高中数学必修一322 函数模型的应用实例学案文档格式.docx

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0，a≠1）

（7）幂函数模型

f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）

（8）分段函数模型

2.建立函数模型解决问题的框图表示

图326

1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（　　）

A．300只　　　　　　　B．400只

C．600只D．700只

【解析】　将x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300.

【答案】　A

2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（　　）

A．y＝0.3x＋800（0≤x≤2000）

B．y＝0.3x＋1600（0≤x≤2000）

C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000）

D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）

【解析】　由题意知，变速车存车数为（2000－x）辆次，则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×

0.8＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）．

【答案】　D

[小组合作型]

一次函数、二次函数模型的应用

　商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：

（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

【精彩点拨】　

（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；

（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．

【自主解答】　

（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则x∈（100,300]，n＝kx＋b（k＜0），∵0＝300k＋b，即b＝－300k，

∴n＝k（x－300），y＝（x－100）k（x－300）＝k（x－200）2－10000k（x∈（100,300]），

∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．

（2）由题意得，k（x－100）（x－300）＝－10000k·

75%，

即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

[再练一题]

1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100

（0≤t≤24），求供水几小时后，蓄水池中的存水量最少.【导学号：

97030141】

【解】　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100

（0≤t≤24），设u＝

，则u∈[0，2

]，y＝60u2－100

u＋400＝60

2＋150，

∴当u＝

，即t＝

时，蓄水池中的存水量最少．

指数函数、对数函数模型的应用

　声强级Y（单位：

分贝）由公式Y＝10lg

给出，其中I为声强（单位：

W/m2）．

（1）平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；

（2）一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

（3）比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×

10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？

【精彩点拨】　由公式Y＝10lg

可以由I求Y，也可以由Y求I，计算I＝5×

10－7W/m2时的声强级并与50作比较就可以判断两位同学是否会影响其他同学休息．

【自主解答】　

（1）当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg

＝10lg106＝60，即声强级为60分贝．

（2）当Y＝0时，即为10lg

＝0，

所以

＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.

（3）当声强I＝5×

10－7W/m2时，声强级Y＝10lg

＝10lg（5×

105）＝50＋10lg5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．

1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．

2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N（1＋p）x，（其中N为基数，p为增长率，x为时间）的形式．

2．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：

（1）写出y关于x的函数解析式；

（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）．

【解】　

（1）当x＝1时，

y＝100＋100×

1.2%＝100（1＋1.2%）；

当x＝2时，

y＝100（1＋1.2%）＋100（1＋1.2%）×

1.2%＝100（1＋1.2%）2；

当x＝3时，

y＝100（1＋1.2%）2＋100（1＋1.2%）2×

1.2%＝100（1＋1.2%）3；

……

故y关于x的函数解析式为y＝100（1＋1.2%）x（x∈N*）．

（2）当x＝10时，y＝100×

（1＋1.2%）10＝100×

1.01210≈112.7.

故10年后该县约有112.7万人．

（3）设x年后该县的人口总数为120万，即100×

（1＋1.2%）x＝120，解得x＝log1.012

≈16.

故大约16年后该县的人口总数将达到120万．

分段函数模型的应用

　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）＝80－2t（件），价格近似满足于f（t）＝

（元）．

（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；

（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

【精彩点拨】　

（1）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；

（2）由

（1）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

【自主解答】　

（1）由已知，由价格乘以销售量可得：

y＝

＝

（2）由

（1）知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－（t－5）2＋1225，

函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5）递增，在t∈（5,10]递减，

∴ymax＝1225（当t＝5时取得），ymin＝1200（当t＝0或10时取得）．

②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝（t－45）2－25，

图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈（10,20]递减，t＝10时，y＝1200，ymin＝600（当t＝20时取得），

由①②知ymax＝1225（当t＝5时取得），ymin＝600（当t＝20时取得）．

1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．

2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．

3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；

若旅行团人数多于30人，则给予优惠：

每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元.【导学号：

97030142】

（1）写出每人需交费用y关于人数x的函数；

（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

【解】　

（1）当0＜x≤30时，y＝900；

当30＜x≤75，y＝900－10（x－30）＝1200－10x；

即y＝

（2）设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15000；

当30＜x≤75，S＝x（1200－10x）－15000＝－10x2＋1200x－15000；

即S＝

因为当0＜x≤30时，S＝900x－15000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；

当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10（x－60）2＋21000，

即x＝60时，Smax＝21000＞12000.

所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．

[探究共研型]

拟合数据构建函数模型

探究1　画函数图象的一般步骤有哪些？

【提示】　列表、描点、连线．

探究2　学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？

【提示】　第一步：

收集样本一周的数据，制成样本点．如（1，x1），（2，x2），…，（7，x7）．

第二步：

描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示．

第三步：

数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点．

第四步：

验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．

　某企业常年生产一种出口产品，自2013年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2013年为第1年，前4年年产量f（x）（万件）如下表所示：

x

1

2

3

4

f（x）

4.00

5.58

7.00

8.44

（1）画出2013～2016年该企业年产量的散点图；

（2）建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；

（3）2017年（即x＝5）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量为多少？

【精彩点拨】　

→

【自主解答】　

（1）画出散点图，如图所示．

（2）由散点图知，可选用一次函数模型．

设f（x）＝ax＋b（a≠0）．由已知得

解得

∴f（x）＝1.5x＋2.5.

检验：

f

（2）＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<

0.1.

f（4）＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<

∴一次函数模型f（x）＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．

（3）根据所建的函数模型，预计2017年的年产量为f（5）＝1.5×

5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×

70%＝7万件，即2017年的年产量为7万件．

函数拟合与预测的一般步骤是：

（1）根据原始数据、表格，绘出散点图.

（2）通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.

（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.

4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x（1≤x≤4，x∈N*）之间关系的是（　　）

A．y＝100x　　　　B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×

2xD．y＝100x

【解析】　当x＝4时，A中，y＝400，B中，y＝700，C中，y＝800，D中，y＝1004.故选C.

【答案】　C

1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：

0.50

0.99

2.01

3.98

y

－0.99

0.01

0.98

2.00

则对x，y最适合的拟合函数是（　　）

A．y＝2x　　　　　　　　B．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

【解析】　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；

根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；

将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．

2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－

Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．

【解析】　因为L（Q）＝40Q－

Q2－10Q－2000＝－

Q2＋30Q－2000＝－

（Q－300）2＋2500，

所以，当Q＝300时，L（Q）的最大值为2500万元．

【答案】　2500

3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．

【解析】　设彩电的原价为a，∴a（1＋0.4）·

80%－a＝270，

即0.12a＝270，解得a＝2250.

∴每台彩电的原价为2250元．

【答案】　2250

4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451）

【解析】　由题意，得14（1＋1.25%）x－2008>

20，即x－2008>

＝28.7，

解得x>

2036.7，又x∈N，故x＝2037.

【答案】　2037

5．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．

（1）把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数（从A地出发时），并画出函数的图象；

（2）把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象．

【解】　

（1）①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t（0≤t≤2.5）．

②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150（2.5＜t≤3.5）．

③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50（t－3.5）＝325－50t（3.5＜x≤6.5）．

综上，s＝

它的图象如图

（1）所示．

（1）　　　　　　　　　　　　　

（2）

（2）速度v（km/h）与时间t（h）的函数关系式是v＝

它的图象如图

（2）所示．