高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc
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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二先做后对答案
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二
(时间:
120分钟满分:
150)
姓名_______________
一、填空题:
本大题共10小题,每小题7分,共70分.
1.设,则的值为______________
2.若,则的取值范围是______________
3.设,,,,在这些函数中,
周期函数的个数是_____________
4.已知、是两个相互垂直的单位向量,而,,;则对于任意实数,
的最小值是______________
5.设有两个集合:
,,
则______________
6.已知数列,满足,且,则______________
7.设函数,则______________
8.设命题:
和命题:
对任何,有且仅有一个成立,则实数的取值
范围是______________
9.在轴的正方向上,从左向右依次取点列,以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列,使都是等边三角形,其中是
坐标原点,则第2014个等边三角形的边长是______________
10.根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:
先从原点沿正东偏北()方向行走
一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为每分钟
10米,则行走2分钟时,机器人所在位置的可能范围的面积是______________
二、解答题:
本大题共4小题,每小题20分,共80分.
11.设双曲线的左、右焦点分别为、,若的顶点在第一象限的双曲线上移
动,求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹.
12.设,定义:
;
(1)求的最小值;
(2)在条件下,求的最小值;
(3)在条件下,求的最小值,并加以证明.
13.设、分别为锐角的外心和垂心,在上截取,在上截取;
求证:
等于外接圆半径.
14.在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有20个岗位.为了试验5种不同新式武器,
打算安排5个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器,且每相邻5
个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多少种配备新
式武器的方案?
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案
一、填空题:
1.设,则的值为______________
解:
令,得;
(1)令,得;
(2)
令,得;(3)
(2)+(3)得,
故,再由
(1)得.
2.若,则的取值范围是______________
解:
设,;
又由,故;
因此有,即;
由于,所以有,即.
3.设,,,,在这些函数中,
周期函数的个数是_____________
解:
是以任何正实数为周期的周期函数;
不是周期函数;因为是以为周期的周期函数,
是以为周期的周期函数,而与之比不是有理数,故不是周期函数.
不是周期函数;因为是以为周期的周期函数,
是以为周期的周期函数,而,故是周期函数.
不是周期函数;因此共有2个周期函数.
4.已知、是两个相互垂直的单位向量,而,,;则对于任意实数,
的最小值是______________
解:
;
当时,,所以所求的最小值为12.
5.设有两个集合:
,,
则______________
解:
由已知可以解出,,故.
6.已知数列,满足,且,则______________
解:
由,推出;
因此有:
即有;从而可得:
.
7.设函数,则______________
解:
令,得;把改为得:
(1)
(2)
联合
(1)
(2)消去,可得.
8.设命题:
和命题:
对任何,有且仅有一个成立,则实数的取值
范围是______________
解:
命题成立,可得:
;命题成立,可得:
;
因此,要使命题和命题有且仅有一个成立,实数的取值范围是.
9.在轴的正方向上,从左向右依次取点列,以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列,使都是等边三角形,其中是
坐标原点,则第2014个等边三角形的边长是______________
解:
设第个等边三角形的边长为;则第个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为:
,再从第个等边三角形上,又可得的
纵坐标为:
;从而有:
,
即有;由此可得:
(1)
以及:
(2)
(1)-
(2)即得:
,变形可得,
由于,所以;在
(1)式中取,可得,而,故;
因此第2014个等边三角形的边长为.
10.根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:
先从原点沿正东偏北()方向行走
一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为每分钟
10米,则行走2分钟时,机器人所在位置的可能范围的面积是______________
x
y
A
P(x,y)
O
解:
如图,设机器人行走2分钟时的位置为;
设机器人改变方向的点为,,;
则由已知条件有:
,
以及,
所以有:
;
即所求平面图形为弓形,其面积为平方米.
二、解答题
11.设双曲线的左、右焦点分别为、,若的顶点在第一象限的双曲线上移
O
P
y
x
A
B
G
H
K
动,求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹.
解:
如图,记双曲线在轴上的两顶点为,
;为的内切圆在边上的
切点,为的内切圆在边上的切点,
为的内切圆在边上的切点;则有
5分
由双曲线的定义知,必在双曲线上,
于是与重合,是定点.
而;根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心,为半径的圆弧.-------10分
因为是在第一象限的曲线上移动,当沿双曲线趋于无穷时,与轴正向的交角的正切的极限是;
即:
;故点的轨迹方程为(极坐标形式)
,()--------------15分
也可以用直角坐标形式.由于与重合,是定点,
故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为:
()-----20分
12.设,定义:
;
(1)求的最小值;
(2)在条件下,求的最小值;
(3)在条件下,求的最小值,并加以证明.
解:
(1)--------5分(当时,取到最小值)
(2);
(当时,取到最小值)--------------10分
(3)因为
所以;
(当时,取到最小值)------20分
每小题指出什么时候取到,5分.
13.设、分别为锐角的外心和垂心,在上截取,在上截取;
求证:
等于外接圆半径.
证明:
设的外接圆的半径为,易知:
;
由余弦定理:
故等于外接圆半径.
14.在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有20个岗位.为了试验5种不同新式武器,打算安排5个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器,且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多少种配备新式武器的方案?
解:
设20个岗位按先后排序为1,2,,…,20,且设第种新式武器设置的序号为:
;令,,,,,
,则有(*)
其中,--------------------------------------5分
作代换:
,,
从而有,(**)
其中.-----------10分
以下求解问题(**):
方法一:
设为的正整数解的全体,为中满足的解的
全体;则;
上式成立的原因是,
因为没有同时满足,,的的正整数组.
所以,--------------15分
因为5种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数,
所以配备新式武器的方案数等于.-----------------------------------20分
方法二:
问题(**)的解数等于展开式中的系数;
而,
故只须求展开式中的系数.
因此的系数为6×15+20×20+6×15=580------------------------------------15分
因为5种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数,
所以配备新式武器的方案数等于.-----------------------------------20分
9
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