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在短期内某厂商在一定的技术条件下,只生产一种产品(其产量为Q),只有一种投入是可变的(如劳动L),其他投入均为固定的(如资本K和技术T),则短期生产函数为:
或简写为:
Q=f(L)
如果一个厂商准备改变某些关键的生产要素,以改变它的生产方式或提高生产效率、产量等,则该厂商面临的是长期生产函数。
从长期看,厂商是可以改变所有的生产要素的,包括技术水平和资本投入,因而生产要素就没有固定的,其生产函数为:
Q=f(L、K、T……)
(四)生产函数的规模报酬
生产函数的规模报酬有以下三种情形:
1.规模报酬固定
如果把所有投入的生产要素都增加λ倍,那么产出量也增加λ倍,则称该生产函数为规模报酬固定,或称常数规模报酬。
设生产函数为:
Q=f(L、K),则上述定义等价于:
Q′=f(λL、λK)=λQ (λ>0)
对于规模报酬固定的生产函数来讲,投入扩大某一倍数,产出也扩大某一倍数。
例如,某厂商原投入劳动和资本分别为1个单位,产出50单位。
现该厂商将投入增加一倍、两倍,与此对应产出也分别增加一倍和两倍,其关系如图4—1。
2.规模报酬递增
如果把所有投入的生产要素都增加λ倍,那么产出量的增加大于λ倍,则称该生产函数为规模报酬递增。
Q′=f(λL、λK)=αQ (α>λ)
对于规模报酬递增的生产函数来讲投入扩大某一倍数,产出的扩大超过投入的倍数。
3.规模报酬递减
如果把所有投入的生产要素都增加λ倍,那么产出量的增加小于λ倍,则称该生产函数为规模报酬递减。
Q′=f(λL、λK)=βQ (β<λ)
对于规模报酬递减的生产函数来讲,投入扩大某一倍数,产出的扩大倍数小于投入的扩大倍数。
对于行业的规模报酬的确定可以用计量经济学的办法来确定。
但就一个具体企业来讲,根据技术状况,在扩展规模的过程中,一般可能经过下述三个阶段:
①规模报酬递增阶段;
②规模报酬固定阶段;
③规模报酬递减阶段。
科布—道格拉斯生产函数的一般表达式为:
Q=f(L,K)=ALαKβ(0<α<1、0<β<1)
这就是著名的科布─道格拉斯生产函数,简称C─D函数。
如果将资本和劳动均增加λ倍,则:
f(λL,λK)=A(λL)α(λK)β
=λα+βf(L,K)
经分析可知科布-道格拉斯函数可以是规模报酬递增、规模报酬递减和规模报酬固定的生产函数。
究竟是属于哪一类生产函数这取决于α+β的值。
当α+β>1时,为规模报酬递增;
当α+β=1时,为规模报酬固定;
当α+β<1时,为规模报酬递减。
(五)几种常见的生产函数
1.齐次生产函数
如果一个生产函数的每一种投入生产要素都增加到原来投入量的λ(λ>1)倍,产出量增加到原来的λn倍,则称此生产函数为齐次生产函数。
其中n称为该生产函数的齐性次数。
当n=1时,称为一阶齐次生产函数。
设具有两种投入生产要素的生产函数为:
Q=f(K,L),如果它是齐次生产函数,则:
f(λK,λL)=λnf(K,L)(λ>1)
根据生产函数的规模报酬的定义,对于齐次生产函数来说,当齐次数大于1时,生产函数为规模报酬递增;
当齐次数等于1时,生产函数为规模报酬固定;
当齐次数小于1时,生产函数为规模报酬递减。
2.古典生产函数
古典生产函数也称经验生产函数,它是最带有普遍性的生产函数。
因为这个生产函数充分反映出规模报酬先是递增进而是固定,最后是递减。
3.幂函数
幂函数在研究投入与产出关系时是最常见的一种生产函数。
它表明各种生产要素的投入数量之间的乘法关系,其表达式为:
Q=f(X,Y,Z)=AXαYβZγ
式中,A、α、β和γ均为正的常数。
幂函数的对数形式为:
lgf(X,Y,Z)=lgA+αlgX+βlgY+γlgZ
其次,幂函数也是齐次函数,各变量的指数之和就是它的齐性次数。
因此,可以非常容易地判定生产函数的规模报酬性。
最后,如果各变量的指数之和恰好是1,则生产函数的齐性次数就是1。
此时,该生产函数既是线性生产函数,又是齐次生产函数,其规模报酬固定不变。
技术效率(technologicalefficiency)
技术效率与经济效率
经济学研究限制条件下的最大化问题,运用到企业中就是所拥有的资源既定时利润最大化的问题。
当企业对资源的配置实现了利润最大化时就实现了资源最优配置。
