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∆p=(k)3k=k143-(k)k=0=k1-0=7.95⨯10-25N/s4
2.晶格常数为0.25nm的一维晶格,当外加102V/m,107V/m的电场时,试别离
计算电子自能带底运动到能带顶所需的时刻。
解:
依照:
f=qE=h
(0-
∆t1=-1.6⨯10∆k∆k得∆t=∆t-qEπa)⨯10
)
=8.27⨯10-13s2-19=8.27⨯10-8s(0-∆t2=π
-1.6⨯10-19⨯107
第三章习题和答案
100π2
1.计算能量在E=Ec到E=EC+之间单位体积中的量子态数。
*22mLn31*2V(2mng(E)=(E-EC)2解232π
dZ=g(E)dE
dZ单位体积内的量子态数Z0=V
22100π100hEc+Ec+32mnl8mnl1*2(2mn1VZ0=g(E)dE=⎰(E-EC)2dE23⎰VEC2πEC23100h*2=V(2mn2(E-E)Ec+8m*L2
Cn32π23
Ec
π=1000
3L3
2.试证明实际硅、锗中导带底周围状态密度公式为式(3-6)。
2.证明:
si、Ge半导体的E(IC)~K关系为
x
2y
2z
khk+k状态数。
E(k)=E+(+)CC
2mtml'
'
即d=g(k)∙∇Vk=g(k)∙4πkdkz**
mmm'
令kx=(a)kx,ky=(a)ky,kz'
=(a)kz⎡⎤mtmtml2(m∙m+m)dz'
ttl⎢⎥∴g(E)==4π∙(E-E)Vc22
222dEhh⎢⎥'
⎣⎦那么:
Ec(k'
)=Ec+(k+k+k"
)xyz*
2ma
关于si导带底在100个方向,有六个对称的旋转椭球,
在k系中,等能面仍为球形等能面锗在(111)方向有四个,
在E~E+dE空间的状态数等于k空间所包括的
⎛m∙m+m'
tl在k系中的态密度g(k)=t
3*ma⎝
1*
k'
=2ma(E-EC)
h
*
⎫2mn'
⎪V∴g(E)=sg(E)=4π
(2)(E-Ec)V⎪h⎭*mn=smt2ml[3.当E-EF为1.5k0T,4k0T,10k0T时,别离用费米散布函数和玻耳兹曼散布函数计算电子占据各该能级的概率。
4.画出-78oC、室温(27oC)、500oC三个温度下的费米散布函数曲线,并进行比较。
5.利用表3-2中的m*n,m*p数值,计算硅、锗、砷化镓在室温下的NC,NV和本征载流子的浓度。
⎧2πkoTmn
N=2()⎪C2
h⎪
⎪2πkoTm*⎪p5⎨Nv=2()2
Eg
⎪-⎪ni=(NcNv)e2koT⎪⎩
6.计算硅在-78oC,27oC,300oC时的本征费米能级,假定它在禁带中间合理吗?
**Si的本征费米能级,Si:
m=1.08m,mn0p=0.59m0
*mE-E3kTpVEF=Ei=C+ln*24mn3kT0.59m0当T1=195K时,kT1=0.016eV,ln=-0.0072eV41.08m0[]
3kT0.59当T2=300K时,kT2=0.026eV,ln=-0.012eV41.08
3kT0.59当T2=573K时,kT3=0.0497eV,ln=-0.022eV41.08
因此假设本征费米能级在禁带中间合理,专门是温度不太高的情形下。
7.①在室温下,锗的有效态密度Nc=1.05⨯1019cm-3,NV=3.9⨯1018cm-3,试求锗的
载流子有效质量m*
nm*p。
计算77K时的NC和NV。
已知300K时,Eg=0.67eV。
77k
时Eg=0.76eV。
求这两个温度时锗的本征载流子浓度。
②77K时,锗的电子浓度
为1017cm-3,假定受主浓度为零,而Ec-ED=0.01eV,求锗中施主浓度ED为多少?
