有理数单元复习及检测.docx
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有理数单元复习及检测
有理数单元复习与检测
一、知识网络
1、本章总体知识结构:
二、目标认知
学习目标:
理解正负数的意义,掌握有理数的概念和分类。
理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算。
通过熟练运用法则进行计算的同时,能根据各种运算定律进行简便运算。
通过本章的学习,还要学会借助数轴来理解绝对值,有理数比较大小等相关知识。
重点:
有理数的相关概念,如:
绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等;有理数的运算
难点:
有理数运算法则尤其是加法法则的理解;有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。
三、知识要点梳理
知识点一有理数的概念
1.有理数:
1)整数与分数统称有理数
按定义分类:
按符号分类:
注:
(1)正数和零统称为非负数;
(2)负数和零统称为非正数;(3)正整数和零统称为非负整数;(4)负整数和零统称为非正整数.
2)认识正数与负数:
(1)正数:
像1,1.1,,2008等大于0的数,叫做正数.
(2)负数:
像-1,-1.1,-,-2008等在正数前面加上“-”(读作负)号的数,叫负数.注意:
正数都大于零,负数都小于零.“0”既不是正数,也不是负数.
3)用正数、负数表示相反意义的量:
如果用正数表示某种意义的量,那么负数表示其相反意义的量,如果负数表示某种意义的量,则正数表示其相反意义的量.如:
若-5米表示向东走5米,则+3米表示向西走3米;若+6米表示上升6米,则-2米表示下降2米;+表示零上,-则表示零下.
4)有理数“0”的作用:
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负,是一个中性数
2.数轴
1)概念:
规定了原点、正方向和单位长度的直线.
2)注意:
(1)原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可.
(2)单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.
(3)数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的直线;①在这条直线上适当位置取一实心点作为原点:
②确定向右的方向为正方向,用箭头表示;③选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.
数轴画法的常见错误举例:
错例
原因
无原点
没有正方向
单位长度不统一
没有单位长度
3)有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.
注意:
数轴上的点不都是有理数,如.
3.相反数
1)相反数:
只有符号不同的两个数互称为相反数.特别地,0的相反数是0.
表示法:
,则,反之亦然.
2)相反数的性质:
(1)代数意义:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,特别地,O的相反数是0.
相反数必须成对出现,不能单独存在.例如+5和-5互为相反数,或者说+5是-5的相反数,-5是+5的相反数,而单独的一个数不能说是相反数.另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,注意应与“只要符号不同”区分开.例如+3与-3互为相反数,而+3与-2虽然符号不同,但它们不是相反数.
(2)几何意义:
一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等.这两点是关于原点对称的.
(3)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“一”号即可.一般地,数a的相反数是-a;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式.注意-a不一定是负数.
注意:
当a>O时,-a<0(正数的相反数是负数);
当a=O时,-a=O(0的相反数是0);
当a<0时,-a>O(负数的相反数是正数).
(4)互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为相反数,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b互为相反数.
(5)多重符号的化简:
一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部去掉;一个正数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”号,既“奇负偶正”(其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最后结果的符号).
4.绝对值
1)绝对值的代数意义及几何意义
(1)绝对值的代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
(2)绝对值的几何意义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作.
注意:
①取绝对值也是一种运算,这个运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.③任何一个有理数都是由两部分组成:
符号和它的绝对值,如:
-5,符号是负号,绝对值是5.
2)字母a的绝对值的分类
或或
3)利用绝对值比较两个负有理数的大小
规则:
两个负数,绝对值大的反而小.
步骤:
①计算两个负数的绝对值.②比较这两个绝对值的大小.③写出正确的判断结果.
④如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.
例如:
若
知识点二有理数运算
1.有理数比较大小
1)数轴上的数,右边的数总大于左边的数.
2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数
3)两个负数,绝对值大的反而小
4)两数比较大小,可按符号情况分类:
2、有理数的加减法
1)有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.(3)一个数同0相加,仍得这个数.
2)有理数加法的运算步骤
法则是运算的依据,根据有理数加法的运算法则,可以得到加法的运算步骤:
(1)确定和的符号;
(2)求和的绝对值,即确定是两个加数的绝对值的和或差.
3)有理数加法的运算律
(1)两个加数相加,交换加数的位置,和不变.
a+b=b+a(加法交换律)
(2)三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)
4)有理数加法的运算技巧
(1)分数与小数均有时,应先化为统一形式.
(2)带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
(3)多个加数相加时,若有互为相反数的两个数,可先结合相加得零.
(4)若有可以凑整的数,即相加得整数时,可先结合相加.
(5)若有同分母的分数或易通分的分数,应先结合在一起.
(6)符号相同的数可以先结合在一起.
5)有理数减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数.a-b=a+(-b)
6)有理数减法的运算步骤
(1)把减号变为加号(改变运算符号)
(2)把减数变为它的相反数(改变性质符号)
(3)把减法转化为加法,按照加法运算的步骤进行运算.
7)有理数加减混合运算的步骤
(1)把算式中的减法转化为加法;
(2)省略加号与括号;
(3)利用运算律及技巧简便计算,求出结果.
注意:
根据有理数减法法则,减去一个数等于加上它的相反数,因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算,即为求几个正数,负数和0的和,这个和称为代数和.为了书写简便,可以把加号与每个加数外的括号均省略,写成省略加号和的形式,
例如:
(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11,它的含义是正3,负0.15,负9,正5,负11的和。
3.有理数的乘除法
1)有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
任何数同0相乘,都得0.
2)有理数乘法的运算律
(1)两个数相乘,交换因数的位置,积相等.
ab=ba(乘法交换律)
(2)三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.
abc=a(bc)(乘法结合律)
(3)一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)
3)有理数乘法法则的推广
(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是偶数时,积为正数;负因数的个数是奇数时,积为负数.
(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,则积为0.
在进行乘法运算时,若有带分数,应先化为假分数,便于约分;若有小数及分数,一般先将小数化为分数,或凑整计算;利用乘法分配律及其逆用,也可简化计算.
4)有理数除法法则
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,a÷b=a·(b≠0)
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0.
5)倒数及有理数除法
(1)乘积为1的两个数互为倒数。
倒数是成对出现的,单独一个数不能称为倒数;互为倒数的两个数的乘积一定是正数;0没有倒数;求一个非零有理数的倒数,只要把它的分子和分母颠倒位置即可(正整数可以看作分母为1的分数)。
注意:
互为倒数,则;互为负倒数,则。
反之亦然.
(2)有理数除法的运算步骤:
首先确定商的符号,然后再求出商的绝对值.
4.有理数的乘方
1)概念:
求个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在中,叫做底数,叫做指数.
2)含义:
中,为底数,为指数,即表示的个数,表示有个连续相乘.
例如:
表示3×3×3×3×3,(-3)表示(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3),特别注意负数及分数的乘方,应把底数加上括号.(-2)表示7个-2相乘,而-2则表示7个2相乘积的相反数.
当n为奇数时,(-a)=-a;而当n为偶数时,(-a)=.
注意:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0,任何不为0的数的0次幂都是“1”.
3)“奇负偶正”口诀的应用
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过,它具体的应用有如下几点:
(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:
-[-(-3)]=-3,-[+(-3)]=3.
(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:
(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.
(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如:
(-3)=9,(-3)=-27.
4)有理数混合运算的运算顺序
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算,乘除法为二级运算,乘方及开方(以后学)称为三级运算.同级运算,按从左到右的顺序进行;不同级运算,应先算三级运算,然后二级,最后一级;如果有括号,先算括号里的,有多重括号时,应先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.以上
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- 有理数 单元 复习 检测