分式知识点及典型例题Word文档下载推荐.docx
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分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
AA?
C,AAC,其中A、B、C是整式,C0。
BB?
CBBC拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
AAAA
BBBB
注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
知识点四:
分式的约分
定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
知识点五:
分式的通分
1分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
2分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:
分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
a?
ca?
bdb?
分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为
acada?
d
bdbcb?
2分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子
anan
bbn
3分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
abab
ccc
异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
acadbc
bdbd
整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
4分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要
随便跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点六整数指数幂
①引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的
法则对对负整数指数幂一样适用。
即
mnmn
★aaa
mmn
★aa
★abnanbn
★amanamn(a0)
★aan★an1(a0)
★n★ann(a0)
bbnan
★a01(a0)(任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m,n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0<
x<
1的数,则可以表示为a10n(1a10,即a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。
如0.000000125=1.2510-7
7个0
若一个数x是x>
10的数则可以表示为a10n(1a10,即a的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。
如120000000=1.2108
9个数字
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;
如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;
②代入最简公分母后值为0。
知识点八列分式方程
基本步骤
①审—仔细审题,找出等量关系。
②设—合理设未知数。
3列—根据等量关系列出方程(组)
④解—解出方程(组)。
注意检验
5答—答题。
二、典型例题
一)、分式定义及有关题型题型一:
考查分式的定义
例1】下列代数式中:
x,12xy,ab,xy
ab
xy
,是分式的有:
题型二:
考查分式有意义的条件
例2】当x有何值时,下列分式有意义
题型三:
考查分式的值为0的条件
例3】当x取何值时,下列分式的值为0.
题型四:
考查分式的值为正、负的条件
【例4】
(1)当x为何值时,分式4为正;
8x
(2)当x为何值时,分式5x2为负;
3(x1)2
3)当x为何值时,分式x2为非负数.
x3
练习:
1.当x取何值时,下列分式有意义:
2.当x为何值时,下列分式的值为零:
3.解下列不等式
(1)|xx|120
(2)x2x2x530
2)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:
AAMAM
BBMBM
aaaabbbb
题型一:
化分数系数、小数系数为整数系数
例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数
12
23
11
34
分数的系数变号
例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
1)xxyy
(2)aab
(3)
化简求值题
【例3】已知:
115,求2x3xy2y的值.
xyx2xyy
提示:
整体代入,①xy3xy,②转化出11
例4】已知:
x1x2,求x2x12的值.
例5】若|xy1|(2x3)2
0,求4x12y的值.
1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数
2.已知:
x13,求4x2的值.
xx4x21
3.已知:
113,求2a3ab2b的值.abbaba
4.若a22ab26b10
0,求32aa5bb的值.
5.如果1
x2,试化简|x2x2|
x1|x||x1|x
、(三)分式的运算
1.确定最简公分母的方法:
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2.确定最大公因式的方法:
①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
通分
【例1】将下列各式分别通分.
(1)c,b,a;
(2)a,b;
()2ab,3a2c,5b2c;
()ab2b2a;
约分
2
22
【例2】约分:
(1)16x3y;
(2)nm;
(3)x2x2
20xy
mn
xx6
分式的混合运算
【例3】计算:
(1)(acb)3(cab)2(bac)4;
caba
2)
3a
(
x
3(x2
y2)
yx2
()2;
yx
m2nn2m
nmmnnm
5)
1x1x
2x
4x3
8x7
1x4
x8
6)
(x1)(x1)
(x1)(x3)
(x3)(x5)
【例4】先化简后求值
(1)已知:
x1,求分子128[(x41)(11)]的值;
x44x2x
2)已知:
,求xy2yz3xz
22xy
2的值;
z
3)已知:
a23a10,试求(a2a12)(aa1)的值.
题型五:
求待定字母的值
例5】若
13x
x21
M
x1
xN1,试求M,N的值.
1.计算
1)
2a5
2(a1)
a1
2a3
b22ab
ba
3)
abca2b3cb2cabcbcacab
2b2ab;
4ab
5)(aba4abb)(ab
ab);
12;
x1x2;
7)
(x2)(x3)
21
(x1)(x3)(x1)(x2)
2.先化简后求值
a1a4
a2a22a1
a211,其中a满足a2
a0.
x2y2
2)已知x:
y2:
3,求(xy)[(x
y)(
y)3]
的值.
5x4
(x1)(2x1)
2xB1,试求A、B的值
4.当a为何整数时,代数式
399a805
a2
的值是整数,并求出这个整数值
(四)、整数指数幂与科学记数法
运用整数指数幂计算
【例1】计算:
(1)(a2)3(bc1)3
(3x3y2z
(5xy
2z3)
35
3)[((aabb))23((aabb))54]2
4)[(xy)3(x
y)2]2(x
y)
例2】已知xx1
5,求
(1)x2
x2的值;
(2)求x4
x4的值.
科学记数法的计算
例3】计算:
3223223
(1)(3103)(8.2102)2;
(2)(4103)2(2102)3.
1.计算:
(1)(1315)(51)2|13|(13)0
(0.25)2007
42008
132223
2)(3mn)(mn)
2222(2ab2)2(a2b)2
3232(3ab)(ab)
222
4)[4(xy)2(xy)2]2[2(xy)1(xy)]2
2.已知x2
5x10,求
(1)xx1,
(2)x2
x2的值.
