资阳三模,7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-2,-]
12.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c(x∈R),下列结论错误的是( )
A.函数f(x)一定存在极大值和极小值
B.若函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是增函数,则x2-x1≥
C.函数f(x)的图象是中心对称图形
D.函数f(x)在点(x0,f(x0))(x0∈R)处的切线与f(x)的图象必有两个不同的公共点
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015广东广州一模,11)已知随机变量X服从正态分布N(2,1).若P(1≤X≤3)=0.6826,则P(X>
3)等于 .
14.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为 .
15.(2015云南弥勒一模,14)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
16.(2015辽宁朝阳三校协作体一模,16)定义:
如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<
x0<
b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,例如y=x2是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=x3+mx是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是 .
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)(2015河北唐山一模,19)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°
AC=2.
(1)求证:
AB1⊥CC1;
(2)若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.
18.(本小题满分12分)学校设计了一个实验学科的考查方案:
考生从6道备选题中一次随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:
在抽取的3道题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;
考生乙每题正确完成的概率都为,且每题正确完成与否互不影响.
(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;
(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?
19.(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1,n∈N*.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)是否存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列?
若存在,求k的值;
若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分12分)(2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,20)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在y轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到x轴的距离是3.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足PF⊥QF,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?
并请说明理由.
21.(本小题满分12分)(2015河南商丘二模,17)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x(a∈R).
(1)当a=时,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意实数b∈(1,2),当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),求a的取值范围.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)(2015云南弥勒一模,22)如图所示,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F,FG切圆O于点G.
△DEF∽△EAF;
(2)如果FG=1,求EF的长.
23.(本小题满分10分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ.
(1)求曲线C的参数方程;
(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.
24.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a,a∈R,g(x)=|2x-1|.
(1)若当g(x)≤5时,恒有f(x)≤6,求a的最大值;
(2)若当x∈R时,恒有f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
教师用卷参考答案(8-2)
解析:
由已知可得A={x|0<
x<
2}.
又∵B={x|1≤x≤4},∴A∩B={x|1≤x<
答案:
C
z·
=(2-i)·
(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.
A
以F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y2=4ax.
由茎叶图知:
这组数据的中位数是=91.5,故选B.
B
sin4θ-cos4θ=(cos2θ+sin2θ)(sin2θ-cos2θ)
=sin2θ-cos2θ=-cos2θ=-.
0>
1不成立,执行循环体,S=7,i=3,T=3;
3>
7不成立,执行循环体,S=13,i=6,T=9,9>
13不成立,执行循环体,S=19,i=9,T=18,18>
19不成立,执行循环体,S=25,i=12,T=30,30>
25成立,退出循环体,输出T=30,故答案为B.
a6(a2+2a6+a10)=a6·
a2+2a6·
a6+a6·
a10=+2a4·
a8+=(a4+a8)2=4,故答案为A.
作出不等式组所表示的平面区域如图,当目标函数z=2x+4y经过点A(3,-3)时取得最小值,最小值为2×
3+4×
(-3)=-6,故选C.
f'
(x)dx=f(a)=0,得a=0或1或-1,又由积分性质知a>
0,故a=1,选C.
如图,作BD⊥AC,SE⊥BD,垂足分别为D,E,设正三棱锥S-ABC的外接球O的半径为R,∵正三棱锥S-ABC的底面边长是2,侧棱长是4,∴AB=BC=AC=2,SA=SB=SC=4,BD=3,BE=2,SE=2,
R2=(2-R)2+22,R=,
∴球O的体积是,故选D.
D
∵T=4=π,∴ω=2.
令2×
+φ=,则φ=.
显然A=2,∴f(x)=2sin.
对于A,f(x)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z),故不关于直线x=-对称,错.
对于B,由2x+=kπ得x=(k∈Z),所以f(x)的图象的对称中心为(k∈Z),所以不关于点对称,错.
对于C,函数y=sin2x-cos2x=2sin,将它的图象向左平移个单位得y=2sin=2sin≠f(x),错.
对于D,由-≤x≤0得-≤2x+,结合函数y=2sinx的图象可知,-2<
m≤-时,方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,故正确.
对于A,f'
(x)=3x2+2ax-1,Δ=4a2+12>
0,因此函数f'
(x)=3x2+2ax-1恒有两个相异零点x3,x4(其中x3<
x4),易知函数f(x)的增区间是(-∞,x3)与(x4,+∞),减区间是(x3,x4),函数f(x)一定存在极大值与极小值,选项A正确.对于B,由A知x3+x4=-,x3x4=-,x4-x3=,又x1≤x3,x4≤x2,因此x2-x1≥x4-x3≥,x2-x1的最小值是,选项B正确.对于C,注意到f(x)的图象关于点成中心对称,因此选项C正确注:
函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点.对于D,取a=c=0,得f(x)=x3-x,f(0)=0,f'
(0)=-1,此时f(x)=x3-x的图象在点(0,0)处的切线方程是y=-x,注意到方程组有唯一实数解,即此时f(x)=x3-x的图象在点(0,0)处的切线与f(x)的图象有唯一公共点,因此选项D不正确.综上所述,选D.
因为随机变量X服从正态分布N(2,1),
所以P(X>
3)=P(X<
1),
因为P(X<
1)+P(1≤X≤3)+P(X>
3)=1,
3)=(1-0.6826)=0.1587.
0.1587
由题可得a=10,b=8,c=6.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=20,①
∵PF1⊥PF2,由勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=144,②
①2-②,得2|PF1|·
|PF2|=400-144=256,
∴|PF1|·
|PF2|=128,
|PF2|=×
128=64.
64
由三视图可知,该几何体是四棱柱,底面积S=(2+3)×
2=5,高h=2,该几何体的体积V=S·
h=2×
5=10.