*k0Tmn(.1)依照Nc=2()722π
k0Tm*pNv=2()得22π
m*=2π
nk0T
2π2
*mp=k0T
(2)77K时的NC、NV
N(C77K)T=N(TC300K)2⎡Nc⎤⎢2⎥⎣⎦23=0.56m0=5.1⨯10-31kg2⎡Nv⎤⎢⎥⎣2⎦=0.29m0=2.6⨯10-31kg
∴NC=NC∙773773)=1.05⨯1019⨯)=1.37⨯1018/cm3
300300
NV=NV∙773773)=3.9⨯1018⨯)=5.08⨯1017/cm3
2koT
-0.67
2k0⨯300
-(3)ni=(NcNv)e-室温:
ni=(1.05⨯1019⨯3.9⨯1018)e
=1.7⨯1013/cm3=1.98⨯10-7/cm3ND
1+2e∆EDno-kT∙N0C77K时,ni=(1.37⨯1018⨯5.08⨯1017)e+n0=nD=0.762k0⨯77ND-ED-EFk0T=1+2e-NDED-Ec+EC-EF
k0T=1+2exp
17n∆E0.0110173D(1+2e∴ND=n∙o)=1017(1+2e∙)=1.17⨯10/cm018koTN0.0671.37⨯10C
8.利用题7所给的Nc和NV数值及Eg=0.67eV,求温度为300K和500K时,含施主浓度ND=5⨯1015cm-3,受主浓度NA=2⨯109cm-3的锗中电子及空穴浓度为多少?
Eg-8.300K时:
ni=(NcNV)e2k0T=2.0⨯1013/cm3
e
500K时:
ni=(NCNV)e-g
2k0T'
=6.9⨯1015/cm3
依照电中性条件:
⎧n0-p0-ND+NA=022→n-n(N-N)-n=0⎨00DAi2⎩n0p0=niND-NA⎡ND-NA22⎤∴+⎢()+ni⎥n0=22⎣⎦NA-ND⎡NA-ND22⎤p=+⎢()+ni⎥022⎣⎦153⎧⎪n0≈5⨯10/cmT=300K时:
⎨103⎪p=8⨯10/cm0⎩153⎧⎪n0=9.84⨯10/cmt=500K时:
⎨153⎪⎩p0=4.84⨯10/cm
9.计算施主杂质浓度别离为1016cm3,,1018cm-3,1019cm-3的硅在室温下的费米能
级,并假定杂质是全数电离,再用算出的的费米能级查对一下,上述假定是不是在每一种情形下都成立。
计算时,取施主能级在导带底下的面的0.05eV。
9.解假设杂质全数由强电离区的EF193⎧ND⎪NC=2.8⨯10/cm
103EF=Ec+k0TlnN,T=300K时,⎨⎪C⎩ni=1.5⨯10/cm
N或EF=Ei+k0TlnD,Ni
1016ND=10/cm;
EF=Ec+0.026ln=Ec-0.21eV2.8⨯10191018183ND=10/cm;
EF=Ec+0.026ln=Ec-0.087eV2.8⨯10191019193ND=10/ncm;
EF=Ec1+0.026ln19=Ec-0.0.27eV16DND=10:
===0.42%成立ED-EC+0.210.16ND11
(2)EC-ED=0.1+e0.026为90%,10%占据施主1+e0.02622nD1=是不是≤10%1ED-EFND118+nek0.037=30%不成立ND=10:
D=ND1+nD11+e0.026或=≥90%1ED-EFND1+DeND=1019:
=0-0.023=80%〉10%不成立ND11+e0.0262'
(2)求出硅中施主在室温下全数电离的上限163D-=(2ND∆ED)e(未电离施主占总电离杂质数的百分比)NCkoT
0.050.1NC-0.0262ND0.0517310%=e,N=e=2.5⨯10/cmDNC0.0262
N=1016小于2.5⨯1017cm3全数电离D
ND=1016,1018〉2.5⨯1017cm3没有全数电离
(2)也可比较ED与EF,ED-EF〉〉k0T全电离
163ND=10/cm;
ED-EF=-0.05+0.21=0.16〉〉0.026成立,全电离
ND=1018/cm3;
ED-EF=0.037~0.26EF在ED之下,但没有全电离
ND=1019/cm3;
ED-EF=-0.023〈0.026,EF在ED之上,大部份没有电离
10.以施主杂质电离90%作为强电离的标准,求掺砷的n型锗在300K时,以杂质电离为主的饱和区搀杂质的浓度范围。
10.解
As的电离能∆ED=0.0127eV,NC=1.05⨯1019/cm3
室温300K以下,As杂质全数电离的搀杂上限
2ND∆ED-=D)NCk0T
2ND+0.012710%=expNC0.0260.01270.01270.1NC-0.0260.1⨯1.05⨯1019-0.026∴ND上限=e=e=3.22⨯1017/cm322
As搀杂浓度超过ND上限的部份,在室温下不能电离
Ge的本征浓度ni=2.4⨯1013/cm3
∴As的搀杂浓度范围5ni~ND上限,即有效搀杂浓度为2.4⨯1014~3.22⨯1017/cm3
11.假设锗中施主杂质电离能∆ED=0.01eV,施主杂质浓度别离为ND=1014cm-3j及
1017cm-3。
计算①99%电离;
②90%电离;
③50%电离时温度各为多少?
