数学山西省太原市太原二中届高三下学期期中考试理.docx
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数学山西省太原市太原二中届高三下学期期中考试理
山西省太原市太原二中2016届高三下学期期中考试(理)
数学本试卷满分160分,考试时间为120分钟.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程.
1.若全集为U=R,A={x|x2-x>0},则=________.
2.i为虚数单位,计算=________.
3.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2球颜色不同的概率为________.
4.已知实数x,y满足则z=2x+y的最小值是________.
(第5题图)
5.阅读如图所示的程序框,若输入的n是30,则输出的变量S的值是________.
6.已知向量a=(-2,1),b=(1,0),则|2a+b|=________.
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,则不等式f(x)<0的解集是________.
8.设b,c表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题:
①若b⊂α,c∥α,则b∥c;
②若b⊂a,b∥c,则c∥a;
③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;
④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.
其中正确的命题是________.(写山所有正确命题的序号)
9.以抛物线y2=4x的焦点为焦点,以直线y=±x为渐近线的双曲线标准方程为________.
10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,若圆锥底面半径为cm,则圆锥的体积是________cm3.
11.函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________.
12.Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=________.
13.函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为________.
14.由sin36°=cos54°,可求得cos2016°的值为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图:
四棱锥P-ABCD中,PD=PC,底面ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点.
(1)求证:
AM∥平面PBC;
(2)求证:
CD⊥PA.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,向量m=(a-c,b+c),n=(b-c,a),且m∥n.
(1)求B;
(2)若b=,cos=,求a.
17.(本小题满分14分)
如图,某工业园区是半径为10km的圆形区域,离园区中心O点5km处有一中转站P,现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站,公路AB把园区分成两个区域.
(1)设中心O对公路AB的视角为α,求α的最小值,并求较小区域面积的最小值;
(2)为方便交通,准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD,求两条公路长度和的最小值.
18.(本小题满分16分)
已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,左顶点为A(-3,0),圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切.
(1)求椭圆方程;
(2)求圆O方程;
(3)B为椭圆的上顶点,过B作圆O的两条切线,分别交椭圆于M,N两点,试判断并证明直线MN与圆O的位置关系.
19.(本小题满分16分)
已知数列{an)的各项都为自然数,前n项和为Sn,且存在整数λ,使得对任意正整数n都有Sn=(1+λ)an-λ恒成立.
(1)求λ值,使得数列{an)为等差数列,并求数列{an)的通项公式;
(2)若数列{an}为等比数列,此时存在正整数k,当1≤k 20.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]ex. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设x>0,2a∈[3,m+1],f(x)≥b2a-1恒成立,求正数b的范围. 数学附加题每小题10分,共40分.考试用时30分钟. 【选做题】21.在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4—1: 几何证明选讲 在直径是AB的半圆上有两点M,N,设AN与BM的交点是P.求证: AP·AN+BP·BM=AB2. B.选修4—2: 矩阵与变换 求矩阵的特征值及对应的特征向量. C.选修4—4: 坐标系与参数方程 已知直线l的极坐标方程为ρsin=3,曲线C的参数方程为(θ为参数),设P点是曲线C上的任意一点,求P到直线l的距离的最大值. D.选修4—5: 不等式选讲 设x,y均为正数,且x>y,求证: x+≥y+3. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1. (1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值; (2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值. 23.