人教版八年级数学下册第十七章勾股定理172勾股定理的逆定理练习Word文档下载推荐.docx
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如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的____________.
7.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,
①若a2+b2>c2,则∠c为____________;
②若a2+b2=c2,则∠c为____________;
③若a2+b2<c2,则∠c为____________.
8.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形的面积为______.
9.△ABC的两边a,b分别为5,12,另一边c为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为______,此三角形为______.
10.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为.
三、解答题
11.写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立.
(1)如果a=0,那么ab=0;
(2)如果x=4,那么x2=16;
(3)面积相等的三角形是全等三角形;
(4)如果三角形有一个内角是钝角,那么其余两个角是锐
角;
(5)在一个三角形中,等角对等边.
12.已知:
如图,四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.
13.在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°
方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
14.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.
15.(教材习题变式)如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
16.观察下列各组勾股数的组成特点,你能求出第7组勾股数a,b,c各是多少吗?
第n组呢?
第1组:
3=2X1+1,4=2X1X(1+1),5=2X1X(1+1)+1;
第2组:
5=2X2+1,12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1)+1;
第3组:
7=2X3+1,24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1)+1;
第4组:
9=2X4+1,40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1)+1;
…;
第
7组:
a,b,c.
参考答案
1.C解析∵142+362=1492.392=1521≠1492,
∴A项不是勾股数;
∵82+242=640,252=625≠640
,∴B项不是勾股数;
∵82+152=289,172=289,∴C项是勾股数;
∵102+202=500,262=676≠500,∴D项不是勾股数.
点拨:
一组数是勾股数,必须符合两个条件:
(1)三个数必须是正整数.
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
2.B解析①的逆命题是“等腰三角形有两边相等”,是真命题;
②的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则三边长a,b,c满足a2+b2=c2”,是真命题;
③对应角相等的两个三角形不一定全
等;
④若a2=b2,则a与b不一定相等,所以③④的逆命题是假命题,没有逆等理.
3.C.
4.C解析
A选项,∵∠B=∠C-∠A,∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠C-∠A+∠C=180°
,∴∠C=90°
,∴ΔABC是直角三角形;
B选项,a2=(b+c)(b-c),即a2+c2=b2,∴ΔABC为直角三角形;
C选项,∠A:
∠C=5:
4:
3,则最大角∠A=180°
×
=75°
,则ΔABC为锐角三角形;
D选项,a:
b:
c=5:
3,则a2=b2+c2,则ΔABC为直角三角形,故选C.
5.C解析因为72+242=252,152+202=252,所以用长度为7,24,25和15,20,25的小木棒能分别摆成直角三角形,故选C.
6.互逆命题,逆命题.
7.①锐角;
②直角;
③钝角.
8.24.提示:
7<a<9,∴a=8.
9.13,直角三角形.提示:
7<c<17.
10.14解析由AD2+BD2=AB2可知ΔABC为直角三角形,则AD为ΔABC的BC边上的高,在RtΔACD中,CD2=AC2-AD2=152-122=81,所以CD=9,B
C=BD+CD=5+9=14.
11.解:
(1)的逆命题是如果
ab=0,那么a=0.不成立
.
(2)的逆命题是如果x2=16,那么x=4.不成立.(3)的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.(4)的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角,那么另一个内角是钝角.不成立.(5)的逆命题是在一个三角形中,等边对等角.成立.
要确定一个命题的逆命题,只要将原命题的题设与结论互换即可.
12.
13.南偏东30°
.
14.等腰三角形或直角三角形.提示:
原式可变形为(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.
15.解:
如图所示,连接AC.
∵∠B
=90°
,
∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理的AC2=AB2+BC2=42+32=25=52,∴AC=5.
在ΔACD中,AD2=132=169,CD2+AC2=122+52=169,∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形,∠ACD=90°
.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=
AB•BC+
AC•CD=
4×
3+
5×
12=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
方法:
要求不规则四边形ABCD的面积,可把四边形分割成几个三角形,这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长,再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形,即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.
16.分析:
观察已知勾股数的特点,找出规律.
解:
第7组:
a=2×
7+1=15,b=2×
7×
(7+1)=112,c=2×
(7+1)+1=113.
第n组:
a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1.
第2课时勾股定理的逆定理的应用
一、选择——基础知识运用
1.在△ABC中,AB=
,BC=
,AC=
,则( )
A.∠A=90°
B.∠B=90°
C.∠C=90°
D.∠A=∠B
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是( )
A.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形
B.如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C.如果∠A:
∠C=1:
3:
2,那么△ABC是直角三角形
D.如果a2:
b2:
c2=9:
16:
25,那么△ABC是直角三角形
3.下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )
A.a=1,b=2,c=3B.a=4,b=2,c=3
C.a=4,b=2,c=5D.a=4,b=5,c=3
4.已知四个三角形分别满足下列条件:
①三角形的三边之比为1:
1:
;
②三角形的三边分别是9、40、41;
③三角形三内角之比为1:
2:
3;
④三角形一边上的中线等于这边的一半。
其中直角三角形有( )个。
A.4B.3C.2D.1
5.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠C=∠B
B.a=
,b=
,c=
C.(b+a)(b-a)=c2
D.∠A:
2
二、解答——知识提高运用
6.一个三角形三条边的比为5:
12:
13,且周长为60cm,求它的面积。
7.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,其中a=3,c=5,且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状。
8.如图所示,在四边形ABCD中,AB=2
,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°
,求四边形ABCD的面积。
9.一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。
工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。
(1)你认为这个零件符合要求吗?
