中考数学压轴题真题分类汇编三角形Word文档格式.docx
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及
的值.
4.(上海模拟)如图,∠ACB=90°
,CD是∠ACB的平分线,点P在CD上,CP=
.将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.
(1)当点F在射线CA上时
①求证:
PF=PE.
②设CF=x,EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域.
(2)连接EF,当△CEF与△EGP相似时,求EG的长.
5.(上海模拟)已知△ABC中,AB=AC,BC=6,sinB=
.点P从点B出发沿射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由;
(3)如图③,当PQ经过△ABC的重心G时,求BP的长.
6.(上海模拟)如图,三角形纸片ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=3.将纸片折叠,使点B落在AC边上的点D处,折痕与BC、AB分别交于点E、F.
(1)设BE=x,DC=y,求y关于x的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(2)当△ADF是直角三角形时,求BE的长;
(3)当△ADF是等腰三角形时,求BE的长
(4)过C、D、E三点的圆能否与AB边相切?
若能,求BE的长;
若不能,说明理由.
7.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=6,AC=8,AD⊥BC于D,点E、F分别是AB边和AC边上的动点,且∠EDF=90°
,连接EF.
(1)求
(2)设AE的长为x,△DEF的面积为S,求S关于x的函数关系式;
(3)设直线DF与直线AB相交于点G,△EFG能否成为等腰三角形?
若能,求AE的长;
若不能,请说明理由.
8.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=5,D是BC边上一点,CD=3,P是AC边上一动点(不与A、C重合),过点P作PE∥BC交AD于点E.
(1)设AP=x,DE=y,求y关于x的函数关系式;
(2)以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D能否相切?
若能,求tan∠DPE的值;
若不能,请说明理由;
(3)将△ABD沿直线AD翻折,得到△AB′D,连接B′C,当∠ACE=∠BCB′时,求AP的长.
9.(上海模拟)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点P是边AB上的一个动点,连接CP,过点B作BD⊥CP,垂足为点D.
(1)如图1,当CP经过△ABC的重心时,求证:
△BCD∽△ABC;
(2)如图2,若BC=2厘米,cotA=2,点P从点A向点B运动(不与点A、B重合),点P的速度是
厘米/秒,设点P运动的时间为t秒,△BCD的面积为S平方厘米,求S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若△PBC是以CP为腰的等腰三角形,求△BCD的面积.
10.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CE是斜边AB上的中线,AB=10,tanA=
.点P是CE延长线上的一动点,过点P作PQ⊥CB,交CB延长线于点Q.设EP=x,BQ=y.
(1)求y关于x的函数关系式及定义域;
(2)连接PB,当PB平分∠CPQ时,求∠PE的长;
(3)过点B作BF⊥AB交PQ于F,当△BEF和△QBF相似时,求x的值.
11.(上海模拟)如图1,在Rt△AOC中,AO⊥OC,点B在OC边上,OB=6,BC=12,∠ABO+∠C=90°
,动点M和N分别在线段AB和AC边上.
△AOB∽△COA,并求cosC的值;
(2)当AM=4时,△AMN与△ABC相似,求△AMN与△ABC的面积之比;
(3)如图2,当MN∥BC时,以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN.设MN=x,△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
12.(上海模拟)把两块边长为4的等边三角板ABC和DE如图1放置,使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合,DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M.把三角板ABC固定不动,将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转,设旋转角为α,其中0°
,射线DF与线段BC相交于点Q(如图2).
(1)当0°
<α<60°
时,求AM·
CN的值;
(2)当0°
时,设AM=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式并确定自变量x的取值范围;
(3)当BM=2时,求两块三角板重叠部分的面积.
13.(上海模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=60°
,AC=2,CD⊥AB,垂足为点D,点E、F分别在边AC、BC上,且∠EDF=60°
.设AE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)△BDF能否成为等腰三角形?
如果能,请求出x的值,如果不能,请说明理由.
14.(上海模拟)如图,P是线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AP、BP为边,在AB的同侧作等边△APD和等边△BPC,连接BD与PC交于点E,连接CD.
(1)当BC⊥CD时,试求∠DBC的正切值;
(2)若线段CD是线段DE和DB的比例中项,试求此时
(3)记四边形ABCD的面积为S,当P在线段AB上运动时,S与BD2是否成正比例?
