大学概率论与数理统计试题库及答案aWord下载.docx
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2
20.设X「X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,且均值为J,方差为二,那么当n充
分大时,近似有X〜或nX一'
'
〜。
特别是,当同为正态分布时,
CT
X_■1
对于任意的n,都精确有X〜或n〜.
21.设X「X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,且EXi八I,DXi(i=12…)
1n
那么Xi2依概率收敛于.
ny
222
22.设X1.X2.X3.X4是来自正态总体N(0,22)的样本,令Y=(X1•X2),(X3-X4),
则当C二时CY〜2
(2)。
23.设容量n=10的样本的观察值为(8,乙6,9,8,7,5,9,6),则样本均值=
样本方差=24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体工LN(・,「2)的一个简单随机样本,则样本均值
、选择题
1•设A,B为两随机事件,且BA,则下列式子正确的是
(A)P(A+B)=P(A);
(B)P(AB)=P(A);
(C)P(B|A)二P(B);
(D)P(B_A)二P(B)_P(A)
2.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为
(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;
(B)“甲、乙两种产品均畅销”
(C)“甲种产品滞销”;
(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3.袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机
各取一球。
则第二人取到黄球的概率是
(A)1/5(B)2/5(C)3/5(D)4/5
4.对于事件A,B,下列命题正确的是
(A)若A,B互不相容,则A与B也互不相容。
(B)若A,B相容,那么A与B也相容。
(C)若A,B互不相容,且概率都大于零,则A,B也相互独立。
(D)若A,B相互独立,那么A与B也相互独立。
5.若P(BA)=1,那么下列命题中正确的是
(A)AB(B)BA(C)A-B=£
(D)P(A-B)=O
6.设X〜N(巴er2),那么当▽增大时,P{X-円cct}=
A)增大B)减少C)不变D)增减不定。
7.设X的密度函数为f(X),分布函数为
F(x),且
f(x)
f(-x)。
那么对任意给定的a
都有
a
A)f(-a)=1-f(x)dx
0f(x)dx
C)F(a)=F(-a)
)F(-a)=2F(a)-1
&
下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是
A)F(x)=1—
x
B)
1
F(x)p
1arctanx
ji
C)F(x)二丁-宀
i0,
x0
,-be“
D)
F(x)二
f(t)dt,其中f(t)dt=1
x_0
J-oo
3-oo
9.假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数,贝U
下列各式中正确的是
A)F(x)=F(-x);
B)F(x)=-F(-x);
C)f(x)=f(-x);
D)f(x)=-f(-x).
“Ae」xX九
10.已知随机变量X的密度函数f(x)=§
'
-(九>
0,A为常数),则概率P{hcXvh+a}
0,xv九
(a>
0)的值
A)与a无关,随■的增大而增大B)与a无关,随■的增大而减小
C)与■无关,随a的增大而增大D)与■无关,随a的增大而减小
11.X「X2独立,且分布率为(i=1,2),那么下列结论正确的是
A)X1=X2B)P{X1=X2}=1C)P{X1=X2}=
12.设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为(xY)|(11)(12)(13)(21)(22)(23)
P|1/61/91/181/3aP
且X,Y相互独立,则
A):
=2/9,1=1/9B):
=1/9「=2/9
C)二=1/6,2=1/6D)二=8/15,2=1/18
22
13.若X〜(叫,「),丫〜(•—)那么(X,Y)的联合分布为
A)二维正态,且=0B)二维正态,且「不定
C)未必是二维正态D)以上都不对
14.设X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x),F丫(y),贝UZ=max
{X,Y}的分布函数是
A)Fz(z)=max{Fx(x),F丫(y)};
B)Fz(z)=max{|Fx(x)|,|F丫(y)|}
C)Fz(z)=Fx(x)•Fv(y)D)都不是
15•下列二无函数中,可以作为连续型随机变量的联合概率密度。
16.掷一颗均匀的骰子
600次,那么出现
“一点”次数的均值为
A)50B
)100C
)120
D
)
150
17.设X1,X2,X3相互独立同服从参数
■=3的泊松分布,
令
yJ
3
(X1X2X3),则
e(y2)=
A)1.B
)9.C
)10.
)6.
其他
18•对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)二E(X)E(Y),则
A)f(x,y)=
cosx,
0,
JIJI
x,0乞y空1
B)g(x,y)=
.0,
JI
—
-x,0
二y二_
C):
(x,y)=
cosx,0三x虫愿,0三y三1
0,其他
D)h(x,y)=
A)D(XY)=D(X)D(Y)
B)D(XY)=D(X)D(Y)
C)X和Y独立D)X和Y不独立
19.设乂P(■)(Poission分布),且E||(X-1)X-2:
I1,则’=
A)1,B)2,C)3,D)0
20.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则D(XY^DXDY是X和Y的
A)不相关的充分条件,但不是必要条件;
B)独立的必要条件,但不是充分条件;
C)不相关的充分必要条件;
D)独立的充分必要条件
21.设X〜N(J;
「2)其中"
已知,匚2未知,X1,X2,X3样本,则下列选项中不是统计量的是
A)X1X2X3B)max{X1,X2,X3}
22•设X〜-(1,p),X!
