重庆高考数学理科试卷带详解.doc

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

（重庆卷）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集U＝{1,2,3,4},集合A＝{1,2},B＝{2,3},则 （）

A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}

【测量目标】集合的并集与补集运算.

【考查方式】先求出两个集合的并集,再结合补集概念求解.

【难易程度】容易

【参考答案】D

【试题解析】∵＝{1,2,3},而U＝{1,2,3,4},故＝{4}，故选D．

2.命题“对任意,都有”的否定为 （）

A.对任意,都有B.不存在,使得

C.存在,使得D.存在,使得

【测量目标】含有一个量词的命题的否定.

【考查方式】根据含有一个量词的命题的否定的方法直接求解.

【难易程度】容易

【参考答案】D

【试题解析】全称命题的否定是一个特称命题（存在性命题），故选D．

3.的最大值为 （）

A.9B.C.3D.

【测量目标】函数的最值.

【考查方式】利用配方法结合函数的定义域求解.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】

＝，因为，

所以当时取得最大值,故选B.

4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:

分）.已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为 （）

A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8

第4题图

【测量目标】茎叶图.

【考查方式】结合茎叶图上的数据，根据中位数和平均数的概念求解.

【难易程度】容易

【参考答案】C

【试题解析】由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数，可解得y＝8.故选C．

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （）

第5题图

A.B.C.200D.240

【测量目标】由三视图求几何体的体积.

【考查方式】先将三视图还原为空间几何体，在根据体积公式求解.

【难易程度】容易

【参考答案】C

【试题解析】由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V＝×（2＋8）×4×10＝200,故选C．

6.若a＜b＜c,则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间 （）

A.（a,b）和（b,c）内B.（－∞,a）和（a,b）内

C.（b,c）和（c,＋∞）内D.（－∞,a）和（c,＋∞）内

【测量目标】函数零点的求解与判断.

【考查方式】利用函数在区间端点处的函数值并判断符号.

【难易程度】容易

【参考答案】A

【试题解析】由题意a＜b＜c,可得f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.显然f（a）f（b）＜0,f（b）f（c）＜0,所以该函数在（a,b）和（b,c）上均有零点,故选A．

7.已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1,圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|＋|PN|的最小值为 （）

A.B.C.D.

【测量目标】圆与圆的位置关系.

【考查方式】利用圆心坐标和半径，在结合对称性求解.

【难易程度】中等

【参考答案】A

【试题解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM||PC1|－1,|PN||PC2|－3，

∴|PM|＋|PN||PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值.（步骤1）

又C1关于x轴对称的点为C3（2,－3）,所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝,故选A.（步骤2）

8.执行如图所示的程序框图,如果输出s＝3,那么判断框内应填入的条件是 （）

A.B.C.D.

第8题图

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】利用循环结构运算并结合输出结果求解.

【难易程度】中等

【参考答案】B

【试题解析】由程序框图可知,输出的结果为s＝log23×log34××logk（k＋1）＝log2（k＋1）.由s＝3,即log2（k＋1）＝3,解得k＝7.又因为不满足判断框内的条件时才能输出s,所以条件应为k7.故选B.

9. （）

A.B.C.D.

【测量目标】同角三角函数的基本关系,诱导公式.

【考查方式】利用商数关系，三角恒等及角度拆分求解.

【难易程度】较难

【参考答案】C

【试题解析】

＝（步骤1）

＝

＝.故选C.（步骤2）

10.在平面上,⊥,||＝||＝1,＝＋.若||＜,则||的取值范围是（）

A.B.C.D.

【测量目标】平面向量的数量积运算.

【考查方式】利用所给条件转化为以为起点的向量表示，再利用所给关系列出不等式求解.

【难易程度】较难

【参考答案】D

【试题解析】因为⊥,所以可以A为原点,分别以,所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1（a,0）,B2（0,b）,O（x,y），

则＝＋＝（a,b）,即P（a,b）．（步骤1）

由||＝||＝1,得（x－a）2＋y2＝x2＋（y－b）2＝1.

