二次函数在实际生活中的应用与实际问题分类整理Word文档下载推荐.docx
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图Z8-1
(2)请直接写出y与x之间的函数表达式:
__y=20x+1_000__;
自变量x的取值范围为__30≤x≤50__;
(3)第二个月的销售单价定为多少元时,可获得最大利润?
最大利润是多少?
(1)图中点P所表示的实际意义是:
当售价定为35元/件时,销售量为300件;
第一个月的该商品的售价为20×
(1+50%)=30(元),销售单价每提高1元时,销售量相应减少数量为(400-300)÷
(35-30)=20(件).
(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将点(30,400),(35,300)代入,得
解得
∴y与x之间的函数表达式为y=-20x+1000.
当y=0时,x=50,
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.
(3)设第二个月的利润为W元,
由已知得W=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)=-20x2+1400x-20000
=-20(x-35)2+4500,
∵-20<0,∴当x=35时,W取最大值4500.
第二个月的销售单价定为35元时,可获得最大利润,最大利润是4500元.
2.[2016·
宁波一模]大学生自主创业,集资5万元开品牌专卖店,已知该品牌商品成本为每件a元,市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系,如下表所示:
销售价x(元/件)
…
110
115
120
125
130
销售量y(件)
50
45
40
35
30
若该店某天的销售价定为110元/件,雇有3名员工,则当天正好收支平衡(即支出=商品成本+员工工资+应支付的其他费用).已知员工的工资为每人每天100元,每天还应支付其他费用200元(不包括集资款).
(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)该店现有2名员工,试求每件服装的销售价定为多少元时,该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入-商品成本-员工工资-应支付的其他费用);
(3)在
(2)的条件下,若每天毛利润全部积累用于一次性还款,而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息,则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款?
(1)由表可知,y是关于x的一次函数,设y=kx+b,
将x=110,y=50;
x=115,y=45分别代入,
得
∴y=-x+160(0<x≤160);
(2)由已知可得50×
110=50a+3×
100+200,
解得a=100.设每天的毛利润为W元,
则W=(x-100)(-x+160)-2×
100-200
=-x2+260x-16400
=-(x-130)2+500,
∴当x=130时,W取最大值500.
每件服装的销售价定为130元时,该服装店每天的毛利润最大,最大毛利润为500元;
(3)设需t天才能还清集资款,
则500t≥50000+0.0002×
50000t,
解得t≥102
.
∵t为整数,∴t的最小值为103天.
该店最少需要103天才能还清集资款.
3.[2017·
青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨
.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录:
淡季
旺季
未入住房间数
10
日总收入(元)
24000
40000
(1)该酒店豪华间有多少间?
旺季每间价格为多少元?
(2)今年旺季来临,豪华间的间数不变,经市场调查发现,如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格,那么每天都客满;
如果价格继续上涨,那么每增加25元,每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格上涨多少元时,豪华间的日总收入最高?
最高日总收入是多少元?
(注:
上涨价格需为25的倍数)
(1)设淡季每间的价格为x元,依题意得
=
+10,解得x=600,
∴酒店豪华间有
=50(间),
旺季每间价格为x+
x=600+
×
600=800(元).
该酒店豪华间有50间,旺季每间价格为800元;
(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元,日总收入为y元,
y=(800+x)
(x-225)2+42025,
∴当x=225时,y取最大值42025.
该酒店将豪华间的价格上涨225元时,豪华间的日总收入最高,最高日总收入是42025元.
4.某公司经营杨梅业务,以3万元/t的价格向农户收购杨梅后,分拣成A,B两类,A类杨梅包装后直接销售,B类杨梅深加工再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/t,根据市场调查,它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8-2,B类杨梅深加工总费用s(单位:
万元)与加工数量t(单位:
t)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/t.
图Z8-2
(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;
(2)第一次该公司收购了20t杨梅,其中A类杨梅xt,经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润=销售总收入-经营总成本).
①求W关于x的函数关系式;
②若该公司获得了30万元毛利润,问:
用于直接销售的A类杨梅有多少吨?
(3)第二次该公司准备投人132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.
(1)y=
(2)∵销售A类杨梅xt,则销售B类杨梅(20-x)t.
