中考数学试题分类解析汇编专题V压轴题Word格式.docx
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∴四边形ABCE是正方形,
∴BC=AB=1,
1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=,故A选项结论正确;
CF=BF﹣BC=﹣1,
∴2BC=2×
1=2,
5CF=5(﹣1),
∴2BC≠5CF,故B选项结论错误;
=45°
+22°
=67°
,
在Rt△ABD中,BD===,
sin∠DEF===,
∴∠DEF≠67°
,故C选项结论错误;
由勾股定理得,OE2=()2﹣()2=,
∴OE=,
∵∠EBG+∠AGB=90°
∠EGB+∠BEF=90°
∴∠AGB=∠BEF,
又∵∠BEF=∠DEF,
∴4cos∠AGB==
=,故D选项结论错误.
故选A.
点评:
本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为1可使求解过程更容易理解.
二、填空题
1.(xx杭州)射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值(单位:
秒)
切线的性质;
等边三角形的性质.
专题:
分类讨论.
求出AB=AC=BC=4cm,MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°
,分为三种情况:
画出图形,结合图形求出即可;
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm,∠A=∠C=∠B=60°
∵QN∥AC,AM=BM.
∴N为BC中点,
∴MN=AC=2cm,∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°
分为三种情况:
①如图1,
当⊙P切AB于M′时,连接PM′,
则PM′=cm,∠PM′M=90°
∵∠PMM′=∠BMN=60°
∴M′M=1cm,PM=2MM′=2cm,
∴QP=4cm﹣2cm=2cm,
即t=2;
②如图2,
当⊙P于AC切于A点时,连接PA,
则∠CAP=∠APM=90°
,∠PMA=∠BMN=60°
,AP=cm,
∴PM=1cm,
∴QP=4cm﹣1cm=3cm,
即t=3,
当⊙P于AC切于C点时,连接PC,
则∠CP′N=∠ACP′=90°
,∠P′NC=∠BNM=60°
,CP′=cm,
∴P′N=1cm,
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm,
即当3≤t≤7时,⊙P和AC边相切;
③如图1,
当⊙P切BC于N′时,连接PN′3
则PN′=cm,∠PM\N′N=90°
∵∠PNN′=∠BNM=60°
∴N′N=1cm,PN=2NN′=2cm,
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm,
即t=8;
故答案为:
t=2或3≤t≤7或t=8.
本题考查了等边三角形的性质,平行线的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,切线的性质的应用,主要考查学生综合运用定理进行计算的能力,注意要进行分类讨论啊.
三、解答题
1.(12分)(xx•杭州)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=4,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PF⊥AB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,BP=x.
(1)用含x的代数式分别表示S1,S2;
(2)若S1=S2,求x的值.
四边形综合题;
菱形的性质;
轴对称图形;
特殊角的三角函数值.
综合题;
动点型;
(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论.
(2)由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4.然后在两种情况下分别建立关于x的方程,解方程,结合不同情况下x的范围确定x的值.
(1)①当点P在BO上时,如图1所示.
∵四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=4,
∴AC⊥BD,BO=BD=2,AO=AC=2,
且S菱形ABCD=BD•AC=8.
∴tan∠ABO==.
∴∠ABO=60°
.
在Rt△BFP中,
∵∠BFP=90°
,∠FBP=60°
,BP=x,
∴sin∠FBP===sin60°
=.
∴FP=x.
∴BF=.
∵四边形PFBG关于BD对称,
四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,
∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ.
∴S1=4S△BFP
=4×
×
x•
∴S2=8﹣.
②当点P在OD上时,如图2所示.
∵AB=4,BF=,
∴AF=AB﹣BF=4﹣.
在Rt△AFM中,
∵∠AFM=90°
,∠FAM=30°
,AF=4﹣.
∴tan∠FAM==tan30°
∴FM=(4﹣).
∴S△AFM=AF•FM
=(4﹣)•(4﹣)
=(4﹣)2.
∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN.
∴S2=4S△AFM
(4﹣)2
=(x﹣8)2.
∴S1=8﹣S2=8﹣(x﹣8)2.
综上所述:
当点P在BO上时,S1=,S2=8﹣;
当点P在OD上时,S1=8﹣(x﹣8)2,S2=(x﹣8)2.
(2)①当点P在BO上时,0<x≤2.
∵S1=S2,S1+S2=8,
∴S1=4.
