新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式知识点和题型总结Word文档格式.docx
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0,那么ac>
bc;
如果a>
b,c<
O,那么UC<
bc.
(5)如果a>
b,OcL那么α+c画>
+〃.
(6)如果a>
b>
O,c>
d>
O,那么ac回
如果α>
O,c<
(l<
0,那么ac回G"
∙
⑺如果a>
O,那么0凹R"
(n∈N,π≥2).
(8)如果回^/>
∕x>
0,那么,∖[cι>
yfb(n^N,2).
【新知拓展】
1.关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加,但不可以相减,如"
c>
d不能推出“一c>
—d.
2.常用的结论
(1)a>
b,
(2)bvO<
"
W>
*;
(3)a>
O,o√>
0=>
^>
p
...r,Iaa+maa~mbb+mbb~m
(4)右Qb>
0,加>
0,则沪书p丹百卩一心0);
£
片;
茗二需(方_心0).
3.比较大小的方法
比较数(式)的大小常用作差与0比较.
作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形,前者将“差”化为“积”,后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”,也可二者并用.
4.利用不等式求范围应注意的问题
求指定代数式的取值范围,必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围.
题型一作差法比较大小
例1比较下列各组中两数的大小:
(1)已知S〃为正数,且a≠b,比较/+,与局+“2;
⑵已知XV1,比较X3-I与2x2-2x:
(3)已知X,y均为正数,设加=出,“=古,比较加与〃的大小.
[解]
(1)(λ3÷
b3)—(a2b÷
ab2)
=a3+b3-a1b-ab2
=a2{a-b)-b2(a—b)
=(a-b)(a2-b2)
={a~b)2(a+b).
Vt∕>
O,b>
0且a≠b,Λ(a-b)2>
Q9a+b>
O9
/.(ay÷
/?
3)—(a2b÷
ab2)>
O,即cr+b^>
a2b+ab2.
(2)x3-1—(2x2-2x)=x3-2x2÷
2x-1
=(√-x2)-(x2-2x÷
1)=x2(λ:
-I)-(X-1)2
=(X-I)(X2-χ+1)=(X-1{(^-∣)2+∣•
Txvl,Λχ-l<
0.X^x-^2÷
j>
0,
4x+y4(x+y)2_4Xy(χ∙~y)'
χ+yXyx+yQ(X+y)xy(x÷
y)*
乂“y均为正数,
Λ.r>
0,y>
0,xy>
0,x÷
y>
0,(X-y)2≥0.
Λ∕n-∕2≥0,即〃总舁(当x=y时,等号成立)・
金版点睛
作差比较法的四个步骤
[结论〕—(根据差的符号,判断两数(式)的大小「
题型二不等式的性质及应用
例2下列命题正确的是
②α>
b且c>
d=>
ac>
bch
解析]①戸’n知当XO,b>
0时,满足已知条件,但推不出a>
b,IoO(
・•・①错误.
②当a=3,b=∖,C=—2,Cl=—3时,命题显然不成立∙∙°
∙②错误•
④显然c2>
0tΛ两边同乘以$得a>
b.④正确.
[答案]③④
解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定,其实质是看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的结论,也可举出一个反例予以否定・
题型三利用不等式的性质证明不等式
例3
(1)已知e>
f9c>
0,求证:
f-ac<
e~bc;
(2)已知CVdV0,求证:
土缶;
(3)已知bc-ad20,bd>
O.求证:
一T—W〃・
[证明](I)Tα>
∕?
O,.*.ac>
hc.
/.-ac<
-hc.
'
∙f<
e,:
・f—ac<
e—be.
(2)TCVdVO,/.—c>
—d>
乂a>
O,C.ci—c>
b—d>
(3)•:
be—adMO,:
∙QdWbc,乂Tbcl>
O,
利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧
(1)实质:
就是根据不等式的性质把不等式进行变形,要注意不等式的性质成立的条件.
(2)技巧:
若不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.
题型四利用不等式的性质求取值范围
例4
(1)已知2vαW5,3WbVl0,求a~b,彳的取值范围;
(2)已知一∣≤cc<
^≤^,求笞迫,生亍©
的取值范圉.
[解](I)V3≤∕^<
10,・•・一10v-bW-3.
乂2<
t∕≤5τ•:
—8<
f∕-Z>
≤2.
⑵T—彳WaV厂W号,
・•・-共鈴γ<
⅛
两式相加得一
又*0,・・・三篡0,Λ
[变式探究]将本例
(1)中,条件不变,求a+b,“b的取值范围.