X2,…,Xn,是来自X的样本,那么下列选项中不正确的是
A)当n充分大时,近似有X〜NIp,P(仁p)
In丿
B)P{X二k}二C;
pk(1—p)2,k=0,1,2「,n
C)P{X}=C;
pk(1一p)"
上,k=0,1,2,,n
n
D)P{Xi二k}二Ckpk(1-p)nJS,1◎乞n
23•若X〜t(n)那么2〜
A)
F(1,n)B
)F(n,1)C)
!
(n)D)t(n)
24.
设X1,X2,Xn
为来自正态总体N(」,
二2)简单随机样本,
X是样本均值,记
S12
(Xi-X)2,s;
(Xi-X)2,Sf-
(Xi」)2,
n-1i
n-1y
1n2—区—)2,
则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是
ni吕
A、X
a、X
Q、X
A)t:
b)r
C)t
D)t:
S|/Jn-1
$/Jn-1
S3/Jn
S4/Jn
25.
设X1,X2,…Xn,Xn+1
…,Xn+m是来自正态总体
N(0f2)的容量为
n+m的样本,则统计量
m'
、2
V-
nim服从的分布是
-<
i生1
F(m,n)B)
F(n-1,m-1)C)
F(n,m)D)
F(m-1,n-1)
三、解答题
1.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。
2.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书,一套3本,另一套4本。
求下列事件的概率。
1)3本一套放在一起。
2)两套各自放在一起。
3)两套中至少有一套放在一起。
3.调查某单位得知。
购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD的占20%其中购买
空调与电脑占6%购买空调与DVD占10%购买电脑和DVD占5%,三种电器都购买占2%。
求下列事件的概率。
1)至少购买一种电器的;
2)至多购买一种电器的;
3)三种电器都没购买的;
4•仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产
的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品
中任取一件产品,求取得正品的概率。
5.一箱产品,A,B两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。
现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大?
6.有标号1f的n个盒子,每个盒子中都有m个白球k个黑球。
从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子,依次继续,求从最后一个
盒子取到的球是白球的概率。
7•从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能
性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布率。
(1)放回
(2)不放回
设随机变量X的密度函数为f(x)二Ae〃(-:
:
:
x,
求
(1)系数A,
(2)P{0_x_1}
(3)分布函数F(x)。
9•对球的直径作测量,设其值均匀地分布在[a,b]内。
求体积的密度函数。
10•设在独立重复实验中,每次实验成功概率为0.5,问需要进行多少次实验,才能使至少
成功一次的概率不小于0.9。
11.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高
XLN(168,72),问车门的高度应如何确定?
12.设随机变量X的分布函数为:
F(x)=A+Barctanx,(-:
).
求:
(1系数A与B;
(2)X落在(-1,1)内的概率;
(3)X的分布密度。
13.把一枚均匀的硬币连抛三次,以X表示出现正面的次数,Y表示正、反两面次数差的
绝对值,求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。
14•设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xy
F(x,y)二A(Barctan^)(Carctan$)
求
(1)A、B、C的值,
(2)(X,Y)的联合密度,(3)判断X、Y的独立性。
15•设连续型随机变量
X,Y)的密度函数为f(x,y)=
[AeWy),x:
>
0,y:
I0,其他
(1)系数A;
(2)落在区域
D:
{0:
x岂1,0:
y岂2}的概率。
16.设(X,Y)的联合密度为f(x,y)二Ay(1—x),0乞x乞1,0岂yEx,
(1)求系数A,
(2)求(X,Y)的联合分布函数。
17.上题条件下:
(1)求关于X及Y的边缘密度。
(2)X与丫是否相互独立?
18.在第16)题条件下,求f(yx)和f(xy)。
19.盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。
20.有一物品的重量为1克,2克,•••,10克是等概率的,为用天平称此物品的重量
准备了三组砝码,甲组有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克,丙组为1,2,3,4,10克,只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?
21.公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小
时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望(准确到秒)。
22•设排球队A与B比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负?
23.一袋中有n张卡片,分别记为1,2,-..,n,从中有放回地抽取出k张来,以X表示所得号码之和,求E(X),D(X)。
24.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
f(x$)=卜°
uxUOuyux
(0,其他
①常数k,②EXY及D(XY).
25•设供电网有10000盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开闭与否相互
独立,试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间
的概率。
26.一系统是由n个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须
至少由80%的部件正常工作,系统才能正常工作,问n至少为多大时,才能使系统正常
工作的概率不低于0.95?
27.甲乙两电影院在竞争1000名观众,假设每位观众在选择时随机的,且彼此相互独立,
问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。
28.设总体X服从正态分布,又设X与S2分别为样本均值和样本方差,又设
Xn半LN(A,,且Xn+与X^X?
'
「Xn相互独立,求统计量Xn「X匚1的分布。
29.在天平上重复称量一重为:
-的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布
N(G,0.22),若以Xn表示n次称量结果的算术平均值,为使P(|Xn—aC0.1)H0.95成立,
求n的最小值应不小于的自然数?
