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同时在具体进行教学时,教师应放慢脚步,使学生在充分地列举、不断地体验中,感悟“无限多、无限逼近”思想。
如教学“圆的认识”时,学生画了几条对称轴后,我问这样的对称轴画得完吗?
有的说画不完,有的说这么小的圆应该画得完吧。
于是我让学生继续画,看到学生画得有些不耐烦了,再让他们观察课件演示“不断画”的画面,从而确信了“圆有无数条对称轴”。
数学思想方法较数学知识有更大的抽象性和概括性,只有在教学过程中反复、长期地渗透,才能收到较好的效果。
3、渗透数学思想方法应注重系统性
数学思想方法的渗透要由浅入深,对数学思想方法的挖掘、理解和应用的程度,教师应作长远的规划。
一般地,每一种数学思想方法总是随着数学知识的逐步加深而表现出一定的递进性,因而渗透时要体现出孕育、形成和发展的层次性。
例如在组织学习“两位数加两位数”时,要体现出“化归”思想的孕育期:
学生计算“36+17”一般有“(30+10)+(6+7)、36+10+7、36+4+13、36+20-3”等方法,从中看出学生已经有将复杂问题转化为简单问题的意识。
在进行两位数乘除法的教学中,要逐步引导学生对此有较清晰的认识;
在教学平行四边形面积公式的推导中,应启发学生自觉运用“化归”思想去确立新知学习的方法,平行四边形的面积可以通过分割、平移,转化为长方形的面积。
这样,将表面无序的各个渗透点整合成了一个整体。
4、渗透数学思想方法应适时显性化
数学思想方法有一个从模糊到清晰、从未成形到成形再到成熟的过程。
在教学中,思想方法何时深藏不露,何时显山露水,应审时度势,随机应变。
一般而言,在低中年级的新授课中,以探究知识、解决问题为明线,以数学思想方法为暗线。
但在知识应用、课堂小结或阶段复习时,根据需要,应对数学思想方法进行归纳和概括。
小学高年级学生学习了一些基本的思想方法,可以直呼其名。
如在学习“除数是小数的除法”时,先让学生尝试计算“6.75÷
5.4”,不少学生一时想不出办法,此时我提示:
如果除数是整数能算吗?
学生顿时恍然大悟,发现可以利用“商不变性质”,将“除数是小数的除法”转化成为“除数是整数的除法”来解决,于是我即刻板书“转化”,这样开门见山让学生知道运用“转化”思想可以将有待解决的问题归结到已经解决的问题。
实践表明,以上策略是一个密切联系的有机整体,它们之间相互影响,相互促进。
在教学中应抓住契机,适时地挖掘和提炼,促使学生去体验、运用思想方法,建立良好的认知结构和完善的能力结构。
二、小学数学教学中渗透数学思想方法的途径
1、在教学预设中合理确定
渗透数学思想方法,教师在进行教学预设时应抓住数学知识与思想方法的有效结合点,在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法。
如在概念教学中,概念的引入可以渗透多例比较的方法,概念的形成可以渗透抽象概括的方法,概念的贯通可以渗透分类的方法。
在解决问题的教学中,通过揭示条件与问题的联系,渗透数学解题中常用的化归、数学模型、数形结合等思想。
有时某一数学知识蕴含了多种思想方法,教师可根据需要和学生的认知特点有所侧重,合理确定。
例如上海市新教材将“运算定律、性质”整合在一起学习,就是要突出“归纳类比、数学结构”的思想方法,发展学生的直觉思维,促进学生的学习迁移,实现对“运算定律、性质”的完整认识(如下图示)。
当然在学
习过程中还要用到“观察,猜想,验证”等方法。
只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想方法,教师才会去研究落实相应的教学策略,怎样渗透?
渗透到什么程度?