因此,以利润最大化为目标的企业要在明晰产权、建立合理公司治理结构的基础上实现资源配置效率。
是否实现资源配置的效率标准是技术效率和经济效率。
企业是通过生产和经营活动来实现利润最大化的。
生产是把投入变为产出的过程。
生产中使用的投入包括劳动、资源、自然资源和企业家才能。
经济学家把企业家才能作为一种独立的生产要素(即投入)是因为企业家的组织和创新是生产经营成功最关键的因素。
产出也就是生产出的产品量。
技术效率是指投入与产出之间的关系。
如果用既定的投入生产出了最大的产量,或者换个说法,要生产既定产量时用的投入最少,就实现了技术效率。
在现实中,当不增加投入就无法增加产量时,所用的生产方法就实现了技术效率。
实现技术效率,即充分地利用了现有的投入,是实现利润最大化的基础。
因为如果现有的投入都没有得到利用,当然谈不到利润最大化。
但技术效率本身并不等于利润最大化。
因为利润是购买投入的支出——成本,与出卖产品得到的收入——收益,之间的差额。
决定成本的不仅有所购买的投入量,还有投入的价格,即成本为所购买的投入量与价格的乘积。
例如,邮局可以用人工或自动分拣机分信件。
如果每日用20个工人或者一台分拣机加一个工人分拣10万封信件。
这两种方法都实现了技术效率。
但如果工人的工资为每月2000元,每台机器每月的折旧与其他费用为4.5万元。
10万封信件的收益是相同的,但用人工为4万元,而用自动分拣机为4.7万元(机器的成本加一个工人工资)。
这时,只有用工人分拣成本最低,实现了经济效率,而用自动分拣机成本没有最小,就没有实现经济效率。
经济效率是成本与收益之间的关系,当成本既定收益最大,或收益既定成本最小时,才实现了经济效率。
利润最大化就是要在技术效率的基础上实现经济效率。
所以,企业实现资源有效配置的标准就是技术效率和经济效率,两者缺一不可。
在经济学中,研究技术效率的内容称为生产理论,研究经济效率的内容是成本理论。
这些理论尽管较为抽象,但是企业一般生产规律的总结,可以用来指导企业的资源配置。
在分析技术效率与经济效率时,我们特别要注意短期与长期的区分。
经济学中经常说到短期分析与长期分析。
这里所说的短期与长期并不是仅仅用时间的长或短来区分,例如,1年就是短期或三年就是长期等等。
在不同的场合,我们区分短期与长期的标准也不同。
在分析企业行为时,我们所说的短期与长期的标准是生产要素能否全部调整。
无论时间长短,只要生产要素不能根据要实现的产量目标全部调整,就是长期。
因此,对不同的企业而言,短期与长期的时间长短是不同的。
例如,对一个小服装厂而言,所需的所有要素(工人和缝纫机)在三个月内就可以调整,那么,三个月以内就是短期,三个月以上就是长期。
但对一个大型汽车厂而言,所需的所有要素(工人和生产线)需要三年才能调整。
在三年之内只能调整工人,不能调整生产线设备,三年之内就是短期,三年以上才是长期。
不同企业的短期与长期的时间是不同的,但任何一个企业都有短期与长期之分,这对我们分析企业行为是极为重要的。
在分析技术效率时,我们要分别分析企业短期的长期中技术效率的实现。
如前所述,短期是企业不能调整全部生产要素的时期。
因此,在分析企业短期技术效率时,我们分析当其他要素(如资本设备)不变时,如果调整一种要素(如劳资),来实现技术效率。
在分析企业短期技术效率时,企业可以调整全部生产要素,企业全部生产要素的变动就是企业规模的变动。
因此,企业长期技术效率的实现就是要确定一个适度规模。
企业的经济效率涉及成本与收益。
成本与收益涉及生产要素与产品的价格。
这些价格不能由企业,而是在市场上决定的。
这一部分分析的重点是成本。
短期中由于生产要素有可调整与不可调整之分,成本也有可变成本与固定成本之后,而在短期中一切生产要素都可调整,成本也都可以变动。
在分析成本的基础上有再分析收益,并得出实现利润最大化的标准。
技术效率与配置效率
效率概念包括两部分:
技术效率和配置败率(Farrell,1957)。
前者是指现有资源最优利用的能力,即在给定各种投入要素的条件下实现最大产出,或者给定产出水平下投入最小化的能力(Lovell,1993);
后者则要求在一定的要素价格条件下实现投入(产出)最优组合的能力。
如果在完全竞争的市场中,各要素的产出弹性等于投入要素所占总成本的比重,此时配置有效率,也就是不存在配置无效或者配置效率的损耗,一般情况下对效率的考察和测度都是针对技术效率。
