用OLS法得到计模型通过统计检验后Word文档下载推荐.docx
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1.5.2异方差表现与来源
异方差通常有三种表现形式,
(1)递增型,
(2)递减型,(3)条件自回归型。
递增型异方差见图5.3和5.4。
图5.5为递减型异方差。
图5.6为条件自回归型异方差。
图5.3递增型异方差情形图5.4递增型异方差
图5.5递减型异方差图5.6复杂型异方差
(1)时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。
(2)经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。
金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
无论是时间序列数据还是截面数据。
递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大,被解释变量取值的差异性增大。
1.5.3异方差的后果
下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。
对模型
yt=β0+β1xt+ut
当Var(ut)=σt2,为异方差时(σt2是一个随时间或序数变化的量),回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。
以
为例
E(
)=β1
但是回归参数估计量不再具有有效性。
仍以
为例,
Var(
)=
≠
因此异方差条件下的
失去有效性。
另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。
例如
(
))≠Var(
)
1.5.4异方差检验
1.5.4.1定性分析异方差
(1)经济变量规模差别很大时容易出现异方差。
如个人收入与支出关系,投入与产出关系。
(2)利用散点图做初步判断。
(3)利用残差图做初步判断。
1.5.4.2异方差检验
(1)White检验
White检验由H.White1980年提出(下面要解释的Goldfeld-Quandt检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序,Glejser检验通常要试拟合多个回归式)。
White检验不需要对观测值排序,也不依赖于随机误差项服从正态分布,它是通过一个辅助回归式构造χ2统计量进行异方差检验。
White检验的具体步骤如下。
以二元回归模型为例:
yt=β0+β1xt1+β2xt2+ut(5.9)
①首先对上式进行OLS回归,求残差
。
②做如下辅助回归式,
=α0+α1xt1+α2xt2+α3xt12+α4xt22+α5xt1xt2+vt(5.10)
即用
对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。
注意,上式中要保留常数项。
求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。
③White检验的零假设和备择假设是
H0:
(5.9)式中的ut不存在异方差,
H1:
(5.9)式中的ut存在异方差
④在不存在异方差假设条件下统计量
TR2~χ2(5)(5.11)
其中T表示样本容量,R2是辅助回归式(5.10)的OLS估计式的可决系数。
自由度5表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数(注意,不计算常数项)。
TR2属于LM统计量。
⑤判别规则是
若TR2≤χ2α(5),接受H0(ut具有同方差)
若TR2>
χ2α(5),拒绝H0(ut具有异方差)
(2)Goldfeld-Quandt检验
H0:
ut具有同方差,H1:
ut具有递增型异方差。
构造F统计量。
① 把原样本分成两个子样本。
具体方法是把成对(组)的观测值按解释变量的大小顺序排列,略去m个处于中心位置的观测值(通常T>
30时,取m≈T/4,余下的T-m个观测值自然分成容量相等,(T-m)/2,的两个子样本。
{x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…,xT-1,xT}
n1=(T-m)/2m=T/4n2=(T-m)/2
②用两个子样本分别估计回归直线,并计算残差平方和。
相对于n2和n1分别用SSE2和SSE1表式。
③F统计量是
F=
=
,(k为模型中被估参数个数)
在H0成立条件下,F~F(n2-k,n1-k)
④判别规则如下,
若F≤Fα(n2-k,n1-k),接受H0(ut具有同方差)
若F>
Fα(n2-k,n1-k),拒绝H0(递增型异方差)
注意:
①当摸型含有多个解释变量时,应以每一个解释变量为基准检验异方差。
②此法只适用于递增型异方差。
③对于截面样本,计算F统计量之前,必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。
(3)Glejser检验
检验|
|是否与解释变量xt存在函数关系。
若有,则说明存在异方差;
若无,则说明不存在异方差。
通常应检验的几种形式是
|
|=a0+a1xt
|=a0+a1xt2
|=a0+a1
….