∴S1==4.
解得:
x1=2,x2=﹣2.
∵2>2,﹣2<0,
∴当点P在BO上时,S1=S2的情况不存在.
②当点P在OD上时,2<x≤4.
∴S2=4.
∴S2=(x﹣8)2=4.
x1=8+2,x2=8﹣2.
∵8+2>4,2<8﹣2<4,
∴x=8﹣2.
若S1=S2,则x的值为8﹣2.
本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识,考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识,还考查了分类讨论的思想.
2.(xx杭州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°
,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.
(1)求证:
∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,.
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.
四边形综合题.
(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;
(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.
①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数,求出其最大值;
②注意中心对称、轴对称的几何性质.
(1)证明:
∵∠EPF=45°
∴∠APE+∠FPC=180°
﹣45°
=135°
;
而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°
则∠CFP+∠FPC=180°
∴∠APE=∠CFP.
(2)解:
①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°
∴△APE∽△CPF,则.
而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=AB=,
又∵P为对称中心,则AP=CP=,
∴AE===.
如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.
S△APE==×
2×
=,
∵阴影部分关于直线AC轴对称,
∴△APE与△APN也关于直线AC对称,
则S四边形AEPN=2S△APE=;
而S2=2S△PFC=2×
=2x,
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x,
∴y===+﹣1.
∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°
∴2≤x≤4.
令=a,则y=﹣8a2+8a﹣1,当a==,即x=2时,y取得最大值.
而x=2在x的取值范围内,代入x=2,则y最大=4﹣2﹣1=1.
∴y关于x的函数解析式为:
y=+﹣1(2≤x≤4),y的最大值为1.
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,
而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,
则EB=BF,即AE=FC,
∴=x,解得x=,
代入x=,得y=﹣2.
本题是代数几何综合题,考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换(轴对称与中心对称)、图形面积的计算等知识点,涉及的考点较多,有一定的难度.本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式,在计算几何图形面积时涉及大量的计算,需要细心计算避免出错.
3.(xx•杭州)如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°
,AE=3,MN=2.
(1)求∠COB的度数;
(2)求⊙O的半径R;
(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?
你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?
请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
含30度角的直角三角形;
勾股定理;
垂径定理;
平移的性质;
旋转的性质;
相似三角形的判定与性质。
计算题。
(1)由AE与圆O相切,根据切线的性质得到AE与CE垂直,又OB与AT垂直,可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等,由∠A的度数即可求出所求角的度数;
(2)在直角三角形AEC中,由AE及tanA的值,利用锐角三角函数定义求出CE的长,再由OB垂直于MN,由垂径定理得到B为MN的中点,根据MN的长求出MB的长,在直角三角形OBM中,由半径OM=R,及MB的长,利用勾股定理表示出OB的长,在直角三角形OBC中,由表示出OB及cos30°
的值,利用锐角三角函数定义表示出OC,用OE﹣OC=EC列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值;
(3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有6个,如图所示,每小图2个,顶点在圆上的三角形,延长EO与圆交于点D,连接DF,由第二问求出半径,的长直径ED的长,根据ED为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三角形EFD为直角三角形,由∠FDE为30°
,利用锐角三角函数定义求出DF的长,表示出三角形EFD的周长,再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长,即可求出两三角形的周长之比.
(1)∵AE切⊙O于点E,
∴AE⊥CE,又OB⊥AT,
∴∠AEC=∠CBO=90°
又∠BCO=∠ACE,
∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°
∴∠COB=∠A=30°
(2)∵AE=3,∠A=30°
∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°
=,即EC=AEtan30°
=3,
∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=2,
∴MB=MN=,
连接OM,在△MOB中,OM=R,MB=,
∴OB==,
在△COB中,∠BOC=30°
∵cos∠BOC=cos30°
==,
∴BO=OC,
∴OC=OB=,
又OC+EC=OM=R,
∴R=+3,
整理得:
R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,
R=﹣23(舍去)或R=5,
则R=5;
(3)在EF同一侧,△COB经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有6个,
如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:
延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示,
∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°
∴FD=5,
则C△EFD=5+10+5=15+5,
由
(2)可得C△COB=3+,
∴C△EFD:
C△COB=(15+5):
(3+)=5:
1.
此题考查了切线的性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,含30°
直角三角形的性质,平移及旋转的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
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