12.假设硅中施主杂质电离能∆ED=0.04eV,施主杂质浓度别离为1015cm-3,1018cm-3。
13.有一块掺磷的n型硅,ND=1015cm-3,别离计算温度为①77K;
②300K;
③500K;
④800K时导带中电子浓度(本征载流子浓度数值查图3-7)
13(.2)300K时,ni=1010/cm3<
<
ND=1015/cm3强电离区n0≈ND=1015/cm3(3)500K时,ni=4⨯1014/cm3~ND过度区2(4)8000K时,ni=1017/cm3
n0≈ni=1017/cm3n0=ND+ND+4ni2≈1.14⨯1015/cm3
14.计算含有施主杂质浓度为ND=9⨯1015cm-3,及受主杂质浓度为1.1⨯1016cm3,的
硅在33K时的电子和空穴浓度和费米能级的位置。
解:
T=300K时,Si的本征载流子浓度ni=1.5⨯1010cm-3,
搀杂浓度远大于本征载流子浓度,处于强电离饱和区
p0=NA-ND=2⨯1015cm-3
ni2n0==1.125⨯105cm-3
p0
p02⨯1015
EF-EV=-k0Tln=-0.026ln=0.224eV19Nv1.1⨯10
或:
EF-Ei=-k0Tln=-0.026ln=-0.336eVni1.5⨯1010
15.掺有浓度为每立方米为1022硼原子的硅材料,别离计算①300K;
②600K时
费米能级的位置及多子和少子浓度(本征载流子浓度数值查图3-7)。
(1)T=300K时,ni=1.5⨯1010/cm3,杂质全数电离a
p0=1016/cm3
ni2n0==2.25⨯104/cm3
p01016
EE-Ei=-k0Tln=-0.026ln10=-0.359eVni10
或EE-EV=-k0Tlnp0=-0.184eVNv
(2)T=600K时,ni=1⨯1016/cm3
处于过渡区:
p0=n0+NA
n0p0=ni2
p0=1.62⨯1016/cm3
n0=6.17⨯1015/cm3
16E-E=-kTlnp0=-0.052ln1.62⨯10=-0.025eV
Fi0ni1⨯1016
16.掺有浓度为每立方米为1.5⨯1023砷原子和立方米5⨯1022铟的锗材料,别离
计算①300K;
②600K时费米能级的位置及多子和少子浓度(本征载流子浓
度数值查图3-7)。
ND=1.5⨯1017cm-3,NA=5⨯1016cm-3
300K:
ni=2⨯1013cm-3
杂质在300K能够全数电离,杂质浓度远大于本征载流子浓度,因此处于强电离饱和区n0=ND-NA=1⨯1017cm-3
ni24⨯1026
p0===109cm-3
17n01⨯10
n01⨯1017
EF-Ei=k0Tln=0.026ln=0.22eV13ni2⨯10
600K:
ni=2⨯1017cm-3
本征载流子浓度与搀杂浓度接近,处于过度区
n0+NA=p0+ND
n0=ND-NA+(ND-NA)2+4ni2
2=2.6⨯1017
ni2p0==1.6⨯1017
n0
n02.6⨯1017
EF-Ei=k0Tln=0.072ln=0.01eV17ni2⨯10
17.施主浓度为1013cm3的n型硅,计算400K时本征载流子浓度、多子浓度、少
子浓度和费米能级的位置。
18.掺磷的n型硅,已知磷的电离能为0.044eV,求室温下杂质一半电离时
费米能级的位置和浓度。
17.si:
ND=1013/cm3,400K时,ni=1⨯1013/cm3(查表)⎧n-p-ND=0ND1,n=+⎨222⎩np=nini2p0==6.17⨯1012/cm3noEF2ND+4ni2=1.62⨯1013n1.62⨯1013-Ei=k0Tln=0.035⨯ln=0.017eVni1⨯1013
18.解:
nD=ND1E-EF1+eD2k0T
ED-EF
koT=2.nD=ND那么有e
E=ED-k0Tln2F
EF=ED-k0Tln2=EC-∆EDk0Tln2=EC-0.044-0.026ln2=E-0.062eVc
si:
Eg=1.12eV,EF-Ei=0.534eV
n=Nce-EC-EF
k0T=2.8⨯10⨯e19-0.062
0.026=2.54⨯1018cm3
n=50%N∴N=5.15⨯10⨯19/cm3
DD
19.求室温下掺锑的n型硅,使EF=(EC+ED)/2时锑的浓度。
已知锑的电离能为