第二讲分式方程
(一)分式方程题型分析
用常规方法解分式方程
例1】解下列分式方程
提示易出错点:
①分子不添括号②漏乘整数项;
③约去相同因式至使漏根;
④忘记验根题型二:
特殊方法解分式方程
例2】解下列方程
(1)换元法,设xy;
(2)裂项法,
例3】解下列方程组
111
xy2
(1)
z3
zx4
(2)
例4】若关于x的分式方程x231xm3有增根,求m的值.
解含有字母系数的方程
【例6】解关于x的方程xac(cd0)bxd
(1)a,b,c,d是已知数;
(2)cd0.
列分式方程解应用题
1.解下列方程:
12x
0;
x2
3
x2x
xx
2x4
2x51
3x22
x5x2
x4
x9
x7
x6
2.解关于x的方程:
2b(b2a);
a1b
ax1bbx(ab).
3.如果解关于x的方程xk22
会产生增根,
求k的值.
4.当k为何值时,关于x的方程xx32
(x1)k(x2)1的解为非负数.
5.已知关于x的分式方程2xa11a无解,试求a的值.
(二)分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法
例1.解方程:
13
xx2
、化归法
三、左边通分法
例3:
解方程:
x818
x77x
四、分子对等法
1a1b
例4.解方程:
(ab)
axbx
五、观察比较法
例5.解方程:
4x
5x2
17
5x2
4
六、分离常数法
例6.解方程:
七、分组通分法
例7.解方程:
1111
x2x5x3x4
三)分式方程求待定字母值的方法
若分式方程xx12
无解,
求m的值
若关于x的方程
k2
xx1不会产生增根,求k的值
例3.若关于x分式方程x12xk2
23有增根,求k的值x4
xk211有增根x1,求k的值
分式的个数有()
例4.若关于x的方程11k25
xxxx
三、课后练习
一、分式
1、分式概念
1111
1.各式中,x+y,,,—4xy
32xy5a
2.在,
x3,5
x,a
b,
2中,是分式的有a
)
A、1个
B、
2个
C、3个
D、4
个
3、下列各式:
ab,
,5
y32a,x1,4a
(xm
y)中,是分式的共有(
A、1个B、2个C、3个D、4个
B、2个
D、4个
2、分式有意义
1)当x≠___时,分式2x有意义;
2)当x时,分式x1有意义;
2x1
3)分式中,当x时,分式没有意义,当x时,分式的值为零;
4)当x时,分式24有意义。
5)当x时,分式无意义;
3x8
6)当x时,分式无意义.
7)当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是()
A.
B.
C.x
D.1
D.x1
(8)
.能使分式
2xxx21
的值为零的所有x的值是
x0
Bx
Cx0或x
Dx
0或x1
(9)
已知当x
2时,
xb无意义,xa
4时,
此分式的值为
0,则ab的值等于(
A.-
6
B.-
C.
D.
4、分式的基本性质
1.如果把2x2y3y中的x和y都扩大5倍,那么分式的值()
A扩大5倍B不变
C缩小5倍D扩大4倍
2倍,则下列分式的值保持不变的是(
A、
3x
2y
2y2
3x2
C、
D、
3x3
3.填空:
xy
aaby
6x(yz)
3(yz)2yz
5xy
10axy(a0)
a21a24
y
2x=
x3x23x
0.5x0.2
4.不改变分式的值,使分式的分子分母各项系数都化为整数,结果是
0.3y1
5、下列各式中,正确的是()
5、约分
1、把下列各式分解因式(12分)
1)ab+b
(2)2a2-2ab
x26x9
2)2x28x8=
化简
的结果是
m
C、m
m3
2m3m9m2
3m
4、
6、
1.
2、
8、
2.
3、
9、
1.
最简公分母
在解分式方程:
x11
2+2=2的过程中,去分母时,需方程两边都乘以最简公分母是
x4x2x
分式1,12,1的最简公分母为
2x2y25xy
122
化简1222的结果是
m29m3
计算11的正确结果是x11x
11分)先化简,再求值:
,其中x=2.
2.(本题6分)先化简,再求值:
x2x1x1
3、(8分)先化简,再求值:
,其中:
x=-2。
10、负指数幂与科学记数法
1.直接写出计算结果:
(1)(-3)-2
(3)(3)3;
(4)(13)0
2、用科学记数法表示0.000501=.
3、一种细菌半径是1.21×
10-5米,用小数表示为米。
11、分式方程
2.解方程:
13、分式方程应用题
19、(8分)甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同,已知甲、
乙两人每小时共打5400个字,问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字?
20、(10分)一名同学计划步行30千米参观博物馆,因情况变化改骑自行车,且骑车的速度是步行速度的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求这位同学骑自行车的速度。
22.列方程解应用题(本题7分)
从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B乘车从甲地出发,
结果同时到达。
已知B乘车速度是A骑车速度的3倍,求两车的速度。
7、赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读
21页才能在借期内读完
.他读了前一半时,平均每天读多少页
如果设读前一半时,平均每天读x页,则下
列方程中,正确的是()
140
14
x21
10
280280
B、14
xx21
140140
D、14
x1x12
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- 分式 知识点 典型 例题