第一章 集合章末归纳提升 教案 秋学期高中数学北师大版必修一文档格式.docx
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又A∩C=C,
∴C⊆A.
若C=∅,则Δ=m2-4<
0,
∴-2<
m<
2.
若1∈C,则12-m+1=0,
∴m=2.此时C={1},A∩C=C.
若3∈C,则9-3m+1=0,
∴m=
,此时C=
⃘A,
∴m≠
.
综上所述,a=2或a=4,-2<
m≤2.
故实数a的取值范围为{a|a=2或a=4},实数m的取值范围为{m|-2<
m≤2}.
(2013·
三亚检测)已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若A∩{x|x>
0,x∈R}=∅,求实数m的取值范围.
【解】 由A∩{x|x>
0,x∈R}=∅及方程x2+(m+2)x+1=0无零根,得该方程只有两个负根或无实数根.
即
或Δ=(m+2)2-4<
解得m≥0或-4<
0.
∴m的取值范围是{m|m>
-4}.
集合的运算
集合的交、并、补运算是本章核心内容之一.在进行集合的交、并、补运算时,往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错,此时,数轴分析法(或Venn图)是个好帮手,能将复杂问题直观化,是数形结合思想的具体应用之一.
(2013·
黄冈检测)已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若A∩B=A,求a的取值范围;
(2)若(∁RA)∪B=R,求a的取值范围;
(3)是否存在a,使(∁RA)∪B=R,且A∩B=∅?
【思路点拨】 在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简,然后进行求解.
【规范解答】
(1)∵A∩B=A.
∴A⊆B.结合数轴可知,
即-1≤a≤0.
(2)∵A={x|0≤x≤2},
∴∁RA={x|x<
0或x>
2}.
∵(∁RA)∪B=R,
∴
∴-1≤a≤0.
(3)∵(∁RA)∪B=R,
∴-1≤a≤0,故2≤a+3<
3,
∴A⊆B,这与A∩B=∅矛盾,故a不存在.
已知集合A={x|-2<
x<
-1或x>
0},B={x|a≤x≤b}满足A∩B={x|0<
x≤2},A∪B={x|x>
-2}.求a,b的值.
【解】 将集合A,A∩B,A∪B分别在数轴上表示.
由A∩B={x|0<
x≤2},知b=2,
且-1≤a≤0,
由A∪B={x|x>
-2},知-2<
a≤-1.
综上可知a=-1,b=2.
集合中的新定义题
与集合有关的新概念问题除了考查基本概念外,还会考查一些新定义的集合问题.以集合概念为背景给出新的定义,使问题变得新颖巧妙,这类问题的特点是信息“新”,意义深刻,往往具有一定的实际应用价值.解决这类问题的关键是理解透彻集合的概念、表示方法、集合中元素的性质以及所给的新定义.求解时,应紧扣题目中给出的新定义,将新、旧知识联系起来,并用已有的解题方法来分析、解决问题.有时可将集合中的元素一一列举出来,然后得出正确的答案.
设P、Q是两个非空集合,定义P×
Q={(a,b)|a∈P,b∈Q}.若P={3,4,5},Q={4,5,6,7},则P×
Q中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.12
【思路点拨】 依据新定义,集合P×
Q是一个由有序数对组成的集合,其中第一个数a从集合P={3,4,5}中选取,第二个数b从集合Q={4,5,6,7}中选取,所以可用列举法写出P×
Q中元素的个数.
【解析】 由P×
Q的定义知,P中每个元素与Q中的四个元素分别组成不同的四个有序数对,则P×
Q中元素的个数为3×
4=12(个),即(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7).
【答案】 D
(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为( )
A.9B.8C.7D.6
(2)(2013·
洛阳检测)定义集合运算:
A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )
A.0B.2C.3D.6
【解析】
(1)由P+Q的含义可知,当P={0,2,5},Q={1,2,6}时,元素和有:
0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,而0+6=5+1,重复,只计一次.
所以P+Q中共有8个不同的元素1,2,3,4,6,7,8,11.
(2)根据A*B的定义知,z=xy有如下可能结果:
1×
0=0,1×
2=2,2×
0=0,2×
2=4,
所以集合A*B中有3个元素,即0,2,4,因此,所有元素之和为0+2+4=6.
【答案】
(1)B
(2)D
思想方法
分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想,利用分类讨论思想解决分类讨论问题,已成为高考考查学生知识和能力的热点问题.首先,分类讨论问题一般都覆盖较多知识点,有利于对知识面的考查;
其次,解分类讨论问题需要有一定的分析能力,一定的分类思想和技巧,有利于对能力的考查,运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确,做到“不重不漏”.
已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若集合A中至多有一个元素,则实数a的取值范围是.
【思路点拨】 方程ax2-3x+2=0的二次项系数是否为0是解决本题的关键.
【规范解答】 由题意知可以分为有一个实根和没有实根两种情况讨论.
(1)当a=0时,原方程可化为-3x+2=0,解得x=
,符合题意;
(2)当a≠0时,由一元二次方程ax2-3x+2=0有一个实根或没有实根可得Δ=9-8a≤0,即a≥
综上可知,实数a的取值范围是{a|a=0或a≥
}.
已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
【解】 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2.
当B≠∅时,即a≠0时,B=
,令
=1或
=2,解得a=1或a=2;
当B=∅时,即a=0时,满足A∪B=A.
综上知,C={0,1,2}.
综合检测
(一)
第一章 集合
(时间90分钟,满分120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是( )
A.0∈∅ B.
∈Q
C.∅⊆∅B.A∪∅=∅
【解析】 空集∅中不含任何元素,A错误.
是无理数,B错误.A∪∅=A,D错误,应选C.
