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我们可以直接应用下式
P(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC)3dyP(x)yQ(x)dx
得到方程的通解,其中,
2,Q(x)(x1)2P(x)x1
代入积分同样可得方程通解5
2y(x1)[(x1)2C],323
2.微分方程的相关概念:
(看完后你会懂得各类微分方程)
一阶微分方程:
yf(x,y) 或 P(x,y)dxQ(x,y)dy0
可分离变量的微分方程:
一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:
g(y)dyf(x)dx 得:
G(y)F(x)C称为隐式通解。
dyyf(x,y)(x,y),即写成的函数,解法:
dxx
ydydududxduy设u,则ux,u(u),分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxx(u)ux齐次方程:
一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
dy1P(x)yQ(x)dx
P(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程,yCe
P(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为非齐次方程,y(Q(x)edxC)e
dy2P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx
全微分方程:
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:
uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0P(x,y)Q(x,y)xy
u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)2dxdxf(x)0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)ypyqy0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:
()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;
2、求出()式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
ypyqyf(x),p,q为常数
f(x)exPm(x)型,为常数;
f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
3.工程中的解法:
四阶定步长Runge-Kutta算法
其中h为计算步长,在实际应用中该步长是一个常数,这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt的值求解出下状态变量Xt+1的值
亲们,你们满意吗?
一阶微分方程的解 一阶微分方程的常数变易法的应用探析
Theexplorationoflinearordinarydifferentialequationoffirstorderwithmethodofleading
variables
作 者:
刘*
专 业:
数学与应用数学
指导老师:
杜**
完成时间:
2016年9月1号
摘要
常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。
本文先介绍一阶线性非齐次微分方程的常数变易法,然后讨论四种形式的一阶非线性微分方程的常数变易法,包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法。
Methodofleadingvariablesismethodofsolvinglinearordinarydifferentialequationoffirstorder.Thispaperfirstintroducesfirst-orderdifferentialequationsofnonhomogeneouslinearmethod,andthendiscussvariationoffourtypesoffirstordernonlineardifferentialequationofvariation,includinghomogeneousequation,thebayesianequationandliCARDScarryequationofvariationlaw.
关键词:
一阶线性;
一阶非线性;
常数变易法
Keywords:
Alinear;
First-ordernonlinear;
Methodofleadingvariables
目录
1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法........................................42、一阶非线性微分方程的常数变易法............................................5
dyyy
g()xx.............................................5齐次方程dx
dy
p(x)yQ(x)yn
贝努力方程:
dx....................................5dy
p(x)y2Q(x)yR(x)
黎卡提方程:
dx.............................6
y
yp(x)eQ(x)的微分方程...................................8形如
目前,由于常微分方程应用的广泛性,人们基本满足于各类型方程的各自求解方法。
基于此,常微分方程课程可以说是各类型的孤立技巧与方法的汇编,从内容联系上势必感到松散。
因此,把握解常微分方程的方法,在学习此类课程时,不仅仅是记住一些解法,更重要的是强调思维方法的训练。
由于常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,且常应用于一阶线性微分方程的求解,因此本文对这一部分的内容做一系统整理。
在数变易法中,将常数换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解。
1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法