把渗透数学思想方法纳入到教学目标(过程与方法)中,把数学思想方法的要求融入到备课的每一环节,减少教学中的盲目性和随意性。
2、在知识形成中充分体验
数学思想方法蕴含在数学知识之中,尤其蕴含于数学知识的形成过程中。
在学习每一数学知识时,尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法,即在数学知识产生形成过程中,让学生充分体验。
如我在教学“角”的知识时,先让学生在媒体上观察“巨大的激光器发送了两束激光线”,然后由学生确定一点引出两条射线画角,感知角的“静止性”定义以及角的大小与所画边的长短无关的观念。
再让学生用“两条纸片和图钉”等工具进行“造角”活动,不经意之间学生发现角可以旋转,并且随着两条纸片叉开的大小角又可以随意地变化。
这样“角”便定义为“一条射线绕着它的端点旋转而成的”,这就是角的“运动性”定义,体现着运动和变化的数学思想。
学生在“画角、造角”活动中经历了“角”的产生、形成和发展,从中感悟的数学思想是充分与深刻的。
数学思想方法呈现隐蔽形式。
学生在经历知识形成的过程中,通过观察、实验、抽象、概括等活动体验到知识负载的方法、蕴涵的思想,那么学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的,学生的数学素质才能得到质的飞跃
3、在方法思考中加强深究
处理数学内容要有一定的方法,但数学方法又受数学思想的制约。
离开了数学思想指导的数学方法是无源之水、无本之木。
因此在数学方法的思考过程中,应深究数学的基本思想。
如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时,学生计算“1100÷
25”主要采用了以下几种方法:
①竖式计算②1100÷
25=(1100×
4)÷
(25×
4)③1100÷
25=1100÷
5÷
5④1100÷
25=11×
(100÷
25)⑤1100÷
100×
4⑥1100÷
25=1000÷
25+100÷
25。
在学生陈述了各自的运算依据后,引导学生比较上述方法的异同,结果发现方法①是通法,方法②——⑥是巧法。
方法②——⑥虽各有千秋,方法③、④、⑥运用了数的分拆,方法②属等值变换,方法⑤类似于估算中的“补偿”策略,但殊途同归,都是抓住数据特点,运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。
学生对各种方法的评价与反思,就是去深究方法背后的数学思想,从而获得对数学知识和方法的本质把握。
新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念,就是让学生在经历算法多样化的学习过程中,通过对算法的归纳与优化,深究背后的数学思想,最终能灵活运用数学思想方法解决问题,让数学思想方法逐步深入人心,内化为学生的数学素养。
4、在问题解决中精心挖掘
在数学教学中,解题是最基本的活动形式。
任何一个问题,从提出直到解决,需要具体的数学知识,但更多的是依靠数学思想方法。
因此,在数学问题的探究发现过程中,要精心挖掘数学的思想方法。
如我在教学三年级“植树问题”时,首先呈现:
在一条100米长的路的一侧,如果两端都种,每2米种一棵,能种几棵?
面对这一挑战性的问题,学生纷纷猜测,有的说种50棵,有的说种51棵。
到底有几棵?
我们能否从“种2、3棵……”出发,先来找一找其中的规律呢?
随着问题的抛出,学生陷入了沉思。
如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树,每两棵树之间就有一个“间隔”(板书),一共有几个间隔?
学生若有所思地回答是4个。
如果种6棵、7棵……,棵数与间隔的个数有怎样的关系呢?
于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议,发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系(棵数=间隔数+1),顺利地解决了上述问题。
然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”,学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。
以上问题解决过程给学生传达这样一种策略:
当遇到复杂问题时,不妨退到简单问题,然后从简单问题的研究中找到规律,最终来解决复杂问题。
通过这样的解题活动,渗透了探索归纳、数学建模的思想方法,使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。
因此,教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑,尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题,并注意在解决问题之后引导学生进行交流,深化对解题方法的认识。
5、在复习运用中及时提炼
数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性。
在课堂小结、单元复习和知识运用时,教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动,反思自己是怎样发现和解决问题的,运用了哪些基本的思想方法等,及时对某种数学思想方法进行概括与提炼,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质,提升课堂教学的价值。
如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时,让学生写出各种平面图形(长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形)的面积计算公式后提问:
这些计算公式是如何推导出来的?
每位同学选择1~2种图形,利用学具演示推导过程,然后在小组内交流。
交流之后我又指出:
你能将这些知识整理成知识网络吗?