若成正比例,试求出比例系数;
若不成正比例,请说明理由.
15.(上海模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D是AC边的中点,E是BC边上一动点(不与端点重合),EF∥BD交AC于F,交AB延长线于G,H是BC延长线上的点,且CH=BE,连接FH.设BE=x,CF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)连接AE,当以GE为半径的⊙G和以FH为半径的⊙F相切时,求tan∠BAE的值;
(3)当△BEG与△FCH相似时,求BE的长.
16.(上海模拟)如图,△ABC中,∠ABC=90°
,AB=BC=4,点O为AB边的中点,点M是BC边上一动点(不与点B、C重合),AD⊥AB,垂足为点A.连接MO,将△BOM沿直线MO翻折,点B落在点B1处,直线MB1与AC、AD分别交于点F、N.
(1)当∠CMF=120°
时,求BM的长;
(2)设BM=x,y=
,求y关于x的函数关系式。
并写出自变量x的取值范围;
(3)连接NO,与AC边交于点E,当△FMC∽△AEO时,求BM的长.
17.(上海模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10,cosB=
,点D在射线AB上,DE∥BC交射线AC于点E,点F在AE的延长线上,且EF=
AE,以DE、EF为邻边作□DEFG,连接BG.
(1)当EF=FC时,求△ADE的面积;
(2)设AD=x,□DEFG与△ABC重合部分的面积为S,求S与x的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)当△DBG是等腰三角形时,求AD的长.
18.(上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,cos∠BAC=
,点O在AB上,且CA=CO=6.将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′,且C′落在CO的延长线上,连接BB′交CO的延长线于点D,
△COA∽△BOD
(2)求BD的长.
19.(安徽)如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a、AC=b、AB=c.
(1)求线段BG的长;
(2)求证:
DG平分∠EDF;
(3)连接CG,如图2,若△BDG与△DFG相似,求证:
BG⊥CG.
20.(浙江金华、丽水)在△ABC中,∠ABC=45°
,tan∠ACB=
.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=
,AC与y轴交于点E.
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
21.(浙江义乌)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°
.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1、CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点D为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段DP1长度的最大值与最小值.
22.(浙江模拟)如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC于点D,点P是边AB上的一个动点,过点P作PF∥AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
(1)用含x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;
(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;
(1)设BP=x,△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式;
(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?
如果能,求出BP的长;
如果不能,请说明理由.
23.(江苏淮安)
阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;
…;
将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:
如图2,沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:
如图3,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;
将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
_________(填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.
根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为________________.
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15°
,60°
,105°
,发现60°
和105°
的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°
,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
24.(江苏宿迁)
(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°
<∠CBE<
∠ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按顺时针方向旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处),连接DE′.求证:
DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°
,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
<∠CBE<45°
).求证:
DE2=AD2+EC2.
25.(江苏镇江)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1).
AM=AN;
(2)设BP=x.
①若BM=
,求x的值;
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=15°
?
并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由.
26.(江苏模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,2),点P是线段OA上的一个动点(不与端点重合),过点P作PQ⊥x轴于Q,以PQ为边向右作正方形PQMN.连接AN并延长交x轴于点B,连接ON,设OQ=t.
(1)求tan∠BON的值;
(2)用含t的代数式表示△OAB的面积S;
(3)是否存在点P,使以B、M、N为顶点的三角形与△MON相似,若存在,请求出B点的坐标;
27.(江苏模拟)在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),A(t,0)是x轴上一动点,M是线段AC的中点.把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°
,得到线段AB,过点B作x轴的垂线,过点C作y轴的垂线,两直线交于点D,直线DB交x轴于点E.
(1)若t=3,则点B的坐标为____________,若t=-3,则点B的坐标为____________;
(2)当t为何值时,△BCD的面积等于6?
(3)是否存在t,使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似?
若存在,求此时t的值;
28.(江苏模拟)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°
,∠BAE=135°
,AC=2
,AD=1,F为BE的中点.
(1)求CF的长;
(2)将△ADE绕点A旋转一周,求点F运动路径的长.