30•证明题设A,B是两个事件,满足P(BA)=P(BA),证明事件A,B相互独立。
31•证明题设随即变量X的参数为2的指数分布,证明Y=1-e°
X在区间(0,1)上服从均匀分布。
<数理统计>试题
1•设X「X2,…,X!
6是来自总体X〜N(4,二)的简单随机样本,二已知,令
1164X-16
*=—'
Xi,则统计量服从分布为(必须写出分布的参数)。
16i4
2.设X〜N(亠二),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X中抽取的样本,则J的
矩估计值为。
3•设X〜U[a,1],X1,…,Xn是从总体X中抽取的样本,求a的矩估计为。
4.已知F°
.1(8,20)=2,则Fo.9(2O,8)=。
5.?
和?
都是参数a的无偏估计,如果有成立,则称?
是比?
有效的估计。
6.设样本的频数分布为
X
4
频数
则样本方差s2=。
7.设总体X~N(,d2),X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,X为样本均值,则D
(X)=。
设总体X服从正态分布N(卩,d2),其中□未知,X1,X2,…,Xn为其样本。
若假设检验问题为H。
二2=—H1:
二2=1,则采用的检验统计量应。
9•设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值(x1,x2,…,xn)落
入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为。
10.设样本X1,X2,…,Xn来自正态总体N(卩,1),假设检验问题为:
H0:
卩=0㈠比:
卩式0,则在H0成立的条件下,对显著水平a,拒绝域W应为。
11.设总体服从正态分布N(J1),且"
未知,设Xi,|H,Xn为来自该总体的一个样本,记
;
若已知10.95,
X丄Xj
ny,则,的置信水平为1-:
的置信区间公式是
则要使上面这个置信区间长度小于等于
0.2,则样本容量n至少要取__
12.设X1,X2,…,Xn为来自正态总体
N(〜二)的一个简单随机样本,其中参数’和二2均
X=丄£
XiQ2=1
未知,记nV,i4
(Xi-X)
,则假设Ho:
亠=0的t检验使用的统计
量是
。
(用X和Q表示)
13.设总体X~N(*;
「)
,且"
已知、
设X1,X2,X3是来自该总体的一个样本,
1(X1X2X3)二2
则3,
X12・伙2
Xj+xj+xj—P,X
(1)+2P中是统计
量的有
14.设总体X的分布函数
F(x),设X1,X2/,Xn为来自该总体的一个简单随机样本,
则XjX2,Xn的联合分布函数
15•设总体X服从参数为
P的两点分布,P(0p:
1)未知。
设X1」H,Xn是
来自该总体的一个样本,则
nn
、x「(Xj-X),Xn-6,max{Xj},XnPX1
yVWn中是统计量
的有
16.设总体服从正态分布
NC),且"
未知,设XjH'
Xn为来自该总体的一个样本,记
X丄“Xj
ny,则"
的置信水平为1-:
-的置信区间公式是
17.设X~N(收,;
「x),丫~肌»
匚丫),且X与Y相互独立,设Xjll人为来自总体
X的一个样本;
设丫!
,川,Yn为来自总体Y的一个样本;
Sx和Sy分别是其无偏样本方差,
/啜
则$/二丫服从的分布是
18.设X-NJ,0.32,容量n=9,均值
X=5,则未知参数■-的置信度为0.95的置信
区间是
(查表Zo.025=1.96)
19.设总体X〜N(S「2),X1,X2,…,
Xn为来自总体X的样本,X为样本均值,则D
20.设总体X服从正态分布N(卩,(T2),其中□未知,X,夫,…,Xn为其样本。
若假设
检验问题为H0:
CT2=1㈠已:
CT2学1,则采用的检验统计量应。
21.设Xi,X2,…,Xn是来自正态总体N(」,;
「2)的简单随机样本,」和二2均未知,记
—I
XXi,71(Xj-X),则假设H0:
.二=0的t检验使用统计量T
ni」i4
1m1n
22•设XXi和YY分别来自两个正态总体N(S,g2)和NCbd的样本
myni£
均值,参数叫,J2未知,两正态总体相互独立,欲检验H。
—二;
「2,应用检验
法,其检验统计量是。
23•设总体X〜N(・,「2),J,;
「2为未知参数,从X中抽取的容量为n的样本均值记为X,
修正样本标准差为Sn,在显著性水平:
-下,检验假设H0:
.二=80,H1-80的拒绝域
为,在显著性水平:
•下,检验假设曰0:
二2-;
「02(二0已知),比:
二1=匚02的拒绝域为
24.设总体X〜b(n,p),0:
p:
1,X2,…,Xn为其子样,n及p的矩估计分别
25.设总体X〜UI0J1,(X1,X2,…,Xn)是来自X的样本,则二的最大似然估计量
26.设总体X〜N(»
0.9),X1,X2,…,X9是容量为9的简单随机样本,均值x=5,则
未知参数」的置信水平为0.95的置信区间是27.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下:
+2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4
则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是
28.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本,令Y=(X「X2)(X^X4),
则当C=时CY〜
(2)。
29•设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值=
样本方差=
30•设X,X2,…Xn为来自正态总体工LN(・i,;
「2)的一个简单
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