第3章信道均衡算法Word文件下载.docx
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设步长因子
,设自适应型的滤波器在
时的权向量
,设
时刻的输入端的信号矢量表示为
,设自适应型的滤波器长度为
定义期望信号是
,误差信号是
,噪声信号是
已知该使用该算法达到收敛的条件是:
,定义自相关矩阵的最大特征值
是系统输入信号的最大特征值。
自适应型的滤波算法有三项最重要的指标:
使用的时变系统在最开始的收敛速度、得到稳定状态后测量误差和是否有能力继续跟踪。
噪声信号在大部分情况下都是在输入端产生的,为了能有效的处理噪声,该算法会产生参数失调噪声,并且偏移噪声的大小取决于噪声信号。
稳态误差的大小是和阶跃因子相关的,收敛速度也是如此:
如果设定大的步长因子,我们就会得到较大的稳态误差,也就会有更快的收敛速度,如果取小的步长因子,就会相应的使收敛速度变慢,进而得到较快的R稳态误差,跟踪速度也是如此。
无论是取大的值还是取小的值,步长因子的值一旦确定下来就难以改变,这无法满足我们对算法性能的要求。
为了提高算法的性能,很多的自适应型的滤波算法都是通过改变步长这一方式,被不断的发现提出的。
3.2.2RLS自适应滤波算法
在最小二乘标准准则的约束下,使用RLS算法,在自适应型的滤波器的解算中,根据输入信号的带有权重的向量回归自相关矩阵的性质,目标是得到最小的估计误差的加权平方和。
输入信号的频率谱线的有关特性并不会影响到收敛性能,其收敛速度比LMS算法更快。
然而,由于其计算复杂度高,存储所需的计算量非常大。
无法达到理想状态,所以一般不用于实际系统
3.2.3变换域自适应滤波算法
特征值由输入信号在系统中的自相关矩阵求得且与LMS算法的收敛性有关。
如果特征值越小,证明该算法的收敛能力越强,反之收敛能力差。
因此,为了使特征值由输入信号的自相关矩阵求得的值较小,学者们探索出提出一种新的算法,是一种变换域自适应滤波算法,通过正交变换的方式对输入信号变换,其目的是让特征值的发散程度降低。
变换域信号代替时域信号是该算法的核心,自适应算在得到变换域中来进一步使用。
变换域算法分为以下几个计算流程:
第一,先进行正交变换,用求得的变换域信号代替输入原始的时域信号。
第二,对变换后的信号再进行求平方根运算。
第三,完成滤波,滤波可以通过选取一些适当的算法来实现。
3.2.4共轭梯度算法
虽然RLS算法收敛速度较快,但需要估计逆矩阵。
如果估计的逆矩阵失去了正确性,则该算法发散,且算法的计算内容需要大量存储,对实现没有帮助,更会提高实验的复杂性。
虽然这些算法有时能有效减少了计算,但它们都具有数值稳定性问题。
共轭梯度自适应滤波算法不包含RLS算法中的矩阵运算,不存在数值稳定性问题,保持了RLS算法的快速收敛[8]。
3.3本章小结
本章主要介绍和总结了自适应滤波算法,并介绍了四种现代自适应滤波算法。
LMS算法是最基本的自适应滤波算法。
同时,还讨论了四种自适应滤波算法的收敛速度。
计算复杂性,数值稳定性的影响算法性能的元素进行了较为简单的比较。
每一种算法都有自己的优缺点,在进行自适应滤波的时候都是值得借鉴的。
第4章LMS自适应滤波算法研究
4.1引言
LMS算法,利用得到的粗梯度估算值推测梯度最急剧下降算法的基础上,算法的性能很好,而且适用范围有限,但计算量少,容易实现实用的优点。
这是广泛使用的。
LMS算法的基本原理是遵循下降法,即在加权梯度值的负方向上进行搜索,从而实现最佳权重,以实现最小均方误差的意义上的自适应滤波。
为了无线信道的多路径效应,信号产生ISI和均衡器用来抑制失真。
应用环境的时变特性是均衡器是自适应的,因此不必事先知道信道和发送信号的统计特性。
而是根据需要事先了解训练最好的动作状态,实现通道会失真,可以补偿的需要。
如果输入信号和信道变化的统计特性,则可以跟踪该变化。
在少数迭代之后恢复最佳的操作状态。
自适应滤波器可以分为两部分:
参数可调数字滤波器和自适应算法。
本章主要介绍算法原理。
4.2最小均方误差(LMS)算法原理
LMS算法的判据是最小均方误差,即使期望信号
与滤波器输出信号
之间的差值
的平方值的期望值最小,并且根据该准则对权重系数
进行修改,所得到的算法被称为最小均方误差算法(LMS)[9]。
假设N阶有限冲激序列滤波器的抽头权系数为
,滤波器的输入信号为
,输出信号为
,则有限冲激序列横向滤波器方程可表示为:
(4-1)
令
代表期望信号,定义误差信号:
(4-2)
采用向量形式表示权系数及输入
和
,可以将误差信号
写作
(4-3)
误差的平方为:
(4-4)
上式两边取数学期望后,得到均方误差:
(4-5)
定义互相关函数向量:
(4-6)
和自相关函数矩阵:
(4-7)
所以均方误差可表述为:
(4-8)
这表明,均方误差是具有凹抛物线的权系数向量
的二次函数,因此它具有唯一最小值。
调整加权因子使平均自乘误差最小化。
这相当于抛物线的最小值。
你可以用梯度找到最小值。