当学生形成知识网络后(如下图),再次引导学生将这些平面图形面积计算
公式统一为梯形的面积计算公式。
通过以上活动,深化了对“化归”思想的理解,重组了学生已有的认知结构,拓展了数学思维,数学思想方法作为数学认知结构形成的核心起到了重要的组织作用。
同时在教学中,如果只满足于对数学思想的感悟和体验,还不足以肯定学生已领会了所用的数学思想方法。
只有当学生将某一思想方法应用于新的情境,能够解决其他有关问题并有所创意时,才能肯定学生对这一数学方法有了较为深刻的认识。
如学生对乘法有了初步认识,我就让他们把“6+6+6+3”改写成简便的算式。
大多数学生做出了“3×
6+3”与“4×
6-3”的改写,但有个别学生写出了“3×
7”的算式。
其运算之巧妙,思路之独特,对于一个二年级小朋友而言,是难能可贵的。
其次,当学生的创造力正处于某种良好的准备状态时,教师应不失时机地诱导他们去创造性解题。
如在学生掌握长方体、正方体的体积计算之后,我呈现一块不规则的橡皮泥,要求学生尝试不同的方案计算体积。
学生经过独立思考与合作交流,找到三种解决方案:
①先捏成长方体或正方体,再计算②浸没在长方体水槽中,计算上升部分水的体积③称出橡皮泥的重量,再除以每立方厘米橡皮泥的重量(比重)。
解决方案的获得来自于学生对“化归”思想的主动运用,然后予以进一步提炼,使数学思想方法在知识能力的形成过程中共同生成。
从以上实践不难看出,如果把教师的教学预设看作教学渗透的前期把握,那末数学知识的形成过程、数学方法的思索过程、问题解决的发现过程以及复习运用的归纳过程就是学生形成数学思想方法的源泉。
学生在学习过程中要自己去体验、深究、挖掘、提炼,从中揣摩和感受数学思想方法,形成自身的数学思考方法,提高分析问题、解决问题的能力。
三、问题与思考
美国教育心理学家布鲁纳指出:
掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。
在小学数学教学中教师应站在数学思想方法的高度,以数学知识为载体,兼顾小学生的年龄特点,把握时机、及时渗透数学思想方法,引导学生主动运用数学思想方法的意识,促进学生学习数学知识和掌握思想方法地均衡发展,为他们后继学好数学打下扎实的基础。
但在教学实践研究中,我又面临着如下问题与思考:
1、新课程将数学思想方法纳入到“知识与技能”这一教学目标范畴,丰富了数学知识的内涵。
但在小学阶段的“内容和要求”中,对渗透数学思想方法的教学要求略显笼统,没有明确细化为适合不同学段学生的具体渗透内容与要求,并形成系列,这给教师的教学把握带来一定困难。
2、对于小学生数学学习的评价、目前仍偏重于传统意义上的“双基”,体现与运用数学思想方法的数学问题偏少,不利于考察教师渗透数学思想方法的教学效果和学生的数学素养,对于学生应用数学思想方法促进数学思维活动的创新意识的评价有待于进一步的探索。
3、小学数学知识比较浅显,但蕴含着丰富的数学思想方法,如何处理好数学知识教学和思想方法渗透之间的关系,以至形成适合不同学段学生进行数学思想方法渗透的教学模式,应作深入的思考与实践。
窗体顶端
在小学数学教学中渗透数学思想方法
窗体底端
摘要:
数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝,是数学的精髓。
“小学数学思想方法”是在小学数学中运用的研究问题的思想和方法。
探讨在小学数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数学的内容和知识体系;
有利于提高学生的数学素质;
有利于对学生进行美育的渗透和辨证唯物主义的启蒙教育;
有利于教师以较高的观点分析处理小学教材。
本论文从分析教材和参考教育资料上探讨小学数学教材中数学思想方法的重要性,搜索和概括小学数学中几种常用的数学思想方法及教学策略,例如符号化思想、数学模型、统计思想等;
渗透数学思想方法的教学中证明:
有目的、有计划的渗透数学思想方法可以让不同程度的学生从中受益,从而提高数学学习的效率及教学质量。
关键词:
数学思想方法渗透
小学数学教学不仅要传授学生知识,而且也要在教学中渗透数学思想方法。
数学思想方法是数学知识不可分割的有机组成部分,小学数学教材中,蕴含了许多数学思想和方法,如符号化思想、数学模型思想、统计思想、化归思想、组合思想、变换思想、对应思想、极限思想、集合思想、转化建模的思想以及猜想、验证的方法和反证法等。
学生对数学的学习不单纯是知识的获得和反复的操练,贯穿始终的还有数学思想方法。
如果说数学教材中的基础知识和基本技能是一条明线的话,那么蕴含在教材中的数学思想方法就是一条暗线。
教师要注意数学思想方法的渗透,抓住教学内容中的有利因素,有意识地加以引导,有目的、有选择、适时地进行渗透,使学生在潜移默化中掌握数学思想方法。
一、教学中渗透数学思想方法是必然趋势。