10
根据平均值函数的定义,若函数f(x)=x3+mx是[-1,1]上的平均值函数,则关于x的方程x3+mx=在区间(-1,1)内有解,即关于x的方程x3+mx-m-1=0在区间(-1,1)内有解,即关于x的方程m=-x2-x-1在区间(-1,1)内有解.
因为函数g(x)=-x2-x-1=-在区间[-1,1]上,当x=-时,取得最大值-,当x=1时取得最小值-3,所以函数g(x)=-x2-x-1=-在区间(-1,1)上的值域为,所以实数m的取值范围是.
(1)证明:
连接AC1,CB1,则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.
取CC1中点O,连接OA,OB1,
则CC1⊥OA,CC1⊥OB1.
因为OA∩OB1=O,
所以CC1⊥平面OAB1.
因为AB1⊂平面OAB1,
所以CC1⊥AB1.
(2)解:
由
(1)知,OA=OB1=,又AB1=,
所以OA⊥OB1.如图所示,
分别以OB1,OC1,OA为正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,-1,0),B1(,0,0),A(0,0,),
设平面CAB1的法向量为m=(x1,y1,z1),
因为=(,0,-),=(0,-1,-),
所以
取m=(1,-,1).
设平面A1AB1的法向量为n=(x2,y2,z2).
因为=(,0,-),=(0,2,0),
取n=(1,0,1).
则cos<
m,n>
=,
因为二面角C-AB1-A1为钝角,
所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-.
解:
(1)设考生甲正确完成的题目个数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
所以,考生甲正确完成题目个数的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)=1×
+2×
+3×
=2.
(2)设考生乙正确完成的题目个数为η,
因为η~B,
所以P(η=k)=,k=0,1,2,3,
所以E(η)=3×
又因为D(ξ)=(1-2)2×
+(2-2)2×
+(3-2)2×
D(η)=3×
所以D(ξ)<
D(η).
又因为P(ξ≥2)==0.8,P(η≥2)=≈0.74,
所以P(ξ≥2)>
P(η≥2).
①从做对题数的数学期望来看,两人水平相当;
从做对题数的方差来看,甲较稳定;
②从至少完成2题的概率来看,甲通过考查的可能性大.
因此,可以判断甲的实验操作能力强.
(1)∵a1=1,an+1=2+1,
∴a2=2+1=2+1=3.
(2)方法一:
由an+1=2+1,
得Sn+1-Sn=2+1,
故Sn+1=(+1)2.
∵an>
0,∴Sn>
0.
∴+1.
∴数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列.
∴=1+(n-1)=n.
∴Sn=n2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1适合上式,
∴an=2n-1.
方法二:
得(an+1-1)2=4Sn,
当n≥2时,(an-1)2=4Sn-1,
∴(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an.
∴-2an+1-2an=0.
∴(an+1+an)(an+1-an-2)=0.
0,
∴an+1-an=2.
∴数列{an}从第2项开始是以a2=3为首项,公差为2的等差数列.
∴an=3+2(n-2)=2n-1(n≥2).
∵a1=1适合上式,
(3)由
(2)知an=2n-1,Sn==n2.
假设存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列,
则=ak·
a4k.
即(2k-1)4=(2k-1)(8k-1).
∵k为正整数,
∴2k-1≠0.
∴(2k-1)3=8k-1.
∴8k3-12k2+6k-1=8k-1.
化简得4k3-6k2-k=0.
∵k≠0,
∴4k2-6k-1=0,
解得k=,与k为正整数矛盾.
∴不存在正整数k,使ak,S2k-1,a4k成等比数列.
(1)设抛物线的方程是x2=2py(p>
0),A(xA,yA),B(xB,yB),
由抛物线定义可知yA+yB+p=8.
又AB中点到x轴的距离为3,所以yA+yB=6.所以p=2.
所以抛物线的标准方程是x2=4y.
(2)设P(x1,y1),x1≠0,Q(x2,y2),则x2=4y在P处的切线方程是y=x-y1,
直线PQ:
y=-x+2+y1代入x2=4y得x2+x-4(2+y1)=0,
故x1+x2=-,x1x2=-8-4y1,
所以x2=--x1,y2=+y1+4.
而-2y1--7=0.
则-2-7y1-4=0(y1>
0),
得(y1+1)2(y1-4)=0,
所以y1=4,存在点P(±
4,4).
(1)当a=时,f(x)=ln(x+1)+x2-x,
则f'
(x)=x-1=(x>
-1),
令f'
(x)>
0,得-1<
0或x>
1;
(x)<
0,得0<
1,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)由题意f'
(x)=(x>
①当a≤0时,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,此时,不存在实数b∈(1,2),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b).
②当a>
0时,令f'
(x)=0,有x1=0,x2=-1,
(ⅰ)当a=时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,显然符合题意;
(ⅱ)当-1>
0,即0<
a<
时,函数f(x)在(-1,0)和上单调递增,
在上单调递减,f(x)在x=0处取得极大值,且f(0)=0,要使对任意实数b∈(1,2),当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),
只需f
(1)≥0,解得a≥1-ln2,
又0<
所以此时实数a的取值范围是1-ln2≤a<
.
(ⅲ)当-1<
即a>
时,函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增,
在上单调递减,要存在实数b∈(1,2),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b),
需f≤f
(1),
代入化简得ln2a++ln2-1≥0,*
令g(a)=ln2a++ln2-1,
因为g'
(a)=>
0恒成立,
故恒有g(a)>
g=ln2->
所以a>
时,*式恒成立,
综上,实数a的取值范围是[1-ln2,+∞).
(2)如果FG=1,
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