p(x)yQ(x) dxdy
p(x)y
(2)先解对应的其次线性微分方程dx
为求解一阶非齐次线性微分方程用分离变量法可得的通解:
yce
p(x)dx
然后从这通解出发,把这通解中的任意常数c编译成的未知函数c(x),得到
yc(x)e
于是:
yc(x)e
c(x)p(x)e
将和代入方程,得:
c(x)e
p(x)c(x)e
Q(x)
即:
c(x)ep(x)dx
Q(x),所以,c(x)eQ(x)
p(s)dx
所以:
c(x)eQ(x)dxc
所以,的通解为:
ye例1
(eQ(x)dxc)
2xy4xdx
dyx2
2xy0解:
首先求线性齐次方程的通解yce。
再应用常数变易法求线性非齐次微分方程的通解,为此,在上式中把常数c变易成待
定函数c(x),即令:
yc(x)ex,代入原方程得:
2
c(x)ex2xc(x)ex2xc(x)ex4x
化简得到:
c(x)4xex,上式两边积分得:
c(x)2exc
222
于是,原方程的通解为ycex2
2、一阶非线性微分方程的常数变易法
个别的一阶非线性微分方程,可用常数变易法求解,下面介绍四类一阶非线性微分方程的常数变易法。
g()
x 齐次方程dxx
对这种方程的解法,在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程,然后根据可分离变量方程的解法去解,在这里我们可以直接用常数变易法求解。
根据常数变易法,先求出原方程“对应”的齐次方程:
dyy
的通解:
ycxdxx
再令:
yc(x)x 代入,有:
c(x)xc(x)c(x)gc(x)
dc(x)gc(x)dc(x)dx
,即:
dxxgc(x)x
两边积分就可以求出c(x),然后再代入,便得原方程的通解。
例2:
求方程xyyxtan解:
将方程改写为
x
的通
dyyytandxxx
的通解为:
dc(x)
xtanc(x),即dx
可以求得,它“对应”的齐次线性方程再令:
yc(x)x,代入原方程可得:
dc(x)dx
tanc(x)x
两边积分得sinc(x)cx代回原变量,得原方程的通解为sin
cxx
dx
形如dx的方程称为伯努利方程,其中p(x),Q(x)为x的连续函数,(n
≠0,1),对于贝努力方程,在一般的教科书上都是先把它化为线性方程,然后根据线性方程
的求解方法去解,在这里我们直接用常数变易法去求解。
根据常数变易法,先求它“对应”的齐次线性方程令:
yc(x)e
p(x)dxdy
p(x)y的通解:
ycedx
代入得,
n
np(x)dx
Q(x)cn(x)e
c(x)Q(x)c(x)e
(n1)p(x)dx
cn(x)dc(x)Q(x)e
dx
1n1
(n1)p(x)dxdxc解得:
c(x)(1n)Q(x)e
n1
所以,的通解为ye
(1n)Q(x)e
dxc
利用此公式可求出任一伯努利方程的通解。
例3、求方程
6xy2的通解。
dxx
6
,Q(x)x,n2x
可以判断,此方程为贝努力方程,这里p(x)原方程“对应”的齐次方程为令
6,其通解为:
ycx6,dxx
yc(x)x6,代入原方程化简得:
c(x)x6xc2(x)x12
dc(x)dc(x)
c2(x)x7,即:
2x7dxdxc(x)
1x8
c
c(x)8
x6x2
所以原方程的通解为:
c
y8
dx
一般来说,这一类方程一般来说没有初等解法,不过,若知道其一特解y1,经变换
yzy1后,方程就变为贝努力方程,因而可解。
这里直接用常数变易法求一类特殊的黎
卡提方程的解:
且a0)
p(x)dxdy,22p(x)dx
p(x)yQ(x)ayebyec
代入原方程,有:
dc(x)p(x)dx2
eQ(x)ac(x)bc(x)cdx
分离变量得到:
dc(x)ac(x)bc(x)c
p(x)dx
Q(x)e
两边积分,求出c(x),然后代入可以得原方程的通解。
dyy1x
例4、求方程22e(2yex1)2的通解。
dxxx
2dxp(x)dx1
在这里由于p(x)2,eexex
21
ay2e2p(x)dxbyep(x)dxc(2yex1)2
故原方程属于上述黎卡提方程,其中a4,b4,c1。
原方程“对应”的齐次线
dyy
2通解为:
ycex性方程
dxx
1x
令yc(x)e
代入原方程有:
dydc(x)x111
ec(x)ex
(2)2c(x)ex2ex(2c(x)exex1)2dxdxxxx
e
dc(x)1x
2e(2c(x)1)2dxx
1x
2edx2
2c(x)1x
1d2c(x)11x即:
ed2
22c(x)1x
1
两边积分得:
A2ex
2c(x)1
1x1x
所以得到:
c(x)
e
2(Ae2)
y
12
12(Ae2)
1x
1
ex2
yp(x)eQ(x)的微分方程 形如
先求得“对应”的方程yp(x)e0的通解为:
yln
p(x)dxc
p(x)dxc(x),代入原方程化简后得:
c(x)Q(x)c(x)Q(x)p(x)dx,由此解出c(x)后,便得的通解为
Q(x)dxp(x)dxdxcylnp(x)dxeQ(pdx)e
yp(x)eQ(x)的通解。
利用此公式可以求得
例5、求yecosx
的通解。
x
y
先解方程yecosx0,它的解是esinxc或yln(sinxc)。
可令
原方程的解为yln(sinxc(x)),代入方程得:
c(x)1
sinxc(x)x
即c(x)
11
c(x)sinxxx
xdx1xdx
c(x)esinxedxc
x
sinxdxc
x1
(cosxc)x
cosxc
) 所以原方程的通解为yln(sinxxx
参考文献
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高等教育出版社.
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[3]、张学元.变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型[J].大学数学,xx,19
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10-13.[5]、罗亚平,陈仲.微分方程[M].南京:
南京大学出版社,1987.
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49-51.[8]、四川大学数学系.高等数学[M].北京:
人民教育出版社,1979:
35-46
致谢
在本文的成文过程中,得到了杜老师的悉心指导,在这里我衷心感谢在写论文的这段日子里老师付出的辛苦和所提出的宝贵意见,有了杜老师的不辞辛苦,才有了本文的成形。
同时在此,对我所有的专业课任课老师表示崇高的敬意与感谢。
另外,由于时间有限,行文较仓促,其中一定还有很多的不足之处,希望各位专家和老师批评指正!
谢谢!
