吉林大学离散数学课后习题答案Word文件下载.docx

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例2.2.3证明G=（PR）（（QR）（（PQ）R））恒真。

证明：

要证明（PR）（（QR）（（PQ）R））恒真，只需证明（PR）（（QR）（（PQ）R））。

我们使用形式演绎法。

（1）PR规则1

（2）QR附加前提

（3）PR规则2，根据

（1）

（4）QR规则2，根据

（2）

（5）（PR）（QR）规则2，根据（3）、（4）

（6）（PQ）R规则2，根据（5）

（7）（PQ）R规则2，根据（6）

（8）（PQ）R规则2，根据（7）

（9）（QR）（（PQ）R）规则3，根据

（2）、（8）

2.2.2公式蕴涵的证明方法

主要有如下方法：

给出两个公式A，B，证明A蕴涵B，我们有如下几种方法：

方法一.真值表法。

将公式A和公式B同列在一真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。

例2.2.4设A=（PQR）（PQ），B=（PR），证明：

AB。

A

B

表2.2.2

由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真，因此，AB。

方法二.证明AB是恒真公式。

由例2.2.1知，（PQR）（PQ）（PR）恒真，因此，立即可得到例2.2.4中的结论：

（PQR）（PQ）（PR），即AB。

例2.2.5设A、B和C为命题公式，且AB。

请分别阐述（肯定或否定）下列关系式的正确性。

（1）（AC）（BC）；

（2）（AC）（BC）。

由AB知，AB是恒真公式，故A=1时，B不可能为0。

真值表如下：

C

AB

（AC）（BC）

（AC）（BC）

表2.2.3

从真值表可以看出，（AC）（BC）是恒真公式，所以，（AC）（BC）（AC）（BC）正确；

（AC）（BC）不是恒真公式，所以，（AC）（BC）不正确。

例2.2.6设A=（RP）Q，B=PQ，证明A蕴涵B。

我们来证明AB恒真。

（（RP）Q）（PQ）=（（RP）Q）（PQ）

=（（RP）Q）（PQ）

=（RQ）（PQ）（PQ）

=1

方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。

对于例2.2.6，由基本等价式可得：

A=（RP）Q

=（RP）Q

=（RP）Q

=（RQ）（PQ）

由教材中基本蕴涵式2.PQQ可知，（RQ）（PQ）（PQ），即A蕴涵B。

方法四.任取解释I，若I满足A，往证I满足B。

例2.2.7设A=PQ，B=（RQ）（（PR）Q），证明A蕴涵B。

任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况：

（1）在解释I下，P为假，这时，B等价于（RQ）（RQ），因此，I亦满足B。

（2）在解释I下，P为真，Q为真，所以，PRQ为真，故B为真，即，I满足B。

综上，I满足B，因此，A蕴涵B。

方法五.反证法，设结论假，往证前提假。

对于例2.2.6，证明（RP）Q蕴涵PQ，若使用方法三，是很烦琐的，而使用方法四，就很简单。

假设存在解释I使PQ为假，则只有一种情形，P在I下为真，且Q在I下为假，这时RP在I下为真，故I弄假（RP）Q。

因此，（RP）Q蕴涵PQ。

方法六.分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析取式或主合取式。

若公式A的主析取式所包含的所有极小项也包含在公式B的主析取式中；

或者，公式B的主合取式中所包含的极大项均包含在公式A的主合取式中，则公式A蕴涵公式B。

使用这种方法需要注意，当公式A和公式B中包含的原子不完全相同时，在求两公式的极小项或极大项时，要考虑该两公式包含命题原子的并集中的所有原子。

在例2.2.6中，A和B的主析取式分别为：

A=（PQR）（PQR）

（PQR）（PQR）（PQR），

B=（PQR）（PQR）（PQR）

可见，AB。

A和B的主合取式分别为：

A=（PQR）（PQR）（PQR）,

B=（PQR）（PQR）

另外若给出前提集合S={G1，…，Gk}，公式G，证明SG有如下两种方法：

1.G1…GkG

2.形式演绎法：

根据一些基本等价式和基本蕴涵式，从S出发，演绎出G。

教材中已经给出了这方面的例子，在此不再赘述。

2.2.3求主合取式和主析取式

1.极小项与极大项的性质

以3个原子为例，则对应极小项和极大项的表为：

极小项

极大项

m0=PQR

M0=PQR

m1=PQR

M1=PQR

m2=PQR

M2=PQR

m3=PQR

M3=PQR

m4=PQR

M4=PQR

m5=PQR

M5=PQR

m6=PQR

M6=PQR

m7=PQR

M7=PQR

表2.2.4

由表2.2.4可知，对n个命题原子P1，…，Pn，极小项有如下性质：

（1）n个命题原子P1，…，Pn有

个不同的解释，每个解释对应P1，…，Pn的一个极小项。

（2）对P1，…，Pn的任意一个极小项m，有且只有一个解释使m取1值，若使极小项取1的解释对应的二进制数为i，则m记为mi，于是关于P1，…，Pn的全部极小项为m0，m1，…，

