初中圆的定理和公式汇总教学内容Word文档格式.docx
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推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
径的圆
9定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等
10推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角
12①直线L和⊙O相交d<r
②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d>r
13切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
30相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
相等
31推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
35①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d<R-r(R>r)
36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
39正n边形的每个内角都等于(n-2)×
180°
/n
40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长
42正三角形面积√3a/4a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°
,因此k×
(n-2)180°
/n=360°
化为(n-2)(k-2)=4
44弧长计算公式:
L=n兀R/180
45扇形面积公式:
S扇形=n兀R^2/360=LR/2
46内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)
47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
48推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所
对的弦是直径
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
如图1对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;
(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;
(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;
(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角(如图2):
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?
(四个)∠APC,∠APD,∠BPD,∠BPC
4.弦切角定理:
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
即如上图中∠APC=∠CDP等
证明:
如图2,连接CD、OC、OP,因为∠CPO=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠CPO=90︒-∠APC,故∠COP=2∠APC,即∠CDP=∠APC。
5.弄清和圆有关的角:
圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定理
⊙O中,AB、CD为弦,交于P.
PA·
PB=PC·
PD
连结AC、BD,∠C=∠B,∠A=∠D,所以△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.
PC2=PA·
PB
用相交弦定理.
切割线定理
⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于A
PT2=PA·
连结TA、TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、C
过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理
圆幂定理
⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦
P'
C·
D=r2-OP'
2
PB=OP2-r2
r为⊙O的半径
延长P'
O交⊙O于M,延长OP'
交⊙O于N,用相交弦定理证;
过P作切线用切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理:
过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|
|(R为圆半径),因为
叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:
AE的值。
图1
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,求CE。
图2
例3.已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则
________。
例4.如图3,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:
PB=1:
4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
例5.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,求证:
(1)
;
(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。
图4
例6.如图5,AB为⊙O的直径,弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。
求证:
图5
例7.如图6,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。
AD·
BC=CD·
AB
图6
例8.如图7,在直角三角形ABC中,∠A=90°
,以AB边为直径作⊙O,交斜边BC于点D,过D点作⊙O的切线交AC于E。
BC=2OE。
图7
例9.如图8,在正方形ABCD中,AB=1,
是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作
所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。
当∠DEF=45°
时,求证:
点G为线段EF的中点;
图8
【模拟试题】
(答题时间:
40分钟)
一、选择题
1.已知:
PA、PB切⊙O于点A、B,连结AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,则PA=()
A.20/3B.25/3C.5D.8
2.下列图形一定有内切圆的是()
A.平行四边形B.矩形
C.菱形D.梯形
3.已知:
如图1直线MN与⊙O相切于C,AB为直径,∠CAB=40°
,则∠MCA的度数()
图1
A.50°
B.40°
C.60°
D.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:
4,则另一弦长为()
A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm
5.在△ABC中,D是BC边上的点,AD=
cm,BD=3cm,DC=4cm,如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点,那么DE长等于()
A.
cmB.
cmC.
cmD.
cm
6.PT切⊙O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交⊙O于B和A,B在线段PD上,若CD=2,AD=3,BD=4,则PB等于()
A.20B.10C.5D.
二、填空题
7.AB、CD是⊙O切线,AB∥CD,EF是⊙O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则∠EOF=_____________度。
8.已知:
⊙O和不在⊙O上的一点P,过P的直线交⊙O于A、B两点,若PA·
PB=24,OP=5,则⊙O的半径长为_____________。
9.若PA为⊙O的切线,A为切点,PBC割线交⊙O于B、C,若BC=20,PA=
,则PC的长为_____________。
10.正△ABC内接于⊙O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交⊙O于点D,连结BD交AC于P,则
=_____________。
三、解答题
11.如图2,△ABC中,AC=2cm,周长为8cm,F、K、N是△ABC与内切圆的切点,DE切⊙O于点M,且DE∥AC,求DE的长。
图2
12.如图3,已知P为⊙O的直径AB延长线上一点,PC切⊙O于C,CD⊥AB于D,求证:
CB平分∠DCP。
13.如图4,已知AD为⊙O的直径,AB是⊙O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB=
cm,求⊙O的半径。
图4
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