解由2<
t∕≤5,3≤^<
10得
2+3V/+b<
5÷
10,2×
3<
ab<
5×
10,
即5<
a÷
b<
15,6<
50.
利用不等式的性质求取值范围应注意的问题
本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围,应严格利用不等式的性质去求范围;
其次在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求的与已知的"
范围”间的联系.如已知20<
x+yV30,15Vχ-y<
18,要求2x+3y的范围,不能分别求出X,y的范围,再求"
+3y的范围,应把已知的"
x+y”“x—y”视为整体,即2x+3y=I(X+>
-)—∣(λ—y),所以需分别求出∣(x+y),—∣(χ-y)的范围,两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”,即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系,然后去求.
2.2基本不等式
1•掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4•熟练掌握基本不等式及变形的应用∙5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
基本不等式条件的创设.
知识点一基本不等式
如果。
0,方>
0,则回価冬¥
,当且仅当a=b时,等号成立.我们把
这个不等式称为基本不等式.
知识点二算术平均数与几何平均数及相关结论
在基本不等式中,回号叫做正数Gb的算术平均数,国畅叫做正数
方的儿何平均数.
基本不等式表明:
固两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数.
知识点三基本不等式与最大(小)值
当兀,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若X-^y=S(S为定值),则当且仅当回三
(简记:
和定积有最大值)
⑵若Xy=P(P为定值),则当且仅当昼I三丄时,A-+y取得最匣小值国2护.(简记:
积定和有最小值)
知识点四基本不等式的实际应用
基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题,具体步骤如下:
(1)先理解题意,设出变量,设变量时一般把里要求最大值或最小值的变量定为因变量.
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为里函数的最大值或最小值问
题.
(3)在定义域内,求出固函数的最大值或最小值.
(4)根据实际意义写出正确的答案.
1.由基本不等式变形得到的常见结论
Cr+b2
≤-2-("
,^≡R):
(2)√^≤^≤匸尹“均为正实数);
⑶夕+詩2(°
b同号);
(4)(“+b)G+£
)M4(d,b同号);
(5)<
z2÷
Z?
2÷
c2≥ab÷
be÷
ca(a,b9c∈R).
2.利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件;
(2)多次使用基本不等式,要注意等号能否成立;
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
3.利用基本不等式的解题技巧与易错点
(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧:
1加项变换;
2拆项变换;
3统一换元;
4平方后再用基本不等式.
(2)易错点
1易忘“正”,忽略了各项均为正实数;
2忽略忘记“定”,用基本不等式时,和或积为定值;
3忽略忘记“等”,用基本不等式要验证等号是否可以取到;
4忽略忘记“同”,多次使用基本不等式时,等号成立的条件应相同.
题型一对基本不等式的理解例1给出下面三个推导过程:
1
因为QO,b>
0,所以彳+箸2
③因为X,y∈R,Λ-y<
0,所以:
+三=一[(一;
)+[—日]0—2
—2.
其中正确的推导过程为()
A.①②B.②③
C∙②D.①③
[解析]从基本不等式成立的条件考虑•
①因为α>
0,b>
0,所以$0,pθ,符合基本不等式成立的条件,故①的推
导过程正确;
2因为"
∈R,“H0不符合基本不等式成立的条件,所以氐=4是错误的;
3由xy<
O得扌,三均为负数,但在推导过程中将扌+*看成一个整体提出负号yXyX
后’(一日‘(一9均变为正数’符合基本不等式成立的条件'
故③正确•
[答案]D
基本不等式字±
7硕QO,〃>
0)的两个关注点
(1)不等式成立的条件:
4,/2都是正实数.
(2)“当且仅当”的含义:
①当a=b时,乎>
√亦的等号成立,
α+bI—
即—^―=∖jab^a=b・
题型二利用基本不等式比较大小
例2已知“>
1,则弓,也,启T三个数的大小顺序是()
解析]当G方均为正数时,有比W顾W学W匸尹,
.zπ2a.r/+1
》b=1T得q+]WqIW-2-•
∖,即a≠hf故上式不能取等号,应选C.
[答案]C
4
[题型探究]对一切正数〃2,不等式∕z<
-+2∕n恒成立,求常数〃的取值范圉.
解当M>
o时,由基本不等式,得
扌+2〃&
2、y士2"
=4边,且当ιn=∙∖∣2时,等号成立,故八的取值范围为〃V4√l
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的使用条件,合理地拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将"
和式”转化为"
积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能•
题型三利用基本不等式求函数的最值例3
(1)求函数y=F^+x(x>
3)的最小值;
(2)已知Ovvg,求y=Λ(l—3x)的最大值;
-J-3Y4
(3)已知A>
-l,求■的最小值.
