完整版全称量词和特称量词Word文档格式.docx
- 文档编号:18528670
- 上传时间:2022-12-19
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:23.02KB
完整版全称量词和特称量词Word文档格式.docx
《完整版全称量词和特称量词Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版全称量词和特称量词Word文档格式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.
(2)任意x∈R,总有x2≥0,所以x2+1≥1.
所以,全称命题“任意x∈R,x2+1≥1”是真命题.
(3)2是无理数,但
(2)2=2是有理数.
所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
反思与感悟判断全称命题的真假,要看命题可否对给定会集中的所有元素成立.
追踪训练1试判断以下全称命题的真假:
(1)任意x∈R,x2+2>
0;
(2)任意x∈N,x4≥1.
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
解
(1)由于任意x∈R,都有x2≥0,所以有x2+2≥2>
0,即x2+2>
0,所以命题“任意x∈R,
x2+2>
0”是真命题.
(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“任意x∈N,x4≥1”是假命题.
(3)由于任意α∈R,sin2α+cos2α=1成立.所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”
是真命题.
研究点二存在量词与特称命题
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3;
(4)最少有一个x0∈Z,使x0能被2和3整除.
答
(1)
(2)不是命题,的取值进行限制;
语句
(3)(4)是命题.语句(3)在
(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量
(4)在
(2)的基础上,用“最少有一个”对变量x的取值进行限制,从
x
而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句,所以语句
(3)(4)是命题.
小结
“有些”“最少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,
这样的
词叫作存在量词.像这样含有存在量词的命题,叫作特称命题.
思虑2怎样判断一个特称命题的真假?
答要判断一个特称命题是真命题,只要在限制会集M中,最少能找到一个
x=x0,使p(x0)
成马上可,否则,这一特称命题是假命题.
例2判断以下特称命题的真假:
2
(1)有一个实数x0,使x0+2x0+3=0;
(2)存在两个订交平面垂直于同一条直线;
(3)有些整数只有两个正因数.
解
(1)由于任意x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以使x2+2x+3=0的实数x不存在.所
以,特称命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题.
000
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,所以不存在两个订交的平面垂直于同
一条直线.所以,特称命题“存在两个订交平面垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真
命题.
反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题,判断一个特称命题为真,只要在指定会集中
找到一个元素满足命题结论即可.
追踪训练2判断以下命题的真假:
(1)存在x0∈Z,x30<
1;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)有一个实数α,tanα没心义;
π
(4)存在x0∈R,cosx0=2.
解
(1)∵-1∈Z,且(-1)3=-1<
1,
∴“存在x∈Z,x3<
1”是真命题.
00
(2)真命题,如梯形.
(3)真命题,当α=2时,tanα没心义.
(4)∵当x∈R时,cosx∈[-1,1],
而2>
1,∴不存在x0∈R,
使cosx0=2,
∴原命题是假命题.
研究点三
全称命题、特称命题的应用
思虑
不等式有解和不等式恒成立有何差异?
不等式有解是存在一个元素,使不等式成立,相当于一个特称命题;
不等式恒成立则是
给定会集中的所有元素都能使不等式成立,相当于一个全称命题.
例3
(1)已知关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求实数
a的取值范围;
(2)令p(x):
ax2+2x+1>
0,若对任意x∈R,p(x)是真命题,求实数
a的取值范围.
解
(1)关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,
77
解得a≥4,∴实数a的取值范围为4,+∞.
(2)∵对任意x∈R,p(x)是真命题.∴对任意x∈R,ax2+2x+1>
0恒成立,当a=0时,不等式为2x+1>
0不恒成立,
a>
0,
当a≠0时,若不等式恒成立,则
=4-4a<
∴a>
1.
反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用,注意二者的差异.
追踪训练3
(1)关于任意实数x,不等式sinx+cosx>
m恒成立,求实数m的取值范围;
(2)存在实数x,不等式sinx+cosx>
m有解,求实数m的取值范围.解
(1)令y=sinx+cosx,x∈R,
∵y=sinx+cosx=2sinx+4≥-2,
又∵任意x∈R,sinx+cosx>
m恒成立,
∴只要m<
-2即可.
∴所求m的取值范围是(-∞,-2).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R,
∵y=sinx+cosx=2sinx+4∈[-2,2].
又∵存在x∈R,sinx+cosx>
m有解,
2即可,
∴所求m的取值范围是(-∞,2).
1.以下命题中特称命题的个数是
(
)
①有些自然数是偶数;
②正方形是菱形;
③能被6整除的数也能被3整除;
④关于任意x∈R,
总有|sinx|≤1.
A.0B.1C.2D.3
答案
B
剖析
命题①含有存在量词;
命题②可以表达为“所有的正方形都是菱形”,故为全称命题;
命题③可以表达为“所有能被6整除的数都能被3整除”,是全称命题;
而命题④是全称命
题.故有一个特称命题.
2.以下命题中,不是全称命题的是
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.必然存在没有最大值的二次函数
D
D选项是特称命题.
3.以下命题中的假命题是(
A.存在x∈R,lgx=0
B.存在x∈R,tanx=1
C.任意x∈R,x3>
D.任意x∈R,2x>
C
关于A,当x=1时,lgx=0,正确;
关于B,当x=π
C,
4时,tanx=1,正确;
关于
当x<0时,x3<0,错误;
关于D,任意x∈R,2x>0,正确.
4.用量词符号“任意”“存在”表述以下命题:
(1)凸n边形的外角和等于2π.
(2)有一个有理数x
满足x=3.