所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。
所谓数学方法,是指某一数学活动过程的途径、程序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点。
数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们称为数学思想方法。
小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性主要有以下四点:
1、创新人才培养的需要。
当今世界,科技发展突飞猛进,知识经济初见端倪,国际竞争日趋激烈,人的素质的提高和“人才高地”的构筑,越来越成为经济增长和社会发展的决定性因素。
素质教育的重要性被凸现出来。
数学教学也应实施素质教育,我国《全日制义务教育数学课程标准》明确指出:
义务教育阶段的数学课程致力于学生体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和应用数学的信心;
学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题;
形成勇于探索,勇于创新的科学精神;
获得对未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识,(包括数学知识,数学活动经验)以及基本的思想方法和必要的应用技能。
创新人才需要高素质的人,高素质的人必须具备优秀的思维品质,而数学是思维的科学,思维能力是数学能力的核心。
在数学教学中渗透数学思想方法是培养学生的创新意识最根本的途径。
2、数学教学改革的需要。
根据有关调查发现,在数学教学中数学思想方法的教学不受重视。
相当一部份教师根本没有把数学思想方法纳入教学目标。
而加强数学思想方法的教学是进一步提高数学教学质量的需
要。
从数学教材体系看,整个小学数学教材中贯穿着两条主线,一是写进教材的最基础的数学知识,它是明线,一贯很受重视,必须切实保证学生学好。
另一条是数学能力培养和数学思想方法的渗透,这是条暗线,少或没有直接写进教材,但对小学生的成长却十分重要,也越来越引起人们的重视。
在教学中不能只注重数学知识的教学,忽视数学思想方法的教学。
两条线应在课堂教学中并进,无形的数学思想将有形的数学知识贯穿始终。
重视数学思想方法的教学有利于教师从整体上把握数学教学目的,将数学的本质、知识形成的过程,解决问题的过程展示给学生,教学达到事半功倍。
现在教学中存在重知识结论的教学,轻知识发生过程的教学;
重知识达标评价,轻数学思想形成的评价;
重学生眼前的分数利益,轻学生的长远素质发展等的现状。
一些教师对数学思想方法的理解不深透,数学思想方法的渗透教学在课堂教学中短时期难以见成效。
因此,在小学数学教学中,数学思想方法的教学难以规范有序的实施,成为被人遗忘、冷落的“角落”。
数学教学若是坚持“数学知识的教学”则远远不能培养数学的思维能力,而数学思维能力的培养需要数学思想方法的教学与渗透。
基于以上现状,数学思想方法的教学在小学数学教学法中有必要进行实践与探索。
3、在认知心理学里,思想方法属于元认知范畴,它对认知活动起着监控、调节作用,对培养能力起着决定性的作用。
学习数学的目的“就意味着解题”(波利亚语),解题关键在于找到合适的解题思路,数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。
因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。
4、小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的因素是思维素质,而数学思想方法就是增强学生数学观念,形成良好思维素质的关键。
如果将学生的数学素质看作一个坐标系,那么数学知识、技能就好比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴的内容。
淡化或忽视数学思想方法的教学,不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构,也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。
因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破口。
二、现行小学数学教材中主要数学思想方法的知识分布及其教学策略。
现行的小学数学无论是新教材还是旧教材从教材内容看,小学数学解题常用到数学模型、符号化思想、统计思想、化合思想、组合思想等。
这些数学思想方法对帮助学生解决实际问题有着重要的作用。
1、符号化思想。
英国著名哲学家、数学家罗素说过:
“什么是数学?