0.039eV。
EC+ED
2EC+ED2EC-EC-EDEC-ED0.039∴E-E=E-====0.0195<
k0TCFC2222
发生弱减并
⎡⎤∴n0=Nc2F1⎢EF-EC⎥=NC2F1(-0.71)2⎣k0T⎦22=2.8⨯1019⨯⨯0.3=9.48⨯1018/cm3
3.14
+求用:
n0=nD19.解:
EF=
EF-ED=
EC+EDE-ED-ED=C=0.019522⎡EF-EC⎤2NCNDF⎢=⎥1⎣k0T⎦1+2EF-ED)2k0T2NC⎡EF-EC⎤EF-ED∴ND=F1⎢1+2)⎥kTkT2⎣00⎦
0.0195⎤=2NCF⎡-0.01951+2exp)=9.48⨯1018/cm3⎢⎥0.0261⎣0.026⎦2
20.制造晶体管一样是在高杂质浓度的n型衬底上外延一层n型外延层,再在
外延层中扩散硼、磷而成的。
(1)设n型硅单晶衬底是掺锑的,锑的电离能为0.039eV,300K时的EF位
于导带下面0.026eV处,计算锑的浓度和导带中电子浓度。
(2)设n型外延层杂质均匀散布,杂质浓度为4.6⨯1015cm-3,计算300K时EF
的位置及电子和空穴浓度。
(3)在外延层中扩散硼后,硼的浓度散布随样品深度转变。
设扩散层某一深
度处硼浓度为5.2⨯1015cm-3,计算300K时EF的位置及电子和空穴浓度。
(4)如温度升到500K,计算③中电子和空穴的浓度(本征载流子浓度数值
查图3-7)。
20(.1)EC-EF=0.026=k0T,发生弱减并∴n0=2NcF1(-1)=22⨯2.8⨯10193.14⨯0.3=9.48⨯1018/cm3+n0=nD=NDE-ED1+2F)k0T0.013E-ED∴ND=n0(1+2F)=n0(1+2e0.026)=4.07⨯1019/cm3k0T
(2)300K时杂质全数电离NEF=Ec+k0TlnD=EC-0.223eVNCn0=ND=4.6⨯1015/cm3ni2(1.5⨯1010)2p0===4.89⨯104/cm315n04.6⨯10(3)p0=NA-ND=5.2⨯1015-4.6⨯1015=6⨯1014/cm3ni2(1.5⨯1010)253n0===3.75⨯10/cmp06⨯1014EF-Ei=-k0Tlnp014=0.026ln1=-0.276eV.5⨯1010ni(4)500K时:
ni=4⨯1014cm-3,处于过度区n0+NA=p0+ND
p0=8.83⨯1014
n0=1.9⨯1014
EE-Ei=-k0Tlnp0=-0.0245eVni
21.试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少?
21.2NC⎡E-EC⎤NDF1⎢F=⎥2⎣k0T⎦1+2EF-ED)k0T
发生弱减并E-E=2kTCF0
NDsi=2NC-0.008⎡⎤F1(-2)⎢1+2e0.026⎥2⎣⎦
=
2⨯2.8⨯10193.14⨯0.1⨯(1+2e-0.008
0.0263)=7.81⨯1018/cm(Si)
-0.0394⎡⎤1830.026N=F(-2)1+2e=1.7⨯10/cm(Ge)⎢⎥D1Ge3.142⎣⎦
22.利用上题结果,计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主2⨯1.05⨯1019发生电离?
导带中电子浓度为多少?
+n0=nD=ND
E-ED1+2F)k0T
+
DSi:
n0=n=7.81⨯1018
-0.008
0.026=3.1⨯1018cm-31+2e
1.7⨯1018
+18-3Ge:
n0=nD==1.18⨯10cm0.0394
1+2e-0.026
第四章习题及答案
1.300K时,Ge的本征电阻率为47Ωcm,如电子和空穴迁移率别离为3900cm2/(V.S)和1900cm2/(V.S)。
试求Ge的载流子浓度。
在本征情形下,n=p=ni,由ρ=1/σ=11知=nqun+pqupniq(un+up)
ni=1113-3==2.29⨯10cm-19ρq(un+up)47⨯1.602⨯10⨯(3900+1900)
2.试计算本征Si在室温时的电导率,设电子和空穴迁移率别离为1350cm2/(V.S)和500cm2/(V.S)。
当掺入百万分之一的As后,设杂质全数电离,试计算其电导率。
比本征Si的电导率增大了多少倍?