解
(1)任意x∈{x|x是凸n边形},x的外角和是2π.
(2)存在x0∈Q,x0=3.
(3)任意α∈R,sin2α+cos2α=1.
[呈重点、现规律]
1.判断命题是全称命题还是特称命题,主若是看命题中可否含有全称量词和存在量词,有
些全称命题诚然不含全称量词,可以依照命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;
若能举出一个反例
说明命题不成立,则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明该命题成马上可;
若经过逻辑推理得
到命题对所有的元素都不成立,则该特称命题是假命题.
一、基础过关
1.以下命题:
①中国公民都有受教育的权益;
②每一其中学生都要接受爱国主义教育;
③有人既能写小说,也能搞发明创立;
④任何一个数除0,都等于0.
其中全称命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
答案C
剖析命题①②④都是全称命题.
2.以下特称命题是假命题的是()
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
关于任意的
1
3
>
0恒成立.
x∈R,x2+x+1=(x+)
2+
4
3.给出四个命题:
①末位数是偶数的整数能被
2整除;
②有的菱形是正方形;
③存在实数
x,x>
④关于任意实数x,2x+1是奇数.以下说法正确的选项是()
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称命题
C.②③是特称命题
D.四个命题中有两个假命题
剖析①④为全称命题;
②③为特称命题;
①②③为真命题;
④为假命题.
4.以下全称命题中真命题的个数为()
①负数没有对数;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④任意x∈R,y∈R,都有x2+|y|>
0.
剖析①②③为真命题.
5.以下全称命题为真命题的是()
A.所有的素数是奇数
B.任意x∈R,x2+3≥3
C.任意x∈R,2x-1=0
D.所有的平行向量都相等
答案B
6.以下命题中,真命题是________.
①存在x0∈0,2,sinx0+cosx0≥2;
②任意x∈(3,+∞),x2>
2x+1;
③存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数;
④任意x∈2,π,tanx>
sinx.
答案②③
关于①,
2,
任意x∈0,2,sinx+cosx=
2sinx+4
≤
∴此命题为假命题;
关于②,当x∈(3,+∞)时,x2-2x-1=(x-1)2-2>
∴此命题为真命题;
关于③,当m=0时,f(x)=x2为偶函数,
关于④,当x∈2,π时,tanx<
0<
sinx,
∴此命题为假命题.
7.判断以下命题可否为全称命题或特称命题,并判断其真假.
(1)存在一条直线,其斜率不存在;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在实数x0,使得2=2.
x0-x0+1
解
(1)是特称命题,是真命题.
(2)是全称命题,是假命题.
(3)是特称命题,是假命题.
二、能力提升
8.对任意
x>
3,x>
a恒成立,则实数
a的取值范围是
________.
(-∞,
3]
对任意
a恒成立,即大于
3的数恒大于
a,∴a≤3.
9.给出以下四个命题:
①a⊥b?
a·
b=0;
②矩形都不是梯形;
③存在x,y∈R,x2+y2≤1;
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.
其中全称命题是________.
答案①②④
剖析①②省略了量词“所有的”,④含有量词“任意”.
10.四个命题:
①任意
x∈R,x2-3x+2>
恒成立;
②存在
x∈Q,x2=2;
③存在
x∈R,
x2+1=0;
④任意x∈R,4x2>
2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.
答案0
剖析x2-3x+2>
0,=(-3)2-4×
2>
∵当x>
2或x<
1时,x2-3x+2>
0才成立,
∴①为假命题.
当且仅当x=±
2时,x2=2,
∴不存在x∈Q,使得x2=2,
∴②为假命题,
对任意x∈R,x2+1≠0,
∴③为假命题,
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
11.判断以下命题的真假:
(1)对任意x∈R,|x|>
0;
(2)对任意a∈R,函数y=logax是单调函数;
(3)对任意x∈R,x2>
-1;
(4)存在a∈{向量},使a·
b=0.
解
(1)由于0∈R,当x=0时,|x|>
0不成立,所以命题“对任意x∈R,|x|>
0”是假命题.
(2)由于1∈R,当a=1时,y=logax没心义,所以命题“对任意a∈R,函数y=logax是单调函数”是假命题.
(3)由于对任意x∈R,都有x2≥0,所以有x2>
-1.
所以命题“对任意x∈R,x2>
-1”是真命题.
(4)由于0∈{向量},当a=0时,能使a·
b=0,所以命题“存在a∈{向量},使a·
b=0”是
真命题.
12.已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)可否存在实数m,使不等式m+f(x)>
0关于任意x∈R恒成立?
并说明原由;
(2)若存在实数x,使不等式m-f(x)>
0成立,求实数m的取值范围.
解
(1)不等式m+f(x)>
0可化为m>
-f(x),即m>
-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>
-(x-
1)2-4关于任意
x∈R
恒成立,只要
m>
-4即可.故存在实数
m使不等式
m+f(x)>
关于任
意x∈R
恒成立,此时
-4.
(2)不等式m-f(x)>
f(x).
若存在实数x使不等式m>
f(x)成立,
只要m>
f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,
所以f(x)min=4,所以m>
4.
故所求实数m的取值范围是(4,+∞).
三、研究与拓展
13.若任意x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图像和x轴恒有公共点,求实数
a的取值范
围.
解①当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒订交,所以
a∈R;
②当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是
=1
+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.
又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是=(4a)2-16≤0,
解得-1≤a≤1.
综上所述,当m=0时,a∈R;
当m≠0时,a∈[-1,1].
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 全称 量词