为什么?
(2)求这个零件的面积。
10.如图所示,如果只给你一把带有刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角?
简述你的作法,并说明理由。
11.龙梅和玉荣是草原上的好朋友,可是有一次经过一场争吵之后,两人不欢而散,龙梅的速度是
米/秒,4分钟后她停了下来,觉得有点后悔了,玉荣走的方向好像是和龙梅成直角,她的速度是
米/秒,如果她和龙梅同时停下来,而这时候她俩正好相距200米,那么她走的方向是否成直角?
如果她们现在想讲和,那么原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?
。
12.如图,在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°
方向以每小时8海里速度前进,乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进,2小时后甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船沿那个方向航行吗?
1.【答案】A
【解析】∵AB2=(
)2=2,BC2=(
)2=5,AC2=(
)2=3,
∴AB2+AC2=BC2,
∴BC边是斜边,
∴∠A=90°
故选A.
2.【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形,A正确;
如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90°
,B错误;
如果∠A:
2,设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,则x+3x+2x=180°
,解得,x=30°
,则3x=90°
,那么△ABC是直角三角形,C正确;
如果a2:
25,则如果a2+b2=c2,那么△ABC是直角三角形,D正确;
故选:
B。
3.【答案】D
【解析】A、因为1+2=3,所以三条线段不能组成三角形,一定不能组成直角三角形;
B、因为22+32≠42,所以三条线段不能组成直角三角形;
C、因为22+42≠52,所以三条线段不能组成直角三角形;
D、因为42+32=52,所以三条线段能组成直角三角形。
D。
4.【答案】A
【解析】①因为12+12=(
)2三边符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;
②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;
③设最小的角为x,则x+2x+3x=180°
,则三角分别为30°
,60°
,90°
,故是直角三角形;
④因为符合直角三角形的判定,故是直角三角形。
所以有4个直角三角形。
A。
5.【答案】B
【解析】A、∵∠A+∠C=∠B,∴∠B=90°
,故是直角三角形,正确;
B、设a=20k,则b=15k,c=12k,
∵(12k)2+(15k)2≠(20k)2,
故不能判定是直角三角形;
C、∵(b+a)(b-a)=c2,
∴b2-a2=c2,
即a2+c2=b2,
故是直角三角形,正确;
D、∵∠A:
2,
∴∠A=
180°
故是直角三角形,正确.
6.【答案】120cm2
【解析】设该三角形的三边是5k,12k,13k.
因为(5k)2+(12k)2=(13k)2,
所以根据勾股定理的逆定理,得该三角形是直角三角形.
根据题意,得5k+12k+13k=60,
解得k=2,
则5k=10,12k=24,
则该直角三角形的面积是120。
故答案为:
120cm2
7.【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,
∴b2-4ac=16-4b=0
解得:
b=4,
∵a=3,c=5,
∴32+42=52,
∴△ABC为直角三角形.。
8.【答案】连接BD,
∵∠C=90°
∴△BCD为直角三角形,
∵BD2=BC2+CD2=22+12=(
)2,
∵BD>0,
∴BD=
在△ABD中,
∵AB2+BD2=20+5=25,AD2=52=25,
∴AB2+BD2=AD2,
∴△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
+
2×
1=6.
故四边形ABCD的面积是6。
9.【答案】
(1)∵AD=4,AB=3,BD=5,DC=13,BC=12,
∴AB2+AD2=BD2,
BD2+BC2=DC2,
∴△ABD、△BDC是直角三角形,
,∠DBC=90°
故这个零件符合要求。
(2)这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×
4÷
2+5×
12÷
=6+30
=36.
故这个零件的面积是36。
10.【答案】能检查。
作法:
如图所示,
(1)在射线PM上量取PA=3cm,确定A点,在射线PN上量取PB=4cm,确定点B。
(2)连接AB得△PAB。
(3)用刻度尺量取AB的长度,如果AB恰好等于5cm,则说明∠P是直角,否则∠P就不是直角。
理由:
∵PA=3cm,PB=4cm,PA2+PB2=32+42=52.
若AB=5cm,则PA2+PB2=AB2,
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形,即∠P是直角。
11.【答案】龙梅走的路程:
60=120(米),
玉荣走的路程:
60=160(米),
∵1202+1602=2002,
∴她们走的方向成直角,
以原来的速度相向而行相遇的时间:
200÷
(
)=200÷
=
=171
(秒);
答:
她们走的方向成直角,如果她们想讲和,按原来的速度相向而行,171
秒后能相遇.
12.【答案】BM=8×
2=16海里,
BP=15×
2=30海里,
在△BMP中,BM2+BP2=256+900=1156,PM2=1156,
BM2+BP2=PM2,
∴∠MBP=90°
-90°
-60°
=30°
故乙船沿南偏东30°
方向航行。
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- 人教版 八年 级数 下册 第十七 勾股定理 172 逆定理 练习