广西南宁三中届高三数学理科考试四试题.docx
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广西南宁三中届高三数学理科考试四试题
广西南宁三中2020届高三数学(理科)考试四试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知函数f(x)=lg(1-x)的定义域为M,函数g(x)=的定义域为N,则M∩N=()
A.{x|x≤1}B.{x|x≤1且x≠0}
C.{x|x>1}D.{x|x<1且x≠0}
2.若,则()
A.B.1C.D.3
3.已知向量,,,若,则实数()
A.B.
C.D.
4.方程的解的个数是()
A.1B.2C.3D.4
5.甲.乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度.跑步速度均相同,则( )
A.甲先到教室B.乙先到教室
C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定
6.设,,,则a,b,c三数的大小关系是()
A.B.
C.D.
7.若,是两条不重合的直线,垂直于平面,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知抛物线的焦点为,是抛物线的准线上的一点,且的纵坐标为正数,是直线与抛物线的一个交点,若,则直线的方程为()
A.B.
C.D.
9.下列函数中,以为周期且在区间上单调递减的是()
A.B.
C.D.
10.圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为,则该双曲线离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
11.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:
“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金中,.根据这些信息,可得()
A.B.C.D.
12.已知定义在上的奇函数满足,当时,,且,则()
A.B.C.4D.12
二、填空题
13.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为________.
14.已知,满足,则_____.
15.已知的内角、、的对边分别为、、,若,,且的面积是,___________.
16.如图,直三棱柱中,,,,外接球的球心为,点是侧棱上的一个动点.有下列判断:
①直线与直线是异面直线;②一定不垂直;
③三棱锥的体积为定值;④的最小值为.
其中正确的序号序号是______.
三、解答题
17.国家放开二胎政策后,不少家庭开始生育二胎,随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生,其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的,统计情况如下表:
同意
不同意
合计
男生
20
女生
20
合计
110
(l)求,的值
(2)根据以上数据,能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关?
请说明理由.
附:
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.已知数列为等比数列,,其中,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.如图1,在直角中,,,,,分别为,的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示.
(1)求证:
;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.函数.
(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(2)求证:
,时,.
21.椭圆的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点,不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证:
以线段为直径的圆恒过定点.
22.将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线与C的交点为,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
23.已知函数的最小值为M.
(1)求M;
(2)若正实数,,满足,求:
的最小值.
参考答案
1.D
【分析】
求得对数型复合函数的定义域,结合的定义域,再求交集即可求得结果.
【详解】
由题意知,M={x|1-x>0}={x|x<1},N={x|x≠0},
所以M∩N={x|x<1且x≠0}.
故选:
D.
【点睛】
本题考查集合交集的运算,涉及函数定义域的求解,属综合基础题.
2.B
【分析】
复数的共轭复数是,复数除法运算是将分母实数化,即.
【详解】
∵,∴.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.
3.C
【分析】
先根据题意求出,然后再根据得出,最后通过计算得出结果.
【详解】
因为,,
所以,
又,,
所以,
即,解得.
故选:
.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量垂直的相关性质,熟记运算法则即可,属于常考题型.
4.B
【分析】
将题意转化为的图象与的图象交点的个数即可得结果.
【详解】
∵,∴.而的图象如图,
∴的图象与的图象总有两个交点,
即方程的解的个数是2,
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了方程根的问题,利用数形结合思想是解题的关键,属于基础题.
5.B
【分析】
设两人步行,跑步的速度分别为,().图书馆到教室的路程为,再分别表示甲乙的时间,作商比较即可.
【详解】
设两人步行、跑步的速度分别为,().图书馆到教室的路程为.
则甲所用的时间为:
.
乙所用的时间,满足+,解得.
则===1.∴.故乙先到教室.
故选B.
【点睛】
本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质,属于基础题.
6.D
【分析】
容易得出,,ln3>1,从而得出a,b,c的大小顺序.