数学就是符号加逻辑”。
小学教材中大致出现如下几类符号:
(1)个体符号:
表示数的符号,如:
1、2、3、4…,0;
a,b,c,…,π,χ以及表示小数、分数、百分数的符号。
(2)数的运算符号:
+,-,×
(·
),÷
(/,:
)。
(3)关系符号:
=,≈,>
,<
,≠等。
(4)结合符号:
(),〔〕等以及表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。
由于数学符号的抽象性和小学生思维习惯的具体性之间存在着矛盾,又由于符号常常是概念的代表。
所以教师在教学中渗透符号化思想就要注意:
①让学生正确理解与使用数学符号。
在实际的教学中,学生在使用这些数学符号时往往会出现如下的错误。
例如:
在教学低年级文字题“90比60多几?
”小学生由于对加法的意义的不理解,往往看“多”就用“+”,看“少”就用“-”。
误列式为“90+60”。
又例高年级文字题“一个数的6倍少24是180,求这个数是多少?
”学生也往往看见“倍”用“×
”,看“少”就用“-”,误列式为“(180-24)×
6”。
象这样的例子,教师在教学中注意让学生理解符号的内涵,正确理解使用符号所表示的概念。
如果只从解法上予以纠正而不从符号化思想上予以透,将事倍功半,学生今后还会出现类似的错误。
②掌握日常语言与符号语言间的转化。
数学教学实际上是数学语言的教学。
在教学活动中,要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转化,即将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。
反之,也能将符号语言转化为问题,看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。
小营村有棉田75公顷,已知一个数的60%是解:
设全村耕地面积是
是全村耕地面积的60%全分析转化75,求这个数是多少?
χ公顷。
村耕地面积是多少公顷?
X60%=75
日常语言数学语言符号语言
因此,教师在教学当中要引导学生用数学语言描述生活语言,而不要机械的把数学符号灌输给学生,从而培养学生抽象思维能力。
③在填数中渗透变元思想。
小学数学教科书在不同阶段,对变元思想有不同水平、不同形式的渗透,以便让学生逐步了解变元思想。
3.□7>
3.27,45.16<
45.1□,学生在方框里填上一个数很容易,但教师要明白,若将方框里填上χ就变成一元一次不等式。
因此,教师应引导学生继续思考:
方框内最多可以填几个数?
这种思考能是学生初步了解变元思想。
④在字母表示数中渗透符号化思想。
在小学教材中,用字母表示数有表示运算定律,表示数量关系,面积体积公式等。
加法交换律:
a+b=b+a,路程=速度×
时间用字母表示s=vt,等。
教师在教学用字母表示数时要循序渐进,从学生的生活中、原有的认知结构结合起来自然的建构。
2、数学模型方法。
著名数学家华罗庚先生说:
“数无形时不直观,形无数时难入微”,这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、相互制约的辩证关系。
数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。
数学模型可做广义和狭义理解。
按广义的理解,凡一切数学概念、数学公式、数学理论体系、方程式和算法系统都可以叫做数学模型。
数学模型可以分为三类:
①概念型数学模型,如实数、函数、集合、向量等。
②方法型模型,如各种方程、公式等。
③结构型模型,如群、环、域、向量空间等。
数学模型在解题中的基本构造如下:
实际问题
数学抽象
数学模型还原说明
演算推理
数学模型的解
由于数学模型的直观性能将概念的本质属性变得明显,学生掌握较容易,因此,在小学数学教学中恰当地渗透数学模型方法,有助于小学生掌握数学知识,增强解题能力,提高数学教学的效果。
小学数学教学一般运用的是概念型数学模型和方法型的数学模型。
①集合模型在教学中的渗透。
三角形按角分类可以用下图表示:
三角形
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