利用加权系数公式(4-8)推导出均方误差的梯度:
(4-9)
,即可以求出最佳权系数向量:
(4-10)
将
代入式(4-8),得到最小均方误差:
(4-11)
用公式(4-11)求最佳权系数向量的精确解,需要知道统计先验知识
的和,需要进行矩阵求逆等。
根据最快下降法的优化,“下一时刻”权系数向量
应等于“当前时刻”权重系数向量
加上负均方误差梯度
的比例,即:
(4-12)
阶跃因子
用于控制收敛速度和常数误差常数,因此也称为收敛因子。
LMS算法有两个关键点:
梯度计算和收敛因子选择[10]。
精确计算梯度
是一件非常困难的事,在实际情况下几乎是不可能的,因此,与均方误差的估计值相比,有一个相对粗略但非常有效的计算方法:
取
作为均方误差
的估计值,即:
(4-13)
式中的
为:
(4-14)
在公式(4-14)中替换(4-13),我们得到
如下:
(4-15)
于是,较优化的LMS算法最终为:
(4-16)
由于LMS算法是一种随机梯度算法,挖掘权重向量更新的方向是完全随机的,并且在每次迭代之后不期望瞬时功率。
因此受到重复中的梯度噪声的影响。
但是,由于循环迭代过程本身是不断估计且平均的过程,所以这不会对算法的性能产生较大影响。
4.2.1LMS算法的失调
由于LMS算法在迭代时使用随机的梯度,所以在算法的收敛之后的瞬间误差功率比理论上的最小值更大,它是以一定值为中心的随机值。
用这种不平衡来描述自适应滤波器稳态误差的瞬时误差功率与理论最小值之间的关系:
(4-17)
可以证明,式(4-17)等效于:
(4-18)
输入信号的自相关矩阵的值是
,并且用
表示滤波器的阶数,
表示步长因子。
根据自相关矩阵的本征值分解理论,矩阵的对角元素等于
,式(4-18)等价于以下的方程式:
:
(4-19)
其中,
为滤波器抽头输入的总功率。
4.2.2平均时间常数
平均时间常数被用于测量LMS算法的收敛速度,定义为:
(4-20)
由式(4-19)和式(4-20)可知,LMS算法的稳定状态偏移与滤波顺序和步长成正比例,与收敛时间成反比,会聚率和稳定状态的不均衡相矛盾。
如果步长增大,算法的收敛速度会加快,但稳定状态的不平衡也会变大。
如果步长的取值减小,固定位置的偏差会减小,但是算法的收敛速度会变慢。
如何取得两者的平衡,提高算法整体的性能是目前的主要研究内容。
4.3LMS算法和RLS算法的仿真对比
在传统的数字滤波器设计中,为了能使某一不需要的频率信号得到足够大的衰减,来使得信道均衡以此得到所需的信号,通常的做法就是把阶数选的足够高来达到很大的衰减不需要的噪声信号,但同时计算量也变得更大了。
而且设计的过程复杂,不利于动态的调整。
为了解决上述存在的问题自适应滤波器孕育而生,其效果要远远好于传统的数字滤波器。
当我们知道原始信号里的干扰信号频率是多少时(例如最常见的50Hz工频干扰),这时我们只需要知道这个干扰信号的相位和幅度,然后就可以完全的“再现”这个干扰信号,然后我们就可以直接的从原始信号中将其减去,从而就得到了我们想要的信号成分。
这一过程实际上就是自适应滤波器的基本工作原理。
4.3.1LMS算法仿真
最简单的LMS算法是通过每一次迭代输入的数据对当前的目标函数的梯度进行估计,得到了输入信号的对应自相关矩阵
与互相关向量
然后,梯度估计如下:
(4-21)
则滤波系数更新方程为:
(4-22)
整理可得LMS算法:
初始化部分:
(4-23)
单次迭代部分:
(4-24)
(4-25)
其中参数
表示单次调节的步长,它是一个常数需要在实际的应用中进行确定。
我们可以得到单次迭代所需要进行的乘法次数为
量级,N表示FIR滤波器的系数矢量
的维数。
图4-1
图4-2
图4-3
仿真分析:
可以看出,原始信号在被干扰之后产生信号,通过自适应滤波器的信道均衡最终得到的我们想要的输出误差信号,能明显看出被严重污染的信号经过LMS滤波器得到了不错的恢复。
4.3.2RLS算法仿真
基于瞬时梯度估计的LMS算法实际上只使用了当前时刻的输入信号矢量
和期望信号
,由于没有利用过去的信息,导致梯度估计的误差很大,算法收敛的数度慢。
如果能把过去的信息利用起来,那么梯度估计的误差就会大大的减小,算法的收敛速度也会变快。
最小二乘(RLS)算法正好就实现了这一过程。
其目的是最小化期望信号与输出信号之间的差值的平方和。
可以得到RLS算法。
整理可得RLS算法:
(4-26)
为输入信号的功率估计的倒数
(4-27)
如果
,则
(4-28)
(4-29)
(4-30)
若有必要,计算
(4-31)
(4-32)
其中
表示输入信号矢量的确定性自相关矩阵
的逆,
表示先验误差,
表示后验误差,
表示遗忘因子,随着时间的推移以前的信号对滤波器系数调整的影响越小,主要由更新的数据决定,从这个角度说明了该算法对非平稳的信号也能进行自适应滤波。
从上面的公式可以看出单次迭代运算量在
量级,比LMS的计算量要大。
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