有穷无穷递增递减数列知识点+练习题.docx
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有穷无穷递增递减数列知识点+练习题
数列的分类
(1)按项数分:
可以分为有穷数列和无穷数列,即如果项数是有限的那么就是有穷数列,如果项数是无限的那么就是无穷数列:
(2)
(2)按增减分:
可以分为递增数列和递减数列,即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列,如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列;
(3)(3)按项的特点分:
可以分为摇摆数列和常数列,即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列,如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。
有穷数列的定义:
项数有限的数列叫做有穷数列;
无穷数列的定义:
项数无限的数列叫做无穷数列;
递增数列的定义:
一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。
递减数列的定义:
如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。
单调数列:
递增数列和递减数列通称为单调数列.
数列的单调性:
1.对单调数列的理解:
数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列
不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:
已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。
摆动数列的定义:
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。
巧用(-1)n求摆动数列的通项:
在数列中,我们经常会碰到求形如:
1,-1,1,-1,⋯,或-1,1,-1,1,⋯,等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。
例题1.有穷数列1,23,26,29,⋯,23n+6的项数是()
A.3n+7
B.3n+6
C.n+3
D.n+2
答案:
C
例题2.已知{an}是递增的数列,且对于任意n∈N*,都有an=n2+λn成立,求实数λ的取值范围
解:
∵{an}是递增的数列,
∴an≤an+1对任意的n∈N*恒成立,
即n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1),解得λ≥-2n-1,
∵-2n-1≤-3,
∴λ≥-3
例题3.共有10项的数列{an}的通项an=,则该数列中最大项、最小项的情况是
()
A.最大项为a1,最小项为a10
B.最大项为a10,最小项为a1
C.最大项为a6,最小项为a5
D.最大项为a4,最小项为a3
答案:
D
例题4*.在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立,(Ⅰ)求a2的取值范围;
(Ⅱ)判断数列{an}能否为等比数列说明理由;
,求证:
对任意的n∈N*,
(Ⅲ)设
(Ⅰ)解:
因为{an}是单调递增数列,所以,
令n=1,,所以。
(Ⅱ)证明:
数列{an}不能为等比数列。
用反证法证明:
假设数列{an}是公比为q的等比数列,
因为{an}单调递增,所以q>1,
因为n∈N*,(n+1)an≥na2n都成立,
所以n∈N*,
,①
因为
(n∈N*),
所以
,当
时,,与①矛盾,故假设不成立。
猜想:
用数学归纳法证明:
Ⅲ)证明:
观察:
1)当n=1时,成立;
2)假设当n=k时,
成立;
当n=k+1时,
所以
,
根据
(1)
(2)可知,对任意n∈N*,都有,即
由已知得
所以
所以当n≥2时,
因为
所以对任意n∈N*,
对任意n∈N*,存在m∈N*,使得
因为
所以。
例题5.已知下列数列:
(1)2000,2004,2008,2012;
(2)0,;
(3)1,
(4)1,
;
(5)1,0,-1,⋯,sin(6)3,3,3,3,3,3
其中,有穷数列是(),无穷数列是(),递增数列是(),递减数列是(),常数列是(),摆动数列是(),周期数列是()。
(将合理的序号填在横线上)
答案:
(1)(6);
(2)(3)(4)(5);
(1)
(2);(3);(6);(4)(5);(5)
例题6.下列叙述中正确的个数为()
①数列{an},an=2是常数列;
②数列是摆动数列;
④若数列{an}是递增数列,则数列{an·an+1}也是递增数列;
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:
C
例题7.已知Sk表示数列{ak}的前k项和,且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*),那么此数列是()
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
a1=m
D.摆动数列
例题8.设Sn为数列{an}的前n项和(n=1,2,3,⋯⋯)。
按如下方式定义数列{an}:
(m∈N*),对任意k∈N*,k>1,设ak为满足0≤ak≤k-1的整数,且k整除Sk,
(Ⅰ)当m=9时,试给出{an}的前6项;
(Ⅱ)证明:
k∈N*,有;
(Ⅲ)证明:
对任意的m,数列{an}必从某项起成为常数列。
解:
(Ⅰ)m=9时,数列为9,1,2,0,3,3,3,3,
即前六项为9,1,2,0,3,3。
Ⅱ)
Ⅲ)
kN有SkN,
k
由(Ⅱ)可得
不妨设从l项起为常数,则
所以
所以{an}当n≥l+1时成为常数列。
例题9*.数列{an}满足:
an+1=3an-3an2,n=1,2,3,⋯。
Ⅰ)若数列{an}为常数列,求a1的值;
Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:
数列{a2n}单调递减。
Ⅰ)解:
因为数列为常数列,
所以
,
,
由n的任意性知,或
。
Ⅱ)证明:
用数学归纳法证明
①当n=1时,
,符合上式;
所以,当n=k+1时,
成立,
。
。
由①,②知,
Ⅲ)证明:
因为
n≥2),
所以只要证明
由(Ⅱ)知,
所以只要证明
,
,
因为,
即证明
令
所以函数f(x)在R上单调递增;
例题10*.已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:
,n=2,3,4,⋯
Ⅰ)证明数列
是常数数列;
因为
Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;Ⅲ)证明当a∈M时,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。
解:
(Ⅰ)当
n≥2时,由已知得,
,⋯⋯⋯⋯①
由②-①得,⋯⋯⋯⋯③
于是,⋯⋯⋯⋯④
由④-③得,⋯⋯⋯⋯⑤
所以(n≥2)是常数列。
(Ⅱ)由①有,
由③有,而⑤表明:
数列分别是以a2、a3为首项,6为公差的等差数列,所以,数列是单调递增数列对任意的k∈N*成立
即所求a的取值集合是
(Ⅲ)弦,
任取x0,设函数,
记
当上为增函数,
当上为减函数,
所以,从而f′(x)>0,
所以f(x)在上都是增函数;由(Ⅱ)知,当a∈M时,数列单调递增,
所以的斜率随
n单调递增。
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