金融数学引论答案第二章北京大学出版1汇编.docx
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金融数学引论答案第二章北京大学出版1汇编
第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元,后十年每年底存款1000+X元,年利率7%。
计算X。
解:
2.价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式:
每月底还250元,期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解:
设首次付款为X,则有
解得X=1489.36
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i=1
。
试计算该年金的现值。
解:
4.解:
则
5.已知:
。
计算i。
解:
解得i=6.0%
6.证明:
证明:
7.已知:
半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始4年每半
年200元,然后减为每次100元。
解:
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。
然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。
设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解:
设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
解得X=8101.65
9.已知贴现率为10%,计算。
解:
d=10%,则
10.求证:
并给出两等式的实际解释。
证明:
(1)
所以
(2)
所以
12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利
率6%,计算:
1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终
值。
解:
PV=100a49】1.5%−100a2]1.5%=3256.88
AV=100s49]1.5%−100s2]1.5%¬=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。
已知:
,计算Y。
解:
因两种年金价值相等,则有
所以
14.已知年金满足:
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另
外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解:
由题意知,
解得i=8.33%
15.已知
。
求X,Y和Z。
解:
由题意得
解得
X=4,Y=7,Z=4
16.化简
解:
17.计算下面年金在年初的现值:
首次在下一年的4月1日,然后每半年一
次2000元,半年结算名利率9%。
解:
年金在4月1日的价值为P=(1+4.5%)/4.5%
×2000=46444.44,则
18.某递延永久年金的买价为P,实利率i,写出递延时间的表达式。
解:
设递延时间为t,有
解得
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一
定的金额X,直至永远。
计算X。
解:
设年实利率为i,由两年金的现值相等,有
解得
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:
前n年,A、B和C三人
平分每年的年金,n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算。
解:
设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值
为,而D得到遗产的现值为vn。
由题意得
所以
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊,A接受第一个n年,B接受第二
个n年,C接受第三个n年,D接受所有剩余的。
已知:
C与A的份额之比为0.49,
求B与D的份额之比。
解:
由题意知
那么
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最
后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
解:
解得n=17
列价值方程
解得X=146.07
23.36年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍,计算n。
解:
两年金现值相等,则,可知
由题意,解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:
每月底还100元,5年还清;k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为12%,计算k。
解:
由题意可得方程
100a60p1%¬=6000(1+i)−k
解得k=29
25.已知,求i。
解:
由题意得
解得i=9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元,20年
的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解:
27.某人在银行中存入一万元10年定期存款,年利率4%,如果前5年半内提前支
取,银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知:
在第4、5、6和7年底分别取出K元,
且第十年底的余额为一万元,计算K。
解:
由题意可得价值方程
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半,
前四年半的年利率为i,后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解:
选取第一次还款日为比较日,有价值方程
29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值:
每两年付
款2000元,共计8次。
解:
30.计算下面十年年金的现值:
前5年每季度初支付400元,然后增为600元。
已知
年利率为12%。
(缺命令)
解:
31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解:
32.给出下面年金的现值:
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解:
33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替,半年换算名利率4%,求R的表达式。
解:
设年实利率为i,则(1+2%)2=1+i。
有题意得
解得R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。
解:
由题意知
解得i=20%
35.已知:
1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年
金,计算R。
解:
由题意得
解得R=1.95
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延
时间。
解:
设贴现率为d,则
设递延时间为t,由题意得
解得
37.计算:
计算i。
解:
解得:
39.已知:
。
求的表达式。
解:
40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支
付一个货币单位,则两种年金的现值相等。
解:
第一种年金的现值为
第二种年金的现值为,则
所以
41.已知:
δ=0.08。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。
(结果和李凌飞的不同)
解:
设季度实利率为i。
因,则所以
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱,该基金可以维持多少时间?
解:
设年实利率为i,则设基金可维持t年,由两现值相等得
解得t=28
43.已知某永久期末年金的金额为:
1,3,5,...。
另外,第6次和第7次付款的现值
相等,计算该永久年金的现值。
解:
由题意:
解得:
PV=66
44.给出现值表达式所代表的年金序列。
用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值:
首次100元,然后每次减少3元。
解:
年金序列:
A+nB,A+(n−1)B,...,A+2B,A+B
所求为
45.某期末年金(半年一次)为:
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16%。
若记:
,试用A表示这个年金的现值。
解:
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减,故有:
47.已知永久年金的方式为:
第5、6年底各100元;第7、8年底各200元,第9、10年底各300元,依此类推。
证明其现值为:
解:
把年金分解成:
从第5年开始的100元永久年金,从第7年开始的100元永久
年金...。
从而
48.十年期年金:
每年的1月1日100元;4月1日200元;7月1日300元;10月1日400元。
证明其现值为:
元
证:
首先把一年四次的付款折到年初:
从而每年初当年的年金现值:
元
再贴现到开始时:
元
49.从现在开始的永久年金:
首次一元,然后每半年一次,每次增加3%,年利
率8%,计算现值。
解:
半年的实利率:
50.某人为其子女提供如下的大学费用:
每年的前9个月每月初500元,共计4年。
证明当前的准备金为:
证:
首先把9个月的支付贴现到年初:
m=12,n=9/12,R=500m=6000从而
每年初当年的年金现值:
贴现到当前:
51.现有如下的永久年金:
第一个k年每年底还;第二个k年每年底还2R;第三
个k年每年底还3R;依此类推。
给出现值表达式。
解:
把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,···):
每个年金的值为
在分散在每个k年的区段里:
再按标准永久年金求现值:
v
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值,20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金:
1,2,3,···的现值。
计算贴现率。
解:
由题意:
解得:
i=0.05
即:
53.四年一次的永久年金:
首次1元,每次增加5元,v4=0.75,计算现值。
与原答案有出入
解:
(期初年金)
(期末年金)
54.永久连续年金的年金函数为:
(1+k)t,年利率i,如果:
0 金现值。 与原答案有出入 解: 由于0 59.计算m+n年的标准期末年金的终值。 已知: 前m年年利率7%,后n年年利 率11%,。 解: 由的表达式有: 60.甲持有A股票100股,乙持有B股票100股,两种股票都是每股10元。 A股票每 年底每股分得红利0.40元,共计10年,在第10次分红后,甲以每股2元的价格将所 有的股票出售,假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。 B股 票在前10年没有红利收入,从第11年底开始每年每股分得红利0.80元,如果乙也 是以年利率6%进行投资,并且在n年后出售其股票。 为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同,分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。 解: 设X为买价,有价值方程: 从而有: 解得: X= 5.22n=15 2.48n=20 61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动,每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。 另外,从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。 (从1991年的7月开始? )每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。 计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。 解: 由题意: 62.已知贷款L经过N(偶数)次、每次K元还清,利率i。 如果将还贷款次数减少 一半,记每次的还款为K1,试比较K1与2K的大小。 解: 由题意: 63.已知贷款L经过N次、每次K元还清,利率i。 如果将每次的还款额增加一倍, 比较新的还款次数与N/2的大小。 解: 由题意: 即: M
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