完整全等三角形经典题型50题含答案推荐文档doc文档格式.docx
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所以AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA,
F
∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)
∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE
C
∴EF=EG∴EF=AC
E
B
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
BD
在AC上截取AE=AB,连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB,AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)
∴∠AED=∠B,
DE=DB∵AC=AB+BD
AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠ED
C∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠
B=2∠C
6.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥
AB,∠B+∠D=180°
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,
连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB
=∠CEF=90°
因为EB=EF,CE=CE,所以△CEB≌△CEF所以∠B=∠CFE因为∠B
+∠D=180°
,∠CFE+∠CFA=180°
所以∠D=∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC
=∠FAC又因为AC=AC所以△ADC≌△AFC(SAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE
=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD
上。
求证:
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌FBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,
则:
∠A+∠D=180°
;
又∠EFB+∠EFC=180°
则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌DCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
13.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
AB//ED,AE//BD
推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF
全等于三角形
DCB,
所以:
∠C=∠F
AB
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<
BC时,E
AD点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC时,E点是射线AB,DC
的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
所以:
AE=DE而AB=CD所以:
BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以:
△BEC是等腰三
BC角形所以:
角B=角C.
15.
P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB
作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,
B'
在线段AC上(在AC中间,因为
AB较短)因为
PC<
PB’+B‘C,PC-PB’<
B‘C,而B'
C=AC-AB'
=AC-AB,
所以
PC-PB<
P
16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1=∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B
17.已知,E是AB
中点,AF=BD
,BD=5,AC=7,求DC
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°
,
又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形在三角形ABF
中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形
BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且
AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,
AD=AD∴△ADE≌△ADC
。
DE=CD
,
∠AED=∠C∵AB=AC+CD
∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB∠C=∠B+∠ED
B=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形
BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°
,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°
,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF.
23.(7分)已知:
如图,
DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△
EBC外,请再写出两个与△
AED的面积
相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明)
:
(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是
知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,所以△AED≌△EBC。
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
EOD
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
延长BA、CE,两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°
∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,
∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF∴BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
△AED≌△BFC。
DEFC
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥
CF,BE=CF。
AM是△ABC的中线。
∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
M
∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角
ADB和角CDB相等,它
们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD
∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在
△BDF与△FDC中
BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=F
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形
ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三
角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB
∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳
E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,
试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
证:
∵AB平行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵M在BC的中点(已知)∴EM=FM(中点定义)在△BME和△CMF
中BE=CF(已知)∠B=∠C(已证)EM=FM(已证)∴△BME全等与△CMF(SAS)
∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°
(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,
BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形
BDC,由等
腰△两底角相等得:
角ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADE≌△ABF
得AE=AF
AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC
是公共边,所以AAS==>
三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等
于三角形BEC所以∠5=∠6
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
5
3
E6
4
△ABC≌△DEF.
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F
(两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形
全等
35.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
因为AB=AC,
所以∠EBC=∠DCB
因
为BD⊥AC,CE⊥AB
所以∠BEC=∠CDB
BC=CB(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
DE=DF.A
AAS证△ADE≌△ADF
37.已知:
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD
的
长?
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
BC=AE
△ABC≌△DAEAD=AB=5
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C
又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC
EF
BMC
39.如图,给出五个等量关系:
①ADBC②ACBD③CEDE④DC
⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
DC
E
已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB所以△ADB全等于△BCA
所以角D=角C
以4,5为条件,1为结论。
即:
在四边形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证:
AD=BC
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B,所以2(∠A+∠D)=360°
∠A+∠D=180°
,所以AB//DC
40.在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,
BEMN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①ADC≌CEB;
②DEADBE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;
若不成立,说明理由.
(1)证明:
∵∠ACB=90°
,∴∠ACD+∠BCE=90°
,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠CEB=90°
,∠BCE+∠CBE=90°
,∴∠ACD=∠CBE.在Rt△ADC和Rt△CEB
中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°
∠ACD=∠CBEAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,DC=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE;
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BFF
(1)证明;
因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角
CAB=90度因为
AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角
BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以
三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
(2)
(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角
F(已证)所以角
G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直
BF
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
N
(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°
∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,
CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
(2)
E∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠
BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF连接BF、CE,
证明△ABF全等于△DEC(SAS),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+B
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