年高考真题理科数学新课标I卷.doc

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2013年高考真题理科数学（解析版）新课标II卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷

数学（理科）

一．选择题：

共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知，，则（ ）

（A）（B）（C）（D）

2．若复数满足，则的虚部为（）

（A）（B）（C）4（D）

3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）（A）简单随机抽样

（B）按性别分层抽样（C）按学段分层抽样（D）系统抽样

4．已知双曲线:

的离心率为，则的渐近线方程为（）（A）（B）

（C）（D）

5．运行如右的程序框图，如果输入的，则输出属于（）（A）（B）（C）（D）

6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）

（A）（B）

（C）（D）

7．设等差数列的前项和为，，，，则（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

8．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）

（A）（B）（C）（D）

9．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则（）

（A）5（B）6（C）7（D）8

10．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。

若的中点坐标为，则的方程为（）

（A）（B）（C）（D）

11．已知函数，若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）

12．设的三边长分别为，的面积为，。

若，,，，，则（）

（A）为递减数列（B）为递增数列（C）为递增数列，为递减数列（D）为递减数列，为递增数列

二．填空题：

本大题共四小题，每小题5分。

13．已知两个单位向量的夹角为，，若，则_____。

14．数列的前项和为，则数列的通项公式是=__________。

15．当时，函数取得最大值，则______。

16．若函数的图像关于直线对称，则的最大值是______。

三.解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）如图，在中，，，，为内一点，。

⑴若，求；⑵若，求。

18．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，。

⑴证明：

；⑵若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦。

19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:

先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为。

如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立。

⑴求这批产品通过检验的概率；⑵已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：

元），求的分布列及数学期望。

20．（本小题满分12分）已知圆：

，圆：

，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。

⑴求的方程；⑵是与圆、圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求。

21．（本小题满分共12分）已知函数，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线。

⑴求的值；⑵若时，，求的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：

只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于。

⑴证明：

；⑵设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径。

23．（本小题10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

⑴把的参数方程化为极坐标方程；⑵求与交点的极坐标（，）。

24．（本小题满分10分）已知函数，。

⑴当时，求不等式的解集；⑵设，且当时，，求的取值范围。

2013年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答

一．BDCCAACABDDB

二．13．2；14．；15．；16．16

17．解：

⑴由题，故，，因此；

⑵设，则。

在中，有，化简可得，故，即。

18．解：

⑴取中点，连。

因，，故是正三角形，从而⊥。

因，故⊥。

因，故⊥平面，所以⊥；

⑵由⑴知⊥，⊥，又平面⊥平面，平面∩平面，故⊥平面，从而⊥，故两两垂直。

以为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，

有题知，，，,则,,。

设是平面的法向量，则，即，取，

则，故直线与平面所成角的正弦值为。

19．解：

⑴设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件，第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件，根据题意有，且与互斥，故

；

⑵的可能取值为，并且，

400

500

800

，，故的分布列如右表所示，且。

20．解：

⑴由题知，，设动圆的圆心为，半径为，则。

故曲线是以为左右焦点，长轴长为4，短轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为；

⑵对于曲线上任意一点，由于，故,

当且仅当时取等。

所以当圆的半径最长时，其方程为。

当的倾斜角为时，则与轴重合，可得；当的倾斜角不为时，由题知不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，故可设：

，由于圆相切得，解得。

当时，将代入的方程并整理得，解得=，因此；当时，由图形的对称性可知。

综上，或。

21．解：

⑴由已知得，，，，而，=，故，；

⑵由⑴知，，，设，则。

由题得，即。

令得，。

①若，则。

故当时，，当时，，即在单减，在单增，故在=取最小值，而，故当时，，即恒成立；②若，则，故当时，，因此在单增。

而，所以当时，，即恒成立；③若，则，故当时，不可能恒成立。

综上所述，的取值范围为。

22．解：

⑴连，交于点，则，又，故，知。

又⊥，故是直径，，由勾股定理可得；

⑵由⑴知，，，故是的中垂线，因此。

设中点为，连，则，，故，所以的外接圆半径等于。

23．解：

⑴将消去参数，化为普通方程得，

将代入并整理得，此即为的极坐标方程；

⑵由题：

，由解得或，故与的交点的极坐标分别为，。

24．解：

⑴当时，不等式化为，

设，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，故原不等式解集是；

⑵当时，，化为，

故对都成立，有，即，所以的取值范围为。

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