专题29 函数模型及应用原卷版Word文件下载.docx

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（7）幂函数模型：

f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）；

（8）“对勾”函数模型：

y＝x＋

（a>

0）．

（1）形如f（x）＝x＋

0）的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：

①该函数在（－∞，－

]和[

，＋∞）上单调递增，在[－

，0）和（0，

]上单调递减．

②当x>

0时，x＝

时取最小值2

，当x<

0时，x＝－

时取最大值－2

.

（2）函数f（x）＝

＋

0，b>

0，x>

0）在区间（0，

]内单调递减，在区间[

，＋∞）内单调递增．

2．三种函数模型的性质

函数性质

y＝ax（a>

1）

y＝logax（a>

y＝xn（n>

0）

在（0，＋∞）上的增减性

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大，逐渐表现为与y轴平行

随x的增大，逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x>

x0时，有logax<

xn<

ax

幂函数模型y＝xn（n>

0）可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小（n≤1）时，增长较慢；

当n值较大（n>

1）时，增长较快.

【真题体验】

1．已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（　　）

A．f（x）>

g（x）>

h（x）B．g（x）>

f（x）>

h（x）

C．g（x）>

h（x）>

f（x）D．f（x）>

g（x）

2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x

0.50

0.99

2.01

3.98

y

－0.99

0.01

0.98

2.00

则x，y最适合的函数是（　　）

A．y＝2xB．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

3．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（单位：

cm）与燃烧时间t（单位：

h）的函数关系用图象表示为下图中的（　　）

4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝

x2＋2x＋20（万元）．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（　　）

A．36万件B．18万件

C．22万件D．9万件

【考法拓展•题型解码】

考法一　二次函数模型

误区防范：

在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题之中．

【例1】（2019·

西北师大附中月考）牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求羊群年增长量的最大值；

（3）当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

考法二　指数函数、对数函数模型

解题技巧：

两种函数模型的应用技巧

（1）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型．

（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．

【例2】

（1）某食品的保鲜时间y（单位：

小时）与储藏温度x（单位：

℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　）

A．16小时B．20小时

C．24小时D．28小时

（2）已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：

①PA≥1；

②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；

③假设科学家将B菌的个数控制在5万，则此时5<

PA<

5.5（注：

lg2≈0.3）．

则正确的说法为__________（写出所有正确说法的序号）．

考法三　分段函数模型

应用分段函数模型应注意的问题

（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，此时应构建分段函数模型．

（2）求分段函数的解析式时，可以先将各段的变化规律分别找出来，写出各段的解析式，再将其合到一起．要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值．

（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，分段合理，不重不漏．

（4）分段函数的最值是各段的最大值（或最小值）的最大者（或最小者）．

【例3】（2019·

东台创新学校月考）某厂生产某种产品x百台，总成本为C（x）万元，其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入为R（x）万元，且R（x）＝

假定该产品产销平衡．

（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？

（2）该厂生产多少台时，可使利润最大？

（3）求该厂利润最大时产品的售价．

【规范解答】

关键点　函数应用问题

【典例】已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）＝

（1）写出年利润W（单位：

万美元）关于年产量x（单位：

万部）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？

并求出最大利润．

【规范解答】：

（1）当0＜x≤40时，W＝xR（x）－（16x＋40）＝－6x2＋384x－40；

当x＞40时，W＝xR（x）－（16x＋40）＝－

－16x＋7360.

所以W＝

（2）①当0＜x≤40时，W＝－6（x－32）2＋6104，

所以Wmax＝W（32）＝6104.

②当x＞40时，W＝－

－16x＋7360＝7360－

≤7360－2

＝5760，

当且仅当

＝16x，即x＝50∈（40，＋∞）时，等号成立，

即W的最大值为5760.

综上知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6104万美元．

答题模板：

解决函数应用问题的步骤

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

（3）解模：

求解数学模型，得出数学结论．

（4）还原：

将数学问题还原为实际问题．

【跟踪训练】某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；

若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（单位：

元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（单位：

元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【递进题组】

1．（2019·

北京西城期中）如图给出了某种豆类生长枝数y（单位：

枝）与时间t（单位：

月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（　　）

A．y＝2t2（t＞0）B．y＝log2t（t＞0）

C．y＝t3（t＞0）D．y＝2t（t＞0）

2．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：

元）分别为L1＝－5x2＋900x－16000，L2＝300x－2000（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（　　）

A．11000元B．22000元

C．33000元D．40000元

3．（2016·

四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据：

lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2＝0.30）（　　）

A．2018年B．2019年

C．2020年D．2021年

4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；

若旅行团人数多于30人，则给予优惠：

每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．

（1）写出每人需交费用y关于人数x的函数；

（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

【考卷送检】

一、选择题

1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y（单位：

台）与投放市场的月数x之间关系的是（　　）

A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×

2x

D．y＝100log2x＋100

2．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是（参考数据lg2≈0.3010,

100.0075≈1.017）（　　）

A．1.5%B．1.6%

C．1.7%D．1.8%

3．国家规定某行业征税如下：

年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按（p＋2）%征税，有一公司的实际缴税比例

为（p＋0.25）%，则该公司的年收入是（　　）

A．560万元B．420万元

C．350万元D．320万元

4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为（　　）

A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14

5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；

乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份（　　）

A．甲食堂的营业额较高

B．乙食堂的营业额较高

C．甲、乙两食堂的营业额相同

D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；

当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（　　）

A．3000元B．3300元

C．3500元D．4000元

二、填空题

7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：

小时，y表示病毒个数），则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

8．里氏震级M的计算公式为：

M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；

9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

9．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：

辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒）、平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式为F＝

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；

（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比

（1）中的最大车流量增加________辆/小时．

三、解答题

10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．

（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

（2）求矩形BNPM面积的最大值．

11．（2019·

会宁一中月考）某公司对营销人员有如下规定：

①年销售额x（单位：

万元）在8万元以下，没有奖金；

②年销售额x（单位：

万元），x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；

③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．

（1）求奖金y关于x的函数解析式；

（2）若某营销人员争取奖金y∈[4,10]（单位：

万元），则年销售额x（单位：

万元）在什么范围内？

12．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示（t∈N*）．

（1）分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P＝f（t），图2表示的销售量与时间的函数关系Q＝g（t）（不要求计算过程）；

（2）求这种商品的销售额S（销售量与价格之积）的最大值及此时的时间．

13．（2019·

广州检测）某旅游景点预计2018年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：

万人）与x的关系近似为p（x）＝

x（x＋1）·

（39－2x）（x∈N*，且x≤12）．已知第x个月的人均消费额q（x）（单位：

元）与x的关系近似是q（x）＝

（1）写出2018年第x个月的旅游人数f（x）（单位：

万人）与x的函数关系式；

（2）试问2018年第几个月的旅游消费总额最大？

最大月旅游消费总额为多少万元？