(本小题满分10分) 证明: 对一切正整数n,5n+2·3n-1+1能被8整除. 参考答案 一、填空题(每小题5分) 1.[0,1] 2.-i 3. 4.1 5.240 6. 7.(-2,0)∪(2,+∞) 8.④ 9.-=1 10.3π 11.2 12. 13.[-,1)∪(1,+∞) 14.- 二、解答题: 本大题共6小题,共计90分. 15.证明: (1)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,点M是CD的中点, 由AB∥CM,且AB=CM, 所以四边形ABCM是平行四边形,且是矩形(3分) ⇒故AM∥平面PBC,(7分) (2)连接PM,因为PD=PC,点M是CD的中点,所以CD⊥PM,(8分) 又因为四边形ABCM是矩形,CD⊥AM,(9分) ⇒CD⊥平面PAM.(12分) 又因为AP⊆平面PAM,(13分) 所以CD⊥PA.(14分) 16.解: (1)因为m∥n,所以a2+c2-b2=ac,(2分) 因为cosB===,(4分) B∈(0,π)(5分) 故B=.(6分) (2)因为A+∈,(7分) cos=,所以sin=,(9分) 所以sinA=sin=,(11分) 在△ABC中,由正弦定理可得: =,(13分) 解得a=1.(14分) 17.解: (1)如图,作OH⊥AB,设垂足为H,记OH=d,α=2∠AOH, 因为cos∠AOH=,(1分) 要使α有最小值,只需要d有最大值,结合图像可得, d≤OP=5km,(3分) 当且仅当AB⊥OP时,dmin=5km. 此时αmin=2∠AOH=2=.(4分) 设AB把园区分成两个区域,其中较小区域面积记为S, 根据题意可得: S=f(α)=S扇形-S△AOB=50(α-sinα),(6分) f′(α)=50(1-cosα)≥0恒成立,f(α)为增函数,(7分) 所以Smin=f=50km2.(8分) 答: 视角的最小值为,较小区域面积的最小值是50km2.(9分) (2)如图,分别过O分别作OH⊥AB,OH1⊥CD垂足分别是H, H1, 记OH=d,OH1=d2,由 (1)可知d1∈[0,5] 所以d+d=OP2=25,且d=25-d(10分) 因为AB=2,CD=2, 所以AB+CD=2(+)=2(+),(11分) 记L(d1)=AB+CD=2(+), 可得L2(d1)=4[175+2], (12分) 由d∈[0,25],可知d=0,或d=25时,L2(d1)的最小值是100(7+4), 从而AB+CD的最小值是20+10km.(13分) 答: 两条公路长度和的最小值是20+10km.(14分) 18.解: (1)由题意可知=,a=3,得: c=,(2分) 因为a2=b2+c2,所以b2=,(3分) 故椭圆的标准方程是: +=1.(4分) (2)设直线AE的方程: y=k(x+3),点E(x1,y1), 由可得(4k2+1)x2+24k2x+36k2-9=0.(5分) 因为-3+x1=-,得x1=,代入直线y=k(x+3),得y1=, 所以E,(7分) 同理可得F,(9分) 根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离. 可得=||=r,解之得k2=,(10分) 从而r2=1,所以圆O的方程为: x2+y2=1.(11分) (3)设直线BM的方程为y=kx±,因为直线BM与圆O相切, 所以d=r,解得k=±, (14分) 当k=,lBM: y=x+, 由,解得x2+x=0.(11分) 所以M(-,-1),(12分) 同理可得N(,-1).(13分) 可得直线MN方程是: y=-1,(15分) 直线MN与圆O的位置关系是相切.(16分) 19.解: (1)(法一): 因为Sn=(1+λ)an-λ, ① 所以Sn+1=(1+λ)an+1-λ, ② ②-①得: λan+1=(1+λ)an, ③(2分) 当λ=0时,an=0,数列{an}是等差数列.(4分) 当λ≠0时,a1=(1+λ)a1-λ,a1=1,且an+1-an=an, ④ 要使数列{an}是等差数列,则④式右边an为常数,即an+1=an为常数, ④式左边an+1-an=0,an=0,又因为a1=1,矛盾(6分) 综上可得: λ=0时,数列{an}为等差数列,且an=0.(7分) (法二): 若数列{an}是等差数列,必有2a2=a1+a3, 当λ=0时,a1=a2=a3=0,满足2a2=a1+a3,(1分) 此时Sn=an,从而Sn+1=an+1,(3分) 故an=0,(4分) 当λ≠0时,a1=1,a2=1+,a3=,(5分) 由2a2=a1+a3,得2=1+,该方程无解,(6分) 综上可得: λ=0时,数列{an}为等差数列,其中an=0.(7分) (2)当 (1)可得: 当λ=0时,不是等比数列,(8分) 当λ=-1时,由①得Sn=1,则a1=S1=1, an=Sn-Sn-1=0(n≥2),不是等比数列.(9分) 当λ≠0,且λ≠-1时,得=1+,{an}为公比是q=1+等比数列,(10分) 又对任意n,an∈N,则q=1+∈N, 故仅有λ=1,q=2时,满足题意,又由 (1)得a1=1,故an=2n-1.(11分) 因为ai==2016, 所以2k-1(2j-k+1-1)=2016=25327,(13分) j-k+1≥2,2j-k+1-1为大于1的奇数,2k-1=25,k=6,(15分) 则2j-5-1=327,2j-5=64,j=11,故仅存在k=6时,j=11,ai=2016.(16分) 20.解: (1)f′(x)=(ax2-x)ex=x(ax-1)ex.(1分) 若a=0,则f′(x)=-xex,令f′(x)>0,则x<0;令f′(x)<0,则x>0; 若a<0,由f′(x)>0,得 若a>0,由f′(x)<0,得0 综上可得: 当a=0时,函数f(x)的增区间是(-∞,0),减区间是(0,+∞);(3分) 当a<0时,函数f(x)的增区间是,减区间是(0,+∞),;(5分) 当a>0时,函数f(x)的增区间是(-∞,0)
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