二、发展历史
1、输入导向的测度
Farrel使用一个简单的例子描述其观点。
有多个企业,均使用两种相同的投入资源:
x1和x2,得到同一种产出y,假设固定规模报酬。
一个完全有效的公司的单位等产量曲线如图1中的SS’。
图1技术效率和配置效率
如果一个公司使用很多的投入如P点,生产1个单位的产出,那么这个公司的非技术效率可以用QP的距离表示,即在产出不减少的情况下,使所有投入成比例的减少的数量。
通常,可用比率QP/0P百分比的形式表示。
则技术效率(technicalefficiency,TE)可表示为:
TEI=0Q/0P,
(1)
实际上,即1-QP/0P。
技术效率数值在0到1之间,也因此提供了测量企业非技术效率的指标。
如果一个企业的技术效率为1,则该企业技术完全有效,如图中Q点所示。
如果两种输入的价格比率如图1中AA'
所示,则公司在P点的配置效率(allocativeefficiency,AE)可定义为:
AEI=0R/0Q,
(2)
分析如下:
首先,等成本线与单位效率等产量线的切点Q'为配置效率点,符合既定产出下成本最小化,而R点与Q'点位于同一条等成本线上,Q点与Q'点位于同一条等产量线上;
其次将AA'等成本线平行上移至过Q点,可以发现在相同产量下Q点的生产成本高于R点,距离RQ代表厂商若在技术效率和配置效率点Q'点生产时其生产成本可以减少的部分,将其定义为厂商在P点生产时的非配置效率,通常以百分比的形式RQ/OQ来表示,代表减少RQ/OQ百分比的生产成本即可达到配置有效率。
总经济效率(economicefficiency,EE)可表示为:
EEI=0R/0P,(3)
距离RP也可通过成本降低进行解释。
实际上,经济效率为技术效率与配置效率的乘积:
TEIAEI=(0Q/0P)(0R/0Q)=(0R/0P)=EEI(4)
很明显,上述三个效率均在0到1之间。
这些效率测度假定完全有效的企业生产函数是已知的。
实际上,有效等产量曲线必须通过样本数据估计。
Farrell认为可以采用两种方法拟合数据:
(a)构建一个非参数分段线性凸等产量线,并且没有样本在该曲线的左边或下边,如图2所示;
(b)一个参数函数,例如柯布-道格拉斯函数形式。
Farrell应用美国48个州的农业数据阐述了他的方法。
图2非参数分段线性凸等产量线
2、输出导向的测度
上述投入为导向的技术效率的措施解决这个问题:
“输入数量可以按比例减少多少而不改变输出量生产的呢?
”。
你还可以问:
“输出数量可以按比例扩大多少而输入量没有改变?
”这是一个输出导向的测度。
输出和输入导向测度之间的差异可以用一个简单的例子说明,本例子只涉及一个输入和一个输出。
如图3(a),有一个由f(x)表示的规模报酬递减技术,P点表示企业经营非效率。
Farrel基于输入的技术效率测度为AB/AP,而基于输出的技术效率测度为CP/CD。
当固定规模报酬时,基于输入的技术效率与基于输出的技术效率相等,如图3(b),但是,当规模报酬递增或递减时,二者并不相等。
图3规模收益情况下基于输入和基于输出的技术效率测度
我们可以考虑包含一个输入(x1)和两个输出(y1和y2),基于输出的情形。
假设固定规模报酬,可以通过二维的单位生产可能性曲线表示技术。
如图4中的ZZ’表示单位生产可能性曲线,点A表示一个非有效的企业。
注意:
A在曲线的下方,因为ZZ’为生产可能性上界。
图4基于输出的技术效率和配置效率
Farrell基于输出的效率测度可表述如下。
图4中AB表示非技术效率,亦即在不增加输入的情况下输出可以增加的数量。
因此,基于输出的技术效率测度为:
TEO=0A/0B(5)
如果有价格信息,可以绘制等收益曲线DD’,定义配置效率为:
AEO=0B/0C(6)
如同基于输入的配置效率成本降低的解释,基于输出中包含着收益增加的解释。
同样,可以定义总的经济效率为:
EEO=(0A/0C)=(0A/0B)(0B/0C)=TEOAEO(7)
很明显,基于输出的效率测度也在0到1之间。
上述6个概念具有以下特点:
所有的效率测度都从原点出发到测量点,因此输入(或输出)之间的相对比例保持不变。
这样有一个好处就是它们不随着单位改变,即改变了测度单位(如劳动力用人小时代替人年),不会改变效率测度值。