Ch7-求解常微分方程-1 225-232
第七章 求解偏微分方程
常微分方程的求解是在高等数学里面讲过的,所以大家比较熟悉,对于偏微分方程的求解可能就有点陌生了。
事实上偏微分方程在工程上有着更广泛地应用,例如描述液体在多孔介质中的扩散,声学和电磁学中谐波的传播,热在固体中的传导等过程的微分方程都是偏微分方程。
所以求解偏微分方程在工程实际上有着非常重要的价值。
手工求解常微分方程就已经非常麻烦和复杂了,那么求解偏微分方程就更加的复杂和繁冗了。
所幸的是有MATLAB这个计算工具来帮我们解决这一麻烦问题,MATLAB中有一个专门用来求解片微分方程的工具箱PDE工具箱。
这个工具箱不但提供有丰富的命令函数,使求解偏微分方程便的简单灵活,而且该提供了一个求解偏微分方程的图形用户界面系统,使得整个求解过程更加的人性化。
特别是对于初学者来说GUIjiang更容易被接受,操作也更方便,所以偏微分方程的求解这一部分我们将主要介绍PDE工具箱的GUI系统。
7-1偏微分方程的特点
对于n阶常微分方程我们知道它的解取决于n个任意常数,例如一阶常微分方程的解可以表示为:
uf(x)c,c为任意常数。
但是对于偏微分方程来说就不是由多少个常数来确2u定的了,例如偏微分方程f(x,y)的解可表示为:
xy
u(x,y)x
x0yy0f(,)ddw(x)v(y)
其中w(x)和v(y)为两个连续的任意可微函数。
我们看到偏微分方程的解可能是非常多的,与常微分方程的解依赖于若干任意常数相比,它的自由度要大的多,对于多维偏微分方程的解更是这样。
正是由于这个原因,一般来说偏微分方程的解很难用通式表达出来。
事实上我们常用到的是偏微分方程在某种特定条件下的解,这样靠着这些特定条件的约束我们就可以把偏微分方程的解表示出来了。
我们把这些帮助确定偏微分方程特解的条件叫做定解条件,由于自变量在多维空间中的变化,其变化的区域非常复杂,所以在区域边界上给出的定解条件也更加形式多样,我们一般称给定在区域边界上的定解条件为边界条件。
我们看到边界条件岁于求解偏微
由于偏微分方程的求解一般来说太过复杂,所以现在没有一个对所有的偏微分进行求解的理论,所谓的求解偏微分方程也只是对于某些人们比较熟悉的类型的偏微分方程进行求2u2u2u2u解。
不同类型的偏微分方程代表不同的物理现象,例如方程a(222)表txyz
示内部没有热源的情况下物体的温度分布应满足的条件,t表示时间变量,x、y、z分别表示物体的三维空间坐标,这里a2K,K为物体的热传导系数,Q为该物体的热的容量。
Q
再比如方程22u2u2u2ua(222)表示声波或者振动在介质中的传播,同样t表2txyz
示振动传播的时间变量,x、y、z表示介质的三维空间坐标,而a则表示振动在该介质中传播的速度。
人们通过对偏微分方程的研究,把常见的偏微分方程归结为四种类型,即:
椭圆型方程、抛物型方程和混合型方程。
前面讲过的热传导方程是一个抛物型方程,波动方程则是一个双曲型方程。
如果热传导方程不考虑时间因素,则方程变为
2u2u2ua(222)0,这个方程就是一个椭圆方程了,混合型方程顾名思义就是一个xyz2
方程具有上面三种类型方程中至少两种的特点的方程了。
上面说过,边界条件对于求解偏微分方程很关键,在求解过程中最常用的地定解条件有两种,即:
狄利克雷条件、诺曼条件。
狄利克雷条件常写为u(t,xi)xg(t,xi),即满足给定区域边界Ω的待求函数u为已知函数g;
i
对于热传导方程狄利克雷条件的具体意义就是,已知物体的表面温度分布函数为g;
对于波动方程则狄利克雷条件的具体意义就是,波在介质的表面的振动函数u为已知函数g。
诺曼条件常写为u
n(t,xi),(t,xi)为已知函数,
xi是n
关于的外法线导数。
对于热传导方程诺曼条件的具体意义为,沿给定区域Ω边界的外法向的温度变化率为已知函数φ;
对于波动方程则诺曼条件的具体意义为,沿给定区域Ω边界的外法向的振动速率为已知函数φ。
7-2PDEtoolbox求
1.求解方程的类型
使用PDE工具箱求解偏微分方程的基本类型有椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程、特征值方程、椭圆型方程组和非线形椭圆型方程组。
PDE工具箱对这些方程的公式表述为:
椭圆型方程:
(cu)auf,in;
2u双曲型方程:
d2(cu)auf,int
抛物型方程:
du(cu)auf,int
特征值方程:
(cu)audu,in
这里是微分算子,表示对多元函数求全微分运算。
Ω是给定的平面有界区域,参数c、a、f和待求未知数u都是定义在Ω上的函数。
参数d是定义在Ω上的复函数,是待求的特征值。
在抛物型方程和双曲型方程中,参数函数c、a、f、d可以是时间t的函数。
可以使用非线形解题器求解非线形椭圆型方程:
(cu)a(u)uf(u),这里c、a和f都是未知的待求函数u的函数。
另外,PDE工具箱提供的解题器都可以处理下面的方程
组:
(c11u1)
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- 关 键 词:
- 微分方程 解解