【详解】
,,lg3 ∴c<b<a. 故选D. 【点睛】 考查幂函数、正弦函数和对数函数的单调性的应用,利用临界值判断数的大小是关键. 7.A 【分析】 利用充分必要条件的定义,结合线面、线线之间的位置关系即可判断. 【详解】 当,是两条不重合的直线,垂直于平面, 若“”,则“”所以“”能推出“”; 当,是两条不重合的直线,垂直于平面, 若“”,则“”或“在平面内”所以“”不能推出“”; 由充要条件的定义可得: 若,是两条不重合的直线,垂直于平面, 则“”是“”的充分而不必要条件. 故选: A 【点睛】 本题主要考查了线面、线线之间的位置关系,考查了充分不必要条件的定义,属于基础题. 8.B 【分析】 根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】 过点作于, 因为,由抛物线的定义得, 所以在中,, 所以, 所以直线的斜率为, 所以直线的方程为, 即, 故选B. 【点睛】 本题关键在于根据抛物线的定义,将线段的关系转化到角的关系,属于中档题. 9.D 【分析】 分别计算出ABCD的周期,再判断是否在区间上单调递减即可. 【详解】 A: ,周期为,排除; B: 不具有周期性,排除; C: 周期为,在区间上单调递增,排除; D: 周期为,在区间上单调递减 故选D 【点睛】 本题考查三角函数的周期、单调区间,属于基础题. 10.C 【分析】 双曲线的一条渐近线为,圆,圆心,半径,根据题意,圆心到的距离的范围为,从而得到关系式,利用得到关系,从而得到离心率. 【详解】 双曲线的一条渐近线为, 圆,圆心,半径 因为圆上有且仅有两点到的距离为1, 所以圆心到的距离的范围为 即, 而 所以,即 故选C项. 【点睛】 本题考查圆上的点到直线的距离,双曲线的渐近线,求双曲线的离心率,属于中档题. 11.C 【分析】 先求出,再根据二倍角余弦公式求出,然后根据诱导公式求出. 【详解】 由题意可得: ,且, 所以, 所以, 故选: C 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式,属于基础题. 12.B 【分析】 根据是奇函数,以及即可得出,即得出的周期为8,而根据 (2)及时,即可求出,从而得出(3) (1),(4)(8),(5) (1),(6) (2),(7)(3),这样即可求出 (1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),而,从而得出 (1) (2)(3). 【详解】 , 即函数是以8为周期的周期函数.由,得,, 故,, 过程一: ,,,,. 或过程二: ,,,,] 故 . 【点睛】 函数基本性质综合在高考题型中经常出现,此种题型只需记牢基础知识,个别题型可借鉴草图快速求解.考生若能掌握以下考点,可事半功倍. 函数周期性的常用结论: 函数关于直线与对称,那么函数的周期为; 若函数关于点对称,又关于点对称,则函数的周期是; 若函数关于直线对称,又关于点对称,则函数的周期是; 若函数是偶函数,其图象关于直线对称,则其周期为; 若函数是奇函数,其图象关于直线对称,则其周期为. 13. 【分析】 根据题中条件,分别确定总的基本事件个数,以及取到《红楼梦》所包含的基本事件个数,基本事件个数比即为所求概率. 【详解】 4本名著选两本共有种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有种, 所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为: . 故答案为: . 【点睛】 本题主要考查求古典概型的概率,属于基础题型. 14.-5 【分析】 将5代入函数,得到,将-5代入函数即可求出答案. 【详解】 【点睛】 本题考查奇函数的相关性质,属于基础题. 15. 【分析】 利用同角三角函数计算出的值,利用三角形的面积公式和条件可求出、的值,再利用余弦定理求出的值. 【详解】 ,,,且的面积是, ,,,, 由余弦定理得,. 故答案为. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题. 16.①③④ 【分析】 由题意画出图形,由异面直线的概念判断①;利用线面垂直的判定与性质判断②;找出球心,由棱锥底面积与高为定值判断③;设BE=x,列出AE+EC1关于x的函数式,结合其几何意义求出最小值判断④. 【详解】 如图, ∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C, ∴直线AC与直线C1E是异面直线,故①正确; 当E与B重合时,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B, ∴A1B⊥平面AB1C1,则A1E垂直AC1,故②错误; 由题意知,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O是AC1与A1C的交点,则△AA1O的面积为定值,由BB1∥平面AA1C1C, ∴E到平面AA1O的距离为定值,∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值,故③正确; 设BE=x,则B1E=2﹣x,∴AE+EC1. 由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知, 其最小值为2,故④正确. 故答案为①③④ 【点睛】 本题考查命题的真假判
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