300K时,un=1350cm2/(V⋅S),up=500cm2/(V⋅S),查表3-2或图3-7可知,室温下Si的本征载流子浓度约为ni=1.0⨯1010cm-3。
本征情形下,
σ=nqun+pqup=niq(un+up)=1⨯1010⨯1.602⨯10-19⨯(1350+500)=3.0⨯10-6S/cm11金钢石结构一个原胞内的等效原子个数为8⨯+6⨯+4=8个,查看附录B知82
Si的晶格常数为0.543102nm,那么其原子密度为8=5⨯1022cm-3。
-73(0.543102⨯10)
1=5⨯1016cm-3,杂1000000掺入百万分之一的As,杂质的浓度为ND=5⨯1022⨯
质全数电离后,ND>
>
ni,这种情形下,查图4-14(a)可知其多子的迁移率为800cm2/(V.S)
σ'
≈NDqun=5⨯1016⨯1.602⨯10-19⨯800=6.4S/cmσ'
6.46==2.1⨯10比本征情形下增大了倍-6σ3⨯10
3.电阻率为10Ω.m的p型Si样品,试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度。
查表4-15(b)可知,室温下,10Ω.m的p型Si样品的搀杂浓度NA约为
1.5⨯1015cm-3,查表3-2或图3-7可知,室温下Si的本征载流子浓度约为ni=1.0⨯1010cm-3,NA>
ni
p≈NA=1.5⨯1015cm-3
ni(1.0⨯1010)2
n===6.7⨯104cm-315p1.5⨯10
4.0.1kg的Ge单晶,掺有3.2⨯10-9kg的Sb,设杂质全数电离,试求该材料的电阻率[μn=0.38m2/(V.S),Ge的单晶密度为5.32g/cm3,Sb原子量为121.8]。
该Ge单晶的体积为:
V=0.1⨯1000=18.8cm3;
5.322
3.2⨯10-9⨯1000⨯6.025⨯1023/18.8=8.42⨯1014cm3Sb搀杂的浓度为:
ND=121.8
查图3-7可知,室温下Ge的本征载流子浓度ni≈2⨯1013cm-3,属于过渡区n=p0+ND=2⨯1013+8.4⨯1014=8.6⨯1014cm-3
ρ=1/σ≈11==1.9Ω⋅cm14-194nqun8.6⨯10⨯1.602⨯10⨯0.38⨯10
5.500g的Si单晶,掺有4.5⨯10-5g的B,设杂质全数电离,试求该材料的电阻率[μp=500cm2/(V.S),硅单晶密度为2.33g/cm3,B原子量为10.8]。
该Si单晶的体积为:
V=500=214.6cm3;
2.33
4.5⨯10-5
⨯6.025⨯1023/214.6=1.17⨯1016cm3B搀杂的浓度为:
NA=10.8
查表3-2或图3-7可知,室温下Si的本征载流子浓度约为ni=1.0⨯1010cm-3。
因为NA>
ni,属于强电离区,p≈NA=1.12⨯1016cm-3
ρ=1/σ≈11==1.1Ω⋅cm16-19pqup1.17⨯10⨯1.602⨯10⨯500
10.试求本征Si在473K时的电阻率。
查看图3-7,可知,在473K时,Si的本征载流子浓度ni=5.0⨯1014cm-3,在那个浓度下,查图4-13可明白un≈600cm2/(V⋅s),up≈400cm2/(V⋅s)ρi=1/σi=
1niq(un+up)=1=12.5Ω⋅cm5⨯1014⨯1.602⨯10-19⨯(400+600)
16.别离计算掺有以下杂质的Si,在室温时的载流子浓度、迁移率和电阻率:
①硼原子3⨯1015cm-3;
②硼原子1.3⨯1016cm-3+磷原子1.0⨯1016cm-3
③磷原子1.3⨯1016cm-3+硼原子1.0⨯1016cm
④磷原子3⨯1015cm-3+镓原子1⨯1017cm-3+砷原子1⨯1017cm-3。
室温下,Si的本征载流子浓度ni=1.0⨯1010/cm3,硅的杂质浓度在
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