【答案】 C
2.(2013·
烟台检测)集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<
1},则A∩B=( )
A.{x|x<
1}B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1≤x<
1}
【解析】 借助于数轴可知,A∩B={x|-1≤x<
1}.
3.已知集合M={a,a2},则实数a满足的条件是( )
A.a∈RB.a≠0
C.a≠1D.a≠0且a≠1
【解析】 由集合元素的互异性,得a≠a2,所以a≠0且a≠1.
4.(2012·
浙江高考)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( )
A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}
C.{1,2,5}D.{1,2}
【解析】 由题意知∁UQ={1,2,6},∴P∩(∁UQ)={1,2}.
5.设U=Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5},则图1中阴影部分表示的集合是( )
图1
A.{1,3,5}B.{1,2,3,4,5}
C.{7,9}D.{2,4}
【解析】 ∵A∩B={1,3,5},所以阴影部分表示{2,4}.
6.(2012·
课标全国卷)已知集合A={x|x2-x-2<
0},B={x|-1<
1},则( )
A.ABB.BA
C.A=BD.A∩B=∅
【解析】 ∵A={x|x2-x-2<
0}={x|-1<
2},B={x|-1<
1},
∴BA.
【答案】 B
7.(2013·
天津检测)设集合M={x|-1≤x<
2},N={x|x-k≤0},若M∩N≠∅,则k的取值范围( )
A.{k|k≤2}B.{k|k≥-1}
C.{k|k>
-1}D.{k|-1≤k≤2}
【解析】 由数轴:
M∩N≠∅,
k≥-1.
8.(2012·
江西高考)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )
A.5 B.4C.3 D.2
【解析】 当x=-1,y=0时,z=x+y=-1;
当x=1,y=0时,z=x+y=1;
当x=-1,y=2时,z=x+y=1;
当x=1,y=2时,z=x+y=3,由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素个数为3.
9.若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|5≤x≤16},则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为( )
A.{a|2≤a≤7}B.{a|6≤a≤7}
C.{a|a≤7}D.∅
【解析】 当3a-5<
2a+1,即a<
6时,A=∅⊆B;
当3a-5≥2a+1,即a≥6时,A≠∅,
要使A⊆B,须有
解得2≤a≤7.
综上可知,a≤7.
10.定义集合A与B的运算:
A⊙B={x|x∈A或x∈B且x∉(A∩B)},已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},则(A⊙B)⊙B为( )
A.{1,2,3,4,5,6,7}B.{1,2,3,4}
C.{1,2}D.{3,4,5,6,7}
【解析】 由新定义,得A⊙B={1,2,5,6,7},则
(A⊙B)⊙B={1,2,3,4},故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
11.(2012·
四川高考)设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则(∁UA)∪(∁UB)=________.
【解析】 由题意得∁UA={c,d},∁UB={a},
∴(∁UA)∪∁UB={c,d}∪{a}={a,c,d}.
【答案】 {a,c,d}
12.已知集合A={7,2m-1},B={7,m2},且A=B,则实数m=________.
【解析】 若A=B,则m2=2m-1,即m2-2m+1=0,∴m=1.
【答案】 1
13.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a的值为________.
【解析】 由题意知,a2+4>
3,故a+2=3,
即a=1,经验证,a=1符合题意,
∴a=1.
14.(2013·
包头检测)已知集合A={x|-1<
x≤3},B={x|x<
a},若AB,则实数a的取值范围是____.
【解析】 由数轴知:
a>
3.
故实数a的取值范围是{a|a>
3}.
【答案】 {a|a>
3}
三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)已知集合A={a-3,2a-1,a2-4},且-3∈A,求实数a的值.
【解】 ∵-3∈A,A={a-3,2a-1,a2-4},
∴a-3=-3或2a-1=-3或a2-4=-3.
(1)若a-3=-3,则a=0,
此时集合A={-3,-1,-4},符合题意.
(2)若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A={-4,-3,-3},不满足集合中元素的互异性.
(3)若a2-4=-3,则a=1或a=-1(舍去).
当a=1时,集合A={-2,1,-3},符合题意.
综上可知,a=0或a=1.
16.(本小题满分12分)已知A={x|-2<
3},B={x|-3<
x≤3},求∁RA,∁R(A∩B),(∁RA)∩B.
【解】
结合数轴,由图可知∁RA={x|x≤-2或x≥3},
又∵A∩B={x|-2<
3}=A,
∴∁R(A∩B)=∁RA={x|x≤-2或x≥3},
∴(∁RA)∩B={x|-3<
x≤-2或x=3}.
17.(本小题满分12分)(2013·
海淀高一检测)已知集合P={x|-2≤x≤5},Q={x|k+1≤x≤2k-1},求当P∩Q=∅时,实数k的取值范围.
【解】 若Q=∅时,k+1>
2k-1,
∴k<
2,P∩Q=∅成立.
若Q≠∅,∴k+1≤2k-1即k≥2.
由题意知
或
∴k>
4.
综上所述k的取值范围是{k|k<
2或k>
4}.
18.(本小题满分14分)已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若A∩B=B,求a的值;
(2)A∪B=B,求a的值.
【解】
(1)由已知A={x|x2+4x=0}={-4,0}.
∵A∩B=B,∴B⊆A.
①若0∈B,则a2-1=0,解得a=±
当a=1时,B=A,B⊆A,当a=-1时,B={0},BA.
②若-4∈B,则a2-8a+7=0,
解得a=7或a=1.
当a=7时,B={-12,-4},B⃘A.
③若B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
0,解得a<
-1.
④若B={-4,0},则
解得a=1.
综上知a=1或a≤-1.
(2)∵A∪B=B,
∴A⊆B,
∵A={-4,0},B至多有两个元素,
∴A=B,由
(1)知a=1.
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