①当2≤x<8时,
W=x(-x+14)+9(20-x)-3×
20-x-[12+3(20-x)]=-x2+7x+48,
当x≥8时,W=6x+9(20-x)-3×
20-x-[12+3(20-x)]=-x+48,
∴函数表达式为W=
②当2≤x<8时,-x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=-2,均不合题意,
当x≥8时,-x+48=30,解得x=18.
当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18t;
(3)设该公司用132万元共购买mt杨梅,其中A类
杨梅为xt,B类杨梅为(m-x)t,购买费用为3m万元.
由题意,得3m+x+[12+3(m-x)]=132,
化简,得3m=x+60.
①当2≤x<8时,W=x(-x+14)+9(m-x)-132,把3m=x+60代入,得
W=-(x-4)2+64,
当x=4时,有最大毛利润64万元.
此时,m=
,m-x=
;
②当x≥8时,W=6x+9(m-x)-132,由3m=x+60,得W=48,当x≥8时,毛利润总为48万元.
综上所述,购买杨梅共
t,且其中直销A类杨梅4t,B类杨梅
t,公司能获得最大毛利润64万元.
【中考预测】
某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:
这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件.
(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)当销售价定为45元时,计算月销售量和销售利润;
(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下,使月销售利润达到10000元,销售价应定为多少?
(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润?
求出最大利润.
(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为
y=(x-30)[600-10(x-40)]=-10x2+1300x-30000;
(2)当x=45时,600-10(x-40)=550(件),
y=-10×
452+1300×
45-30000=8250(元);
(3)令y=10000,代入
(1)中函数关系式,得
10000=-10x2+1300x-30000,
解得x1=50,x2=80.
当x=80时,600-10(80-40)=200<300(不合题意,舍去),故销售价应定为50元;
(4)y=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+12250,∴x=65时,y取最大值12250.
当销售价定为65元时会获得最大利润,最大利润为12250元.
二次函数与实际问题分类整理
1、理论应用(基本性质的考查:
解析式、图象、性质等)
2、实际应用(拱桥问题,求最值、最大利润、最大面积等)
类型一:
最大面积问题
例一:
如图在长200米,宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路,绿地面积
(㎡)与路宽
(m)之间的关系?
并求出绿地面积的最大值?
变式练习1:
如图,用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积
(㎡)与它与墙平行的边的长
(m)之间的函数关系式?
当x为多长时,花园面积最大?
类型二:
利润问题
例二:
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:
在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:
销售单价是多少时,可以获利最多?
设销售单价为x元,(0<x≤13.5)元,那么
(1)销售量可以表示为____________________;
(2)销售额可以表示为____________________;
(3)所获利润可以表示为__________________;
(4)当销售单价是________元时,可以获得最大利润,最大利润是__________
变式训练2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
每涨价1元,每星期少卖出10件;
每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
变式训练3:
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历从亏损到盈利的过程,如下图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x(月)之间的关系(即前x个月的利润之和y与x之间的关系).
(1)根据图上信息,求累积利润y(万元)与销售时间x(月)的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元?
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
变式训练4.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量
(件)与销售单价
(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)求
与
之间的函数关系式;
(2)设公司获得的总利润(总利润=总销售额
总成本)为P元,求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
根据题意判断:
当x取何值时,P的值最大?
最大值是多少?
类型三:
实际抛物线问题
例三:
某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图10所示。
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,求该抛物线对应的函数关系式;
(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?
并说明理由。
变式练习3:
如图是抛物线型的拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽
米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面宽
米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
变式练习4:
如图,某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物,大门的地面高度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高度为。
(精确到0.1米)
变式:
1如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。
课后练习:
一,利润问题:
1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?
二,面积问题:
2,如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设长方形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?
(2)设长方形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?
3.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,
现把它的示意图放在平面直角坐标系中,
如图该抛物线的解析式为。
4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-
(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是________m.
5、如图,一小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1m,球路的最高点B(8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m).
6、有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m.如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)如图,在对称轴右边1m处,桥洞离
水面的高是多少?
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- 二次 函数 实际 生活 中的 应用 实际问题 分类 整理