浙江专版高中数学第1章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教A版选修23.docx
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浙江专版高中数学第1章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教A版选修23
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
预习课本P32~36,思考并完成以下问题
1.杨辉三角具有哪些特点?
2.二项式系数的性质有哪些?
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C=C+C.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C=C).
(2)增减性与最大值:
当k<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;
当n是偶数时,中间一项Cn取得最大值;
当n是奇数时,中间两项Cn,Cn相等,同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和:
①C+C+C+…+C=2n,
②C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.( )
(2)二项式展开式的二项式系数和为C+C+…+C.( )
(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)×
2.已知(ax+1)n的展开式中,二项式系数和为32,则n等于( )
A.5 B.6
C.7D.8
答案:
A
3.(1+x)2n(n∈N*)的展开式中,系数最大的项是( )
A.第+1项B.第n项
C.第n+1项D.第n项与第n+1项
答案:
C
4.在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=( )
A.6B.7
C.8D.9
答案:
A
与杨辉三角有关的问题
[典例]
(1)杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是( )
A.第6行 B.第7行
C.第8行D.第9行
(2)如图,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:
1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于( )
A.144B.146
C.164D.461
[解析]
(1)由题意,第6行为1615201561,第7行为172135352171,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.
(2)由题干图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第15项是C,第16项是C.所以S(16)=C+C+C+C+…+C+C
=(C+C+…+C)+(C+C+…+C)
=(C+C+C+…+C-C)+(C+C+…+C)
=C+C-1=164.
[答案]
(1)B
(2)C
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
(1)观察:
对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律.
(2)表达:
将发现的规律用数学式子表达.
(3)结论:
由数学表达式得出结论.
[活学活用]
如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
解析:
由杨辉三角知,第一行中的数是C,C;第2行中的数是C,C,C;第3行中的数是C,C,C,C,…,第n行中的数是C,C,C,…,C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3,则C∶C=2∶3,解之得n=34.
答案:
34
求展开式的系数和
[典例] 设(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016·x2016(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2016的值.
(2)求a1+a3+a5+…+a2015的值.
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2016|的值.
[解]
(1)令x=1,得
a0+a1+a2+…+a2016=(-1)2016=1.①
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…+a2016=32016.②
①-②得
2(a1+a3+…+a2015)=1-32016,
∴a1+a3+a5+…+a2015=.
(3)∵Tr+1=C(-2x)r=(-1)r·C·(2x)r,
∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N*).
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2016|
=a0-a1+a2-a3+…+a2016=32016.
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f
(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
[活学活用]
已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:
(1)a1+a2+…+a7;
(2)a1+a3+a5+a7,a0+a2+a4+a6.
解:
(1)∵(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=-1,①
令x=0,得a0=1,
∴a1+a2+…+a7=-2.
(2)令x=-1,得
a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187,②
由①,②得
a1+a3+a5+a7=-1094,
a0+a2+a4+a6=1093.
求展开式中系数或二项式系数的最大项
[典例] 在8的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项?
[解] Tr+1=C·()8-r·r=(-1)r·C·2r·x4-.
(1)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,
故T5=C·24·x4-=1120x-6.
(2)设第r+1项系数的绝对值最大,
则即
整理得于是r=5或6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
[一题多变]
1.[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.
解:
由本例
(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.
故系数最大的项为T7=C·26·x-11=1792x-11.
系数最小的项为T6=(-1)5C·25x-=-1792x-.
2.[变条件,变设问]在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,求展开式中常数项.
解:
由题意知n=8,通项为Tk+1=(-1)k·C·8-k·x8-k,令8-k=0,得k=6,故常数项为第7项,且T7=(-1)6·2·C=7.
二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
层级一 学业水平达标
1.关于(a-b)10的说法,错误的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为1024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
解析:
选C 根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知:
二项式系数之和为2n,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的.
2.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( )
A.11 B.10
C.9D.8
解析:
选D ∵只有第5项的二项式系数最大,
∴+1=5.∴n=8.
3.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,当a0+a1+a2+…+an=254时,n等于( )
A.5B.6
C.7D.8
解析:
选C 令x=1,则a0+a1+…+an=2+22+23+…+2n,∴=254,∴n=7.
4.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为( )
A.3 B.6C.9 D.12
解析:
选B x3=[2+(x-2)]3,a2=C·2=6.
5.已知C+2C+22C+…+2nC=729,则C+C+C的值等于( )
A.64B.32
C.63D.31
解析:
选B C+2C+22C+…+2nC=(1+2)n=729.
∴n=6,∴C+C+C=32.
6.设二项式n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an,bn,则=________.
解析:
由题意知an=2n成等比数列,令x=1则bn=n也成等比数列,所以=2n+1.
答案:
2n+1
7.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________.
解析:
设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,再令x=-1,得
310=a0-a1+a2-a3+…+a10,
两式相减,可得a1+a3+…+a9=.
答案:
8.(1+)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是________.
解析:
因为8 所以n=4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T3=C()2=6x. 答案: 6x 9.若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10. (1)求a1+a2+…+a10; (2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2. 解: (1)令f(x)=(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, a0=f(0)=25=32,a0+a1+a2+…+a10=f (1)=0, 故a1+a2+…+a10=-32. (2)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-…+a10)=f (1)·f(-1)=0. 10.已知n,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数. 解: ∵C+C=2C,整理得n2-21n+98=0, ∴n=7或n=14, 当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5, T4的系数为C423=;T5的系数为C324=70;当n=14时,展开式中二项式系数最大项是T8,T8的系数为C727=3432. 层级二 应试能力达标 1.1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为( ) A.2n-1 B.2n-1 C.2n+1-1D.2n 解析: 选C 法一: 令x=1得,1+2+22+…+2n==2n+1-1. 法二: 令n=1,知各项系数和为3,排除A、B、D选项. 2.在(1+x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A,偶数项的和为B,则(1-x2)n的值为( ) A.0B.AB C.A2-B2D.A2+B2 解析: 选C (1+x)n=A+B,(1-x)n=A-B,所以(1-x2)n=A2-B2. 3.若(1-2x)2016=a0+a1x+…+a2016x2016(x∈R),则++…+
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