相反的,非径向测度(不是从原点出发)如可以用生产点到生产前沿面的最短距离,就会随着测度单位的改变而发生变化。
这种情况下,改变测度单位,会导致出现辨识最近点,这将在DEA松弛变量处理时考虑。
补充概念:
生产可能性曲线
生产可能性曲线用来表示经济社会在既定资源和技术条件下所能生产的各种商品最大数量的组合。
生产可能性曲线反映了资源稀缺性与选择性的经济学特征。
生产可能性曲线主要用来考察一个国家应该怎样分配其相对稀缺的生产资源问题。
我们知道,一国可利用的资源,按用途来说,主要用来生产资本品和消费品。
由于资源总量是一定的。
因此,要多生产消费品就必须减少资本品的产量。
那么,一个国家如何兼顾目前利益和长远利益,把有限的资本分配使用于消费品和资本品的生产,是经济学必须回答的一个重要问题。
这个问题可以用生产可能性曲线来解释和回答。
现在,假定一国现有资源用来生产两种产品X(消费品)和Y(资本品)。
如果全部用来生产X产品,可生产OD单位;
如果全部用来生产Y产品,可生产OA单位;
如果同时用来生产X和Y两种产品,则可能有各种不同的X与Y的产量组合。
将X和Y的各种不同的产量组合描绘在坐标图上,便可得出生产可能性曲线。
如图1—1。
图1-1
图中的AD线即生产可能性曲线,或称生产可能性边界(productionPossibilityfrontier),也可称为转换线。
生产可能性曲线是用来说明和描述在一定的资源与技术条件下可能达到的最大的产量组合曲线,它可以用来进行各种生产组合的选择。
如图1—1中F点和C点比较,少生产GB数量的Y产品(资本品),就可以多生产HE数量的X产品(消费品),因此,生产HE单位X产品的机会成本就是GB单位的Y产品。
那么,一个国家关于消费品和资本品这两大部类的生产,到底是选择F点还是C点?
或者是AD线上的任何其他一点?
这就是经济学所面临和必须回答的问题。
生产可能性曲线还可以用来说明潜力与过度的问题。
生产可能性曲线以内的任何一点(如Q点),说明生产还是潜力,即还有资源未得到充分利用,存在资源闲置;
而生产可能性之外的任何一点(如P点),则是现有资源和技术条件所达不到的。
只有生产可能性曲线之上的点,才是资源配置最有效率的点。
因为它说明了一个社会的全部资源都得到了充分利用,不存在闲置资源和失业,社会经济达到了充分就业的状态。
在资源数量和技术条件不变的条件下,一个社会现有资源可能生产的产品产量组合是既定的,但当资源数量变化和技术条件改变时,生产可能曲线会相应移动。
随着资源数量的增加和技术的进步,生产可能性曲线会向外平行移动。
如图1—2所示。
图1—2中,在原来的技术水平和资源条件下,生产可能性曲线为X1Y1。
现假定资源数量增加了,或者技术进步,劳动生产率提高了,使生产可能性曲线向外平移至X2Y2。
在X2Y2上,每一点所代表的两种产品的产量组合都比X1Y1上相应的一点所代表的产量组合要大。
因此,生产可能性曲线向外移动,代表着一个社会生产能力的提高。
3、技术效率、纯技术效率和规模效率
由图1和公式
(1)表示的是固定规模报酬(CRS)下的技术效率(TechnicalEfficiency,TE)。
即所有DMU均在最佳规模下运营(对应长期平均成本曲线LRAC的平滑部分)。
长期成本曲线LRAC
长期平均成本(LACLong-runAverageCost)是长期中平均每一单位产品的成本,在数值上等于长期总成本除以产量。
长期平均成本曲线是短期平均成本曲线的包络线。
长期平均成本LAC曲线表示:
在长期内,厂商在每一个产量水平上都会选择最优的生产规模进行生产,从而将生产的平均成本降到最低水平。
在这条包络线上,在连续变化的每一个产量水平,都存在LAC曲线和一条SAC曲线的相切点,该SAC曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最佳生产规模,该切点所对应的平均成本就是相应的最低平均成本。
长期平均呈先降后升的U型,这种形状和短期平均成本曲线是很相似的。
但是,这两者形成U型的原因并不相同。
短期平均成本曲线呈U型的原因是短期生产函数的边际报酬递减规律的作用。
长期平均成本曲线的U型特征主要是由长期生产中的规模经济和规模不经济所决定。
需要注意的是:
LAC曲线表示厂商在长期内在每一产量水平上可以实现的最小的平均成本。
长期内厂商总是可以找到生产某一产量的最佳规模以达到用最低平均成本来生产。
规模经济带来长期平均成本下降;
规模不经济引起长期平均成本上升。
规模经济和规模不经济都是由厂商变动自己的生产规模所引起的,所以也被称为内在经济和内在不经济。
规模报酬变化表现为先是递增,不变,然后递减决定了LAC曲线表现出先降后升的特征。
研究结果表明,在大多数行业的生产过程中,企业在得到规模内在经济的全部好处之后,规模内在不经济的情况将会随后出现,但一般要在很高的产量水平时才会出现。
此外,长期平均成本曲线的形态与行业的不同特征有关。
有些行业在规模报酬不变阶段持续的时间较短,有些则很长,但是最终总会达到规模报酬递减的状况。
Bankeretal.(1984)将CRS下的技术效率进一步分解为纯技术效率(PureTechnicalEfficiency,PTE)和规模效率(ScaleEfficiency,SE),从而将由于规模因素所造成的厂商之间的效率差异分离出来。
具体而言,纯技术效率(PTE)测度的是在可变规模报酬(VRS)下,被考察厂商的实际生产点与其单位效率等产量边界之间的距离,因此也被称为可变规模报酬技术效率(TEVRS);
而规模效率(SE)衡量的是固定规模报酬下的单位效率等产量边界与可变规模报酬下的单位效率等产量边界之间的距离。
如图5所示:
为便于说明,我们仅考虑单一投入(x)和单一产出(y)的情况。
图5纯技术效率与规模效率
图中ABCD表示规模报酬变动的生产前沿面,若厂商在E点生产,此时固定规模报酬(CRS)下的技术效率值为TECRS=ab/aE,变动规模报酬(VRS)下的技术效率值为TEVRS=ac/aE,我们将ac/aE定义为纯技术效率(PTE),将ab/ac定义为规模效率(SE)。
至此,可推得固定规模报酬下的技术效率(TE)等于纯技术效率(PTE)与规模效率(SE)的乘积,即:
TECRS=TEVRS×
SE=PTE×
SE=(ac/aE)×
(ab/ac)=ab/aE(8)
以上内容是配合图形和数学运算来说明Farrell的边界分析概念。
我们可以了解到,Farrell所提出的边界生产概念是一种确定性无参数边界(DeterministicNon-parametricFrontier)概念,确定性指的是所有DMU的技术水准相同,面对共同的生产前沿;
无参数边界指的是无需事先预设生产函数的形式。
这种多投入的效率衡量,奠定了数据包络分析法(DEA)的理论基础,其理论的基本假设有三个:
首先,生产边界(ProductionFrontier)是由最有效率的单位组成,无效率的单位均落在边界之外;
其次,固定规模报酬(ConstantReturnToScale);
最后,生产边界凸向原点(Convex),即每一点的斜率为非正。
继Farrell(1957)提出以确定非参数法评估效率的方法后,Charnes,CooperandRhodes(1978)加以改良,利用线性规划的方法求出评估单位的生产前沿,并且根据这个生产前沿计算受评单位的相对效率,落在生产前沿上的DMU,被认为是投入产出最有效率的,其绩效指标值为1;
没有落在生产前沿上的DMU,被认为是投入产出没有效率的,其绩效指标值小于1,从其距离生产前沿的长度可以求出相对绩效值。
数据包络分析法(DEA)最常用的有两种模式:
CCR模式和BCC模式。
以下将分别介绍说明。
4、数据包络分析(DEA)
DEA模型是一个前沿面估计的非参数数学规划模型。
Charnes,CooperandRhodes(1978)提出了基于输入的且固定规模报酬(CRS)的DEA模型。
随后许多文章对其假设进行改变,如Banker,CharnesandCooper(1984)提出了变动规模报酬(VRS)下的DEA模型。
(1)固定规模报酬-CCR模型
Charnes,CooperandRhodes(1978)依据Farrell(1957)所提出的“两投入一产出”的模式,推广至“多投入多产出”的模式,从而更加符合复杂的现实。
CCR效率评估模型从投入面分析并假设每一决策单元(DecisionMakingUnit,
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