解]
(1)Ty=3)+3,
又a>
3,Λx-3>
0,±
Λy>
2Λι∕-^y∙(Λ-3)+3=5.
当且仅当—3,即x=4时,y有最小值5.
(2)*.*0<
x<
∣,.,.1—3λ>
0,
y=x(l-3x)=∣∙3x∙(l-3x)
・•.当X=*时,函数取得最大值∙⅛.
(3)∙.∙χ>
-1,∙°
∙x+1>
x2+3x+4
y=-
(x÷
1)2+(x÷
1)÷
2
x+1
≥2√2+l,
当且仅当x+1=U时,
BPx=√2-1时,函数y的最小值为2√2+l.
利用基本不等式求函数的最值
(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的"
拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
(2)等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法.
题型四利用基本不等式证明不等式
例4已知Gb9。
是不全相等的三个正数,
同理汁铮2,f÷
2,
・・・(需)+(疋)+G+!
6.
∙∙∙sb.Q不全相等,上述三式不能同时取等号,
利用基本不等式证明不等式
(1)利用基本不等式证明不等式时,可依据求证式两端的式子结构,合理选择基本不等式及其变形不等式来证,如a2+b2^2ab(a,b∈R),可变形为(IbW―—;
-^~^∖∣ab(a>
Otb>
0)可变形为I2等.同时要从整体上把握基本不等式,⅛jλ4÷
^4≥2λ⅛2,(TbI÷
b2c22(ab)(bc),都是对rtα2÷
b2≥2αZ?
“,b∈R"
的灵活应用.
(2)在证明条件不等式时,要注意“1”的代换,另外要特别注意等号成立的条件•
题型五利用基本不等式求代数式的最值
19
例5⑴已知x>
0,v>
O且τ÷
-=b求x+y的最小值;
Xy
(2)已知正实数λ,y满足2x+y+6=xy,求Xy的最小值;
(3)已知实数a,y满足Λ2÷
y2÷
x)^=1,求x+y的最大值.
[解](I)G>
o,>
o,-+-=1,
λy
∙∙∙χ+y=G+氷+y)=f+竽+ιoM6+ιo=i6,当且仅当静,又埒=1,即x=4,y=∖2时,上式取等号.
故"
1x=4,y=12时,(x+y)min=16.
(2)T2x÷
y÷
6=x}½
.2x+6X(ZV÷
6)2(√+3x)2[x2-1+3CV-I)+4]
Γ"
9X>
1,XV=7-
X—1X-12(x÷
l⅛÷
3>
2(x-w
当且仅当x=3时,等号成立•
(3)因为l=∕+y2+Ay=α+y)2一QN(I∙+y)2-(字)2,所以(A-+y)2≤⅛
即x+)W当且仅当x=y>
O且x2+y2+xy=1,
即X=)=習时,等号成立,x+y的最大值为羊.
[结论探究]若本例
(1)中的条件不变,如何求Q的最小值.19」+9尤〉2~\/7^_6畅_6
兀十)厂ΛX"
Xy_巧-√Λy,
又因为7÷
~=L所以-‰≤1»
y∣xy^6,λ>
-≥36,A>
∖∣xy
当且仅当y=9x,即x=2,y=18时,等号成立.
所以C∖y)min=36.
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值,要通过恒等变形以及配凑,使'
和”或"
积”为定值,从而求得代数式的最大值或最小值.
(2)若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;
若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.
题型六利用基本不等式解决实际问题
例6某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,Λ
1QA
产品的利润N与投资金额X的函数关系为N=I8一十=,B产品的利润力与投
X
资金额X的函数关系为W=M注:
利润与投资金额单位:
万元)•
(1)该公司已有IOO万元资金,并全部投入儿B两种产品中,其中兀万元资金投入A产品,试把久B两种产品利润总和表示为X的函数,并写出X的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,试问:
怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?
其最大利润为多少万元?
[解]
(1)其中X万元资金投入A产品,则剩余的(IOO-X)万元资金投入B产口
口口9
利润总和y=18—咼+12F=38-?
一咼(Xe[0,100]).
x+10180
(2)Vy=40-^—x∈[0,100],
时,等号成立•
答:
分别用20万元和80万元资金投资久B两种金融产品,可以使公司获
得最大利润,最大利润为28万元•金版点睛
利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点
(1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,从而指明函数的定义域;
(2)—般利用基本不等式求解最值问题时,通常要指出取得最值时的条件,即“等号”成立的条件;
(3)在求函数最值时,除应用基本不等式外,有时会出现基本不等式取不到等号,此时要利用其他方法求解.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
1•理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念2理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系・3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法∙4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式,并通过解一元二次不等式解决实际问题.