Glejser检验的特点是:
① 既可检验递增型异方差,也可检验递减型异方差。
②一旦发现异方差,同时也就发现了异方差的具体表现形式。
③计算量相对较大。
④ 当原模型含有多个解释变量值时,可以把|
|拟合成多变量回归形式。
(4)自回归条件异方差(ARCH)检验
异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差(ARCH)检验。
这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项σt2看作是xt的函数,而是把σt2看作误差滞后项ut-12,ut-22,…的函数。
ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。
恩格尔(Engle1982)针对ARCH过程提出LM检验法。
辅助回归式定义为
=α0+α1
+…+αn
(5.12)
LM统计量定义为
ARCH=TR2~χ2(n)
其中R2是辅助回归式(5.12)的可决系数。
在H0:
α1=…=αn=0成立条件下,ARCH渐近服从χ2(n)分布。
ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型(n=1),
在这种情形下,ARCH渐近服从χ2
(1)分布。
1.5.5.克服异方差的方法
克服异方差的矩阵描述。
设模型为
Y=Xβ+u
其中E(u)=0,Var(u)=E(uu'
)=σ2Ω。
Ω已知,β与k未知。
因为Ω≠I,违反了假定条件,所以应该对模型进行适当修正。
因为Ω是一个T阶正定矩阵,所以必存在一个非退化T⨯T阶矩阵M使下式成立。
MΩM'
=IT⨯T
从上式得
M'
M=Ω-1
用M左乘上述回归模型两侧得
MY=MXβ+Mu
取Y*=MY,X*=MX,u*=Mu,上式变换为
Y*=X*β+u*
则u*的方差协方差矩阵为
Var(u*)=E(u*u*'
)=E(Muu'
M'
)=Mσ2ΩM'
=σ2MΩM'
=σ2I
变换后模型的Var(u*)是一个纯量对角矩阵。
对变换后模型进行OLS估计,得到的是β的最佳线性无偏估计量。
这种估计方法称作广义最小二乘法。
β的广义最小二乘(GLS)估计量定义为
(GLS)=(X*'
X*)-1X*'
Y*=(X'
M'
MX)-1X'
MY=(X'
Ω-1X)-1X'
Ω-1Y
(1)对模型
yt=β0+β1xt1+β2xt2+ut(5.15)
假定异方差形式是Var(ut)=(σxt1)2。
(因为Var(ut)=E(ut)2,相当于认为|
|=σxt)用xt1同除上式两侧得
yt/xt1=
/xt1+
+β2xt2/xt1+ut/xt1,(5.16)
因为Var(ut/xt1)=(1/xt12)Var(ut)=(1/xt12)σ2xt12=σ2,(5.16)式中的随机项(ut/xt)是同方差的。
对(5.16)式做OLS估计后,把回归参数的估计值代入原模型(5.15)。
对(5.16)式应用OLS法估计参数,求∑(ut/xt1)2最小。
其实际意义是在求∑(ut/xt1)2最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。
所以此法亦称为加权最小二乘法,是GLS估计法的一个特例。
以异方差形式Var(ut)=σ2xt2为例,用矩阵形式介绍克服异方差。
σ2Ω=σ2
定义M=
从而使Var(Mu)=E(Muu'
=σ2
=σ2IT⨯T
即对于(5.16)式来说误差项已消除了异方差。
(2)利用Glejser检验结果消除异方差
假设Glejser检验结果是
|=
+
xt
说明异方差形式是Var(ut)=(
xt)2σ2。
用(
xt)除原模型(5.15)各项,
=β0
+β1
+
(5.17)
则Var(
Var(ut)=
(
xt)2σ2=σ2
说明消除了异方差。
对(5.17)式做OLS估计,把回归参数的估计值代入原模型(5.15)。
(3)通过对数据取对数消除异方差。
中国进出口贸易额差(1953-1998),文件名:
pap1对数的中国进出口贸易额之差
(4)当模型中存在自回归条件异方差时,可以采用极大似然估计法,通过建立自回归条件异方差辅助方程的形式估计原回归模型。
(超出课程范围)
案例1取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt(亿元)和农作物播种面积xt(万亩)数据(file:
hete01,hete02)研究二者之间的关系。
得估计的线性模型如下,
yt=-5.6610+0.0123xt(5.18)
(12.4)R2=0.85,F=155.0,T=29
图5.7农作物产值yt和播种面积xt(file:
hete01)图5.8残差图(file:
hete02)
无论是从yt和xt观测值的散点图(见图5.7)还是模型的残差图(见图5.8)都可以发现数据中存在异方差。
(1)用White方法检验是否存在异方差。
在上式回归的基础上,做White检验。
得,
输出结果中的概率是指χ2
(2)统计量取值大于8.02的概率为0.018。
示意如下图。
因为TR2=8.02>
χ2α
(2)=6,所以存在异方差。
(2)用Goldfeld-Quandt方法检验是否存在异方差。
①首先以xt为基准对成对样本数据(yt,xt)按取值大小排序。
②去掉中间7个数据,按xt取值大小分成样本容量各为11的两个子样本。
③用两个子样本各自回归得结果如下,
yt=2.7202+0.0106xt,(t=1,…,11)(5.19)
(5.8)R2=0.80,F=33.8,SSE=1266,
yt=5.8892+0.0118xt,(t=19,…,29)(5.20)
(3.0)R2=0.50,F=9.1,SSE=14174
=11.2,
因为F=11.2>
F0..05(9,9)=3.18,所以存在异方差。
下面克服异方差。
(1)对yt和xt同取对数。
得两个新变量Lnyt和Lnxt(见图5.9)。
用Lnyt对Lnxt回归,得
Lnyt=-4.1801+0.9625Lnxt.(5.21)
(16.9)R2=0.91,F=285.6,(t=1,…,29)
图5.9Lnyt和Lnxt图5.10残差图
经White检验不存在异方差。
因为TR2=2.58<
χ20.05
(2)=6.0,所以不存在异方差。
(文件:
Statis)
⑵Goldfeld-Quandt检验异方差。
去掉中间7个观测值,仍按xt大小分成两个T=7的子样本,并回归(结果略)得SSE1=1.17,SSE2=0.65,经Goldfeld-Quandt检验,有
=0.56,
因为0.56小于F0..05(9,9)=3.18,所以取对数后,模型中不存在递增型异方差(残差见图5.10)。
⑶用Glejser法检验异方差
用(5.18)式,yt=-5.6610+0.0123xt,的残差的绝对值对xt回归
|
|=0.0024xt
(8.0)R2=0.22
可见误差项的异方差形式是Var(ut)=E(ut)2=5.76⨯10-6xt2。
克服异方差的方法是用xt分别除(5.18)式两侧,得变换变量yt*=yt/xt,xt*=1/xt。
用yt*对xt*回归(见图5.11),得
yt*=0.0113+0.8239xt*(5.22)
(13.8)(0.8)R2=0.63,F=46.1
图5.11yt*和xt*图5.12残差图
注意,回归系数0.8239没有显著性,截距项0.0113却有很强的显著性,而0.0113正是还原后模型的回归系数,所以模型通过检验。
把yt*=yt/xt,xt*=1/xt代入上式并整理得广义最小二乘估计结果如下:
yt=0.8239+0.0113xt(5.23)
(0.8)(13.8)R2=0.63,F=46.1
由式(5.22)得到的残差见图5.12。
经检验已不存在异方差。
(5.22)式,即(5.23)式中的回归参数具有最佳线性无偏特性。
(5.18)式是最小二乘估计结果。
比较(5.18)和(5.23)式,
虽然0.0113和0.0123相差不多,但从估计原理分析,0.0113有比0.0123更大的可能性接近回归参数真值。
经济含义是平均每一万亩耕地的农业产出值是113万元人民币。
通过这个例子说明,在实际中直接用解释变量除原变量的变换方法克服异方差是可行的。
用EViews给序列中的数据排序。
在Workfile窗口点击Procs键并选择SortSeries功能,将出现一个要求填写以哪一个序列为标准(基准序列)排序的对话框。
填写基准序列名,并在下侧的另一个选择框中说明是按从小到大排列(Ascending),还是从大到小排列(Descending)。
缺省的选择是从小到大排列。
注意,这种操作是把工作文件中所有的变量都以选定的变量为标准排序。
所以若希望保留原序列数据时,应先备份一个工作文件。
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