精品高等数学第8章空间解析几何与向量代数.docx
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精品高等数学第8章空间解析几何与向量代数
章节
第八章空间解析几何与向量代数
§1向量及其线性运算
课时
4
教
学
目
的
在平面解析几何中,通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来,把平面上的图形和方程对应起来,从而可以用代数方法来研究几何问题,空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。
建立空间直角坐标系及空间点的坐标,掌握空间两点间的距离公式.掌握向量的概念、向量的加减法及向量与数的乘法。
掌握向量的坐标表示法,会求向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
教学
重点
及
突出
方法
空间直角坐标系的概念及空间两点间的距离公式,向量的加减法及向量与数的乘法.通过力学中的力的加减法引入向量的加减法的概念及运算法则。
向量的模、单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影的概念及计算。
教学
难点
及
突破
方法
空间两点间的距离公式,向量的加减法及向量与数的乘法,两个向量平行的充分必要条件。
在建立空间直角坐标系后,我们就可以建立三维空间的最基本的几何元素――点与有序数组之间的联系,从而可以用代数方法来研究几何问题。
对于向量的运算(加、减、数乘、模,方向余弦及将要学习的内积,向量积)就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。
向量在坐标轴上的投影及性质.
相关
参考
资料
《高等数学(第二册)》(物理类),文丽,吴良大编,北京大学出版社P1-P9
《大学数学概念、方法与技巧》(微积分部分),刘坤林,谭泽光编,清华大学出版社,P400-P402
教
教学思路、主要环节、主要内容
学过程
空间直角坐标系
空间点的直角坐标
为了沟通空间图形与数的研究,我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。
过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。
这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。
这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z)。
注意:
坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.
空间两点间的距离
设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点,为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式:
。
向量及其加减法及向量与数的乘法
一、向量的基本概念
向量(或称矢量),自由向量,向量相等,向量的模,反向量,平行向量,单位向量,零向量。
二、向量的加减法
1。
向量的加法
(1)向量加法的平行四边形法则;
(2)向量加法的三角形法则;
(3)向量加法的多边形法则(又称折线法)。
2。
向量的减法
(1)负向量
(2) 作向量与的差.
3.向量加法的性质(运算律)
①交换律②结合律
注意:
的模一般地不等于的模加的模,而有,即三角形两边之和大于等于第三边。
向量与数的乘法
1、向量的定义:
向量与数m的乘积是一个向量,它的模等于,方向与相同(若m>0)或与相反(若m<0)。
2、向量与数量乘法的性质(运算律)
①结合律②分配律
3、定理:
设向量,则向量平行于得充分必要条件是:
存在唯一实数λ,使=λ。
在实际问题中,有些向量与其起点有关,有些向量与其起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量(以后简称向量),即只考虑向量的大小和方向,而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时(例如,谈到某一质点的运动速度时,这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量),可在一般原则下作特别处理。
教
教学思路、主要环节、主要内容
学过程
向量的坐标
一、向量在轴上的投影
1.介绍轴上有向线段的值及两向量的夹角的概念
2.点在轴上的投影定义:
已知一点A及一轴u,过A作垂直于u的平面α,该平面与轴u的交点A/称为点A在轴u上的射影。
3。
投影向量的定义:
向量的始点A与终点B在轴u上的投影为点A/,B/,则就定义为矢量在轴u上的投影向量。
4.向量在轴上的投影:
向量在轴u的长度,称为向量在轴u上的投影,记为投影Prju。
5.向量在轴上的投影性质:
性质1(投影定理):
Prj=,其中为轴u与向量的夹角。
推论:
相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2:
Prj()=Prj+Prj。
性质2可推广到有限个向量的情形.