29.(江苏模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D为AC边上一点,且AD=8cm.动点E从点B出发,以1cm/s的速度沿线段BC向终点C运动,F是射线CA上的动点,且∠DEF=∠B.设运动时间为ts,CF的长为ycm.
(1)求y与t之间的函数关系式及点F运动路线的长;
(2)当以点B为圆心,BE长为半径的⊙B与以点C为圆心,CF长为半径的⊙C相切时,求t的值;
(3)当△CEF为等腰三角形时,求t的值.
30.(江苏模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,AB=8,tanC=
,BD=CD,E、F分别是线段BC、BDC上的动点(点E与点B、C不重合),且∠DEF=∠ADB.设CE=x,DF=y.
(1)求BC和BD的长;
(2)求y与x的函数关系式;
(2)当△DEF为等腰三角形时,求x的值.
31.(江苏模拟)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,D是BC的中点,E是AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°
BD·
BC=BG·
BE;
AG⊥BE;
(3)若E是AC的中点,求
32.(河北)如图1,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.
(1)AE和ED的数量关系为______________,
AE和ED的位置关系为______________;
(2)在图中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到了图2和图3.
①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比是1:
2,H是EC的中点.
求证:
GH=HD,GH⊥HD.
②在图3中,点F在BE的延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:
1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
33.(河北)如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=
.
探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=__________,AC=__________,△ABC的面积S△ABC=__________.
拓展如图2,点D在AC上(可与点A,C重合),分别过点A,C作直线BD的垂线,垂足为E,F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)
(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现请你确定一条直线,使得A,B,C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
34.(河北模拟)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,在△ABC中,BC=2AB,点B的坐标为(-4,0),点D是BC的中点,且tan∠ACB=
(1)求点A的坐标;
(2)点P从C点出发,沿线段CB以每秒5个单位的速度向终点B匀速运动,过点P作PE⊥AB,垂足为E,PE交直线AC于点F,设EF的长为y(y≠0),点P的运动时间为t秒,求y与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,过点O作OQ∥AC交AB于Q点,连接DQ.是否存在这样的t值,使△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形?
若存在,求出t的值;
35.(山西模拟)如图1,在平面直角坐标系中,直线l与坐标轴相交于A(2
,0),B(0,
)两点,将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′.
(1)求直线l的解析式;
(2)若OA′⊥AB,垂足为D,求点D的坐标;
(3)如图2,若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°
,A′B′与直线l相交于点F,点E为x轴上一动点.试探究:
是否存在点E,使得以点A,E,F为顶点的三角形和△A′BB′相似.若存在,请求出点E的坐标;
36.(陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求
(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.
37.(陕西模拟)
(1)如图1,△ABC在平面坐标系内,点A(0,3
),B(-3,0),C(2,0).一动点由点A沿y轴向下运动,运动到线段OA上的G点时,再沿GC到达C.若由A到G方向的速度是G到C方向的速度的2倍,要使动点由A-G-C所用的时间最短,求点G的坐标;
(2)如图2,A、B两村相距10千米,且tanA=
,现计划修一条公路把A、B两村连接起来,由于A、B两村之间有些重要的建筑物不能直接经过,故计划先沿水平AC方向修到某处M,再由M处沿山坡修到B村.
①若由A到M的速度是M到B的速度的
倍,要尽快完成任务,求AM的长;
②若由A到M的速度是M到B的速度的3倍,要尽快完成任务,求AM的长;
③若由A到M的速度是M到B的速度的n倍,要尽快完成任务,直接写出AM的长.
38.(新疆乌鲁木齐)如图,已知点A(-12,0),B(3,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=90°
(1)求点C的坐标;
(2)求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式;
(3)在l上求出满足S△PBC=
S△ACB的点P的坐标;
(4)已知点M在l上,在平面内是否存在点N,使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形.若存在,请直接写出点N的坐标;
39.(内蒙古赤峰)如图所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案;
方案一:
如图①所示,AP⊥l于点P,泵站修建在P处,该方案中管道长度a1=AB+AP;
方案二:
如图②所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP
(1)在方案一中,a1=____________km(用含x的式子表示);
(2)在方案二中,a2=____________km(用含x的式子表示);
(3)请你分析要使铺设的输气管道最短,应选择方案一还是方案二.
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