所以（x－a）2＝1－y2≥0,（y－b）2＝1－x2≥0.（步骤2）

由||＜,得（x－a）2＋（y－b）2＜，

即0≤1－x2＋1－y2＜.（步骤3）

所以＜x2＋y2≤2，即.

所以||的取值范围是,故选D.（步骤4）

二、填空题：

本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11.已知复数（i是虚数单位）,则|z|＝__________.

【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】先化简复数，再利用定义求解.

【难易程度】容易

【参考答案】

【试题解析】，

∴.

12.已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则__________.

【测量目标】等差数列的前项和，等比数列性质.

【考查方式】利用等比中项及等差数列的通项公式求解.

【难易程度】中等

【参考答案】64

【试题解析】由a1＝1且a1，a2，a5成等比数列,得a1（a1＋4d）＝（a1＋d）2,解得d＝2,故S8＝8a1＋d＝64.

13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________（用数字作答）．

【测量目标】排列组合及其应用.

【考查方式】利用两个计数原理,组合数公式求解.

【难易程度】中等

【参考答案】590

【试题解析】设选骨科医生x名,脑外科医生y名，

则需选内科医生（5－x－y）人.（步骤1）

（1）当x＝y＝1时,有种不同选法；

（2）当x＝1,y＝2时,有种不同选法；

（3）当x＝1,y＝3时,有种不同选法；

（4）当x＝2,y＝1时,有种不同选法；

（5）当x＝2,y＝2时,有种不同选法；

（6）当x＝3,y＝1时,有种不同选法;（步骤2）

所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．（步骤3）

考生注意：

（14）、（15）、（16）三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分．

14.如图,在△ABC中,∠C＝90,∠A＝60,AB＝20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为__________．

第14题图

【测量目标】圆的性质的应用.

【考查方式】利用圆的几何性质、解三角形求解.

【难易程度】中等

【参考答案】5

【试题解析】在Rt△ABC中,∠A＝60,AB＝20,可得BC＝.

由弦切角定理,可得∠BCD＝∠A＝60.（步骤1）

在Rt△BCD中,可求得CD＝,BD＝15.

又由切割线定理，可得CD2＝DEDB,可求得DE＝5.（步骤2）

15.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线（t为参数）相交于A,B两点,则|AB|＝__________.

【测量目标】坐标系与参数方程.

【考查方式】利用极坐标方程与参数方程转化为普通方程求解.

【难易程度】较难

【参考答案】16

【试题解析】由极坐标方程ρcosθ＝4,化为直角坐标方程可得x＝4,而由曲线参数方程消参得x3＝y2，

∴y2＝43＝64,即y＝±8,（步骤1）

∴|AB|＝|8－（－8）|＝16.（步骤2）

16.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解,则实数a的取值范围是________．

【测量目标】解绝对值不等式.

【考查方式】利用不等式的解法求解.

【难易程度】较难

【参考答案】（－∞，8]

【试题解析】由绝对值不等式,得|x－5|＋|x＋3|≥|（x－5）－（x＋3）|＝8，（步骤1）

∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时,a的取值范围为（－∞,8]．（步骤2）

三、解答题：

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分13分,

（1）小问6分,

（2）小问7分.）设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx,其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.

【考查方式】利用导数的运算、函数的定义域、函数的单调性求解.

【难易程度】容易

【试题解析】

（1）因f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，

故＝2a（x－5）＋.（步骤1）

令x＝1,得f

（1）＝16a,＝6－8a，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－16a＝（6－8a）（x－1）,由点（0,6）在切线上可得6－16a＝8a－6,故.（步骤2）

（2）由

（1）知，f（x）＝（x－5）2＋6lnx（x＞0），

＝x－5＋＝.（步骤3）

令＝0，解得x1＝2,x2＝3.

当0＜x＜2或x＞3时,,故f（x）在（0,2）,（3,＋∞）上为增函数;当2＜x＜3时,,故f（x）在（2,3）上为减函数.（步骤4）

由此可知f（x）在x＝2处取得极大值f

（2）＝＋6ln2,在x＝3处取得极小值f（3）＝2＋6ln3.（步骤5）

18.（本小题满分13分,

（1）小问5分,

（2）小问8分.）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动