1•一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系2一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题.
1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系2从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
I核心概念掌瘪
知识点一一元二次不等式的概念
一般地,我们把只含有回_一个未知数,并且未知数的圆最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如λx2÷
Zjλ-+c>
O(≥O)或ax2+bx+c<
O(Wo)(其中Gb,C均为常数,t∕≠0)的不等式都是一元二次不等式.
知识点二二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=t∕Λβ2÷
∕jχ+c,我们把使αx2+bx+c=0的实数X叫做二次函数y=ax1+bx+c的回_零点.
知识点三一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的昼集負叫做这个一元二
次不等式的回解集.
∆=b2—4αc
Δ>
Δ=0
Δ<
y=aj^
+Λjt÷
c
(α>
0)的图象
\
y
P
Xi^^X2~X
aa~-∖~bjc
+c=0
0)的根
有两个不相等的实数根叼,工2(©
VH2)
有两个相等的实数根Qb
没有实数根
α^∙2~∖~bx
+c>
(QO)的解集
E]{x∣Λ,<
Λ,l,或文>
勺}
OO'
ElR
■
b
2a
aj:
2+bjc
+cVO
H{χ∣XiVX
O2}
固0
圆0
知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的回字母表示题中的回未知数:
(2)山题中给出的不等关系,列出画关于未知数的不等式(组);
(3)回求解所列出的不等式(组);
(4)结合题U的回实际意义确定答案.
1.解一元二次不等式的方法与步骤
(1)解一元二次不等式的常用方法
1图象法:
由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:
(i)化不等式为标准形式:
axλ+bx+c>
O(α>
O)或Cix2+bx+CVO(α>
O);
(ii)求方程αW+bχ+c=θ(α>
o)的根,并画出对应函数)=αχ2+bx+c的图象简图;
(iii)由图象得出不等式的解集.
2代数法:
将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解.
当加Vn时,若(X—7M)(X—"
)>
0,则可得x>
n或x<
m;
若(χ-∕n)(χ-n)<
0,则可得m<
n.
有口诀如下:
大于取两边,小于取中间.
(2)含有参数的一元二次型的不等式
在解含有参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:
1关于不等式类型的讨论:
二次项系数α>
0,X0,心0.
2关于不等式对应的方程根的讨论:
两根(J>
0),一根(J=O),无根(J<
0).
3关于不等式对应的方程根的大小的讨论:
X1>
X2,Xl=V2,ΛKV2.
2.利用不等式解决实际问题需注意以下四点
(1)阅读理解材料:
应用题所用语言多为文字语言,而且不少应用题文字叙述篇幅较长.阅读理解材料要达到的Ll的是将实际问题抽象成数学模型,这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向.
(2)建立数学模型:
根据
(1)中的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,并且,建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.
(3)讨论不等关系:
根据
(2)中建立起来的数学模型和题Ll要求,讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:
根据(3)中得到的理论参数的值,结合题Ll要求作出问题的结论.
题型一不含参数的一元二次不等式的解法
例1求下列不等式的解集:
(1)2x2+7x+3>
(2)-x2÷
8λ-3>
0:
CO81
(3)x2-4x-5≤0;
(4)-4√+18χ-y>
0;
(5)—+3χ-5>
(6)—2x2+3λ-2<
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)根据图象写出不等式的解集.
题型二含参数的一元二次不等式的解法
例2解关于X的不等式(α∈R):
(1)2x2÷
6∕x÷
2>
(2)ax1—(d+1)x+1<
I解I
(1)∕="
2-16,下面分悄况讨论:
1当J<
0,即一4VX4时,方程2*+俶+2=0无实根,所以原不等式的解集为R
2当zlNO,即4或aW-4时,方程2xλ+ax+2=0的两个根为
Xi=*_α_寸B-]6),λ-2=*—α+PaI-16).
当。
=一4时,原不等式的解集为{xlχWR,且x≠l):
当“>
4或X—4时,原不等式的解集为{XlXV#(—“一—16)或•£
(_(/+y∣a2~∖6);
当α=4时,原不等式的解集为{xlx∈R,且A≠-l).
(2)若α=0,原不等式为一x+lvθ,解得x>
l;
若i∕<
0,原不等式可化为(X-*)(λ∙—1)>
0,解得XV+
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