性质3:
Prjuλ=λPrju。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
分向量的定义:
向量在坐标轴上的投影向量称为向量在坐标轴上的分向量。
向量的坐标:
向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标,记为:
={}
由向量在轴上的投影定义,在直角坐标系Oxyz中的坐标{}就是,由此可知,向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标,可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下:
={},
利用向量加法的交换律与结合律,以及向量与数乘法的结合律与分配律,有
;
由此可见,对向量进行加、减及与数相乘,只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
向量的模与方向余弦的坐标表示式
向量的模:
方向余弦:
,,
且方向余弦的平房和等于1。
与非零向量同方向的单位向量为:
对向量进行加、减及与数相乘,只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
章节
第八章空间解析几何与向量代数
§2数量积、向量积混合积
课时
2
教
学
目
的
掌握向量的数量积向量积的概念,熟练掌握数量积、向量积的运算及性质
教学
重点
及
突出
方法
向量数量积、向量积的运算及性质
教学
难点
及
突破
方法
数量积、向量积的定义及计算.向量与数量是两个不同的概念。
向量的运算是既有大小(模)又有方向的运算,这是与数的运算(只有大小)不相同的。
学习中,我们要注意数量积、向量积、混合积的定义,不要将数的一些运算规律随意用到向量中.但对几何向量,我们没有定义除法运算。
同样,对向量的运算,式子无意义。
数的乘法只有一种,其结果还是数,而向量的乘法有多种,例如,数量积、混合积的结果是数,向量积的结果是向量。
相关
参考
资料
《高等数学(第二册)》(物理类),文丽,吴良大编,北京大学出版社P19-P29
《大学数学概念、方法与技巧》(微积分部分),刘坤林,谭泽光编,清华大学出版社,P402-P417
教学过程
教学思路、主要环节、主要内容
8.2数量积向量积
一、向量的数量积:
两个向量和的数量积(点积,内积)为一个数,记作:
,其中为向量与向量之间的夹角并且。
特别是,因此我们可以把简记为2。
如果向量={},则。
由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角,
由
所以
两个向量垂直的充分必要条件是0。
数量积满足交换率,分配律及结合率
二。
向量的向量积
两个向量与的向量积(叉积,外积)是一个向量,
它的模为,它的方向是垂直于和,并且构成右手系,
记作。
=正好是以和为两边的平行四边形的面积。
如果向量={},则=
两向量平行的充分必要条件为=,即=即
也就是说两向量共线,其对应坐标成比例。
向量积满足=—及分配律,结合率。
解题时注意运用数量积与向量积的特点及几何意义,在讨论夹角与垂直问题时用数量积来解决;在求向量,特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利用向量求面积、体积,可以以向量为工具进行证明并补充一些习题。
章节
第八章空间解析几何与向量代数
§3曲面及其方程
课时
4
教
学
目
的
了解曲面及其方程的概念,了解旋转曲面,柱面的有关概念,
了解用截痕法分析二次曲面的形状,讨论几个特殊的二次曲面。
教学
重点
及
突出
方法
旋转曲面,柱面的方程,
椭球面、抛物面、双曲抛物面、双曲面的方程及图形。
教学
难点
及
突破
方法
能根据点的轨迹(较简单情形)建立曲面的方程,会求旋转曲面,柱面的方程.形如f(x,y)=0的方程,在空间解析几何中它的图形是柱面;在平面解析几何中,它的图形是平面曲线.例如x2+y2=0,在空间表示两个平面x=0,y=0的交线,即z轴;但在平面解析几何中,x2+y2=0仅表示原点。
相关
参考
资料
《高等数学(第二册)》(物理类),文丽,吴良大编,北京大学出版社P78—P80
《大学数学概念、方法与技巧》(微积分部分),刘坤林,谭泽光编,清华大学出版社,P427-P431
教学过程
教学思路、主要环节、主要内容
8.3曲面及其方程
一、曲面方程的概念及一般方程
如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)=0
(1)
有下述关系:
1.曲面S上任一点的坐标都满足方程
(1);
2.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程
(1),
那末,方程
(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程
(1)的图形。
二、两类常见的曲面
1、柱面
设有动直线L沿一给定的曲线C移动,移动时始终与给定的直线M平行,这样由动直线L所形成的曲面称为柱面,动直线L称为柱面的母线,定曲线C称为柱面的准线.
2、旋转面
设有一条平面曲线C,绕着同一平面内的一条直线L旋转一周,这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面,曲线C称为旋转面的母线,直线L称为旋转面的轴。
三、几种特殊的曲面方程
1.旋转曲面方程
设平面曲线C:
绕z轴旋转,则旋转曲线方程为
2.柱面方程
母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y,z)=0就表示母线平行与x轴,准线为的柱面.
3.二次曲面方程
教学过程
教学思路、主要环节、主要内容
二次曲面
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.为了了解三元方程F(x,y,z)=0所表示得的曲面的形状,我们通常采用截痕法。
即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌。
同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。
一、 椭球面
方程所表示的曲面叫做椭球面,如果使用一个平行于坐标面的平面作截面法,就是使得一个变量取常数,直接代入,就可以很容易得看到,得到的是一个椭圆方程。
二、抛物面
方程(p和q同号)所表示的曲面叫做抛物面,用垂直于Z轴的平面作截面,得到的是椭圆,用垂直于X,Y轴的平面作为截面,得到的是抛物线。
三、双曲抛物面
方程(p和q同号)所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面,用垂直于Z轴的平面作截面,得到的是双曲线,用垂直于X,Y轴的平面作为截面,得到的是抛物线.
四、 双曲面
方程所表示的曲面叫做单叶双曲面,用垂直于Z轴的平面作截面,得到的是椭圆,用垂直于X,Y轴的平面作为截面,得到的是双曲线。
方程所表示的曲面叫做双叶双曲面,用垂直于X轴的平面作截面,得到的是椭圆,用垂直于Z,Y轴的平面作为截面,得到的是双曲线.
利用截痕法分析二次曲面,并能绘制曲面所围成的立体图形。
章节
第八章空间解析几何与向量代数
§4空间曲线及其方程
课时
2
教
学
目
的
了解空间曲线及其方程的概念,了解空间曲线的一般方程方程,空间曲线的参数方程,空间曲线在坐标面上的投影等概念.
教学
重点
及
突出
方法
求交线在坐标面上的投影。
教学
难点
及
突破
方法
交线在坐标面上的投影.绘出常见曲面(球面、锥面、柱面,平面等)相交构成的曲线的图形,求交线在坐标面
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- 精品 高等数学 空间 解析几何 向量 代数