。

（3）任意两个不同的极小项的合取式恒假：

mimj=0，i≠j。

（4）所有极小项的析取式恒真：

=1。

极大项有如下性质：

个不同的解释，每个解释对应P1，…，Pn的一个极大项。

（2）对P1，…，Pn的任意一个极大项M，有且只有一个解释使M取0值，若使极大项取0的解释对应的二进制数为i，则M记为Mi，于是关于P1，…，Pn的全部极大项为M0，M1，…，

（3）任意两个不同的极大项的析取式恒真：

MiMj=1，i≠j。

（4）所有极大项的合取式恒假：

=0。

2.主合取式与主析取式之间的关系

由极小项和极大项的定义可知，二者有如下关系：

mi=Mi，Mi=mi

由此可知，若PQR为一公式G的主合取式，则

G=G

=M0

=（M1M2…M6）

=M1M2…M6

=m1m2…m6

为G的主析取式。

若（PQ）（PQ）（PQ）为一公式H的主析取式，则

H=H

=（（PQ）（PQ）（PQ））

=（（m0m1m3））

=（m2）

=M2

=PQ

为H的主合取式。

一般地，若公式A中含n个命题原子，且A的主析取式中含有k个极小项：

，则A的主析取式中必含有其余的

-k个极小项，不妨设为：

，即

A=

因此，

A=A

=（

）

=

由此可知，从一公式A的主析取式求其主合取式的步骤如下：

（1）求出A的主析取式中没有包含的所有极小项。

（2）求出与

（1）中极小项下标相同的极大项。

（3）将

（2）求出的所有极大项合取起来，即得A的主合取式。

类似地，从一公式A的主合取式求其主析取式的步骤为：

（1）求出A的主合取式中没有包含的所有极大项。

（2）求出与

（1）中极大项下标相同的极小项。

（3）将

（2）求出的所有极小项析取起来，即得A的主析取式。

3.求主合取式和主析取式的方法

主析取式恰好是使得公式为真的解释所对应的极小项的析取组成，主合取式恰好是使得公式为假的解释所对应的极大项的合取组成。

方法二.公式推导法。

设命题公式G中所有不同原子为P1，…，Pn，则G的主析取式的求法如下：

（a）将公式G化为析取式。

（b）删去析取式中所有恒假的短语。

（c）用等幂律将短语中重复出现的同一文字化简为一次出现，如，PP=P。

（d）对于所有不是关于P1，…，Pn的极小项的短语使用同一律，补进短语中未出现的所有命题原子，并使用分配律展开，即，如果短语Gi’不是关于P1，…，Pn的极小项，则Gi’中必然缺少原子，不妨设为Pj1，…，Pjk，于是

Gi’=Gi’（Pj1Pj1）…（PjkPjk）

这样，就将非极小项Gi’化成了一些极小项之析取。

将相同的短语的多次出现化为一次出现，就得到了给定公式的主析取式。

主合取式的求法类似，留给读者作为练习。

由上面讨论可知，只要求出一种式，可立即得到另外一种式。

例2.2.8求公式G=P→（Q→R）的主析取式与主合取式。

（1）使用真值表法。

见表2.2.5。

P→（Q→R）

表2.2.5

根据真值表中使得公式为真的解释，所对应的极小项的析取即为其主析取式：

G=（PQR）（PQR）（PQR）

（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）

=m0m1m2m3m4m5m7

根据真值表中使得公式为假的解释，所对应的极大项的合取即为其主合取式：

G=PQR=M6

（2）公式推导法

G=P→（Q→R）

=PQR

=（P（QQ）（RR））

（Q（PP）（RR））

（R（PP）（QQ））

=（PQR）（PQR）（PQR）

（PQR）（PQR）（PQR）

=m0m1m2m3m4m5m7

=M6

4.主合取式与主析取式的应用

（1）由2.2.1可知，利用主合取式与主析取式可求解判定问题。

（2）证明等价式成立。

由于任意公式的主式是唯一的，所以可以分别求出两个给定的公式的主式，若二者主式相同，则给定的两公式是等价的，否则，给定的两公式不等价。

例2.2.9判断P→（Q→R）与（PQ）→R是否等价。

我们利用求主合取式的方法来判断。

由例2.2.8知，P→（Q→R）的主合取式为：

M6。

下面求（PQ）→R的主合取式。

（PQ）→R=（PQ）R

=（PQ）R

=（PR）（QR）

=（P（QQ）R）（（PP）QR）

=（PQR）（PQR）（PQR）

=M2M4M6

二者的主合取式不相同，因此，这两个公式不等价。

2.2.4联结词的转化和全功能集

关于联结词的转化和全功能集方面一般有如下题型：

（1）要求只用几个联结词表示某个命题公式，见例2.2.10。

（2）给出一个新的联结词的定义，要求证明其是全功能集，并用其表示某个命题公式。

这种题目的做法如下：

由于不难证明出{，}，{，}，{，→}，{}，{}都是全功能联结词集合，因此，若要证明新定义的联结词是全功能集，只需证明上面某个全功能集合（比如{，}）中的每个联结词（如，和）都可以用新联结词表示。

若想用其表示某个命题公式，可以先将基本联结词（，，）用给定的新联结词表示，然后按要求把原命题公式转化成用新联结词表示的形式。

见例2.2.11。

（3）证明一个联结词集合不是全功能集。

一般用归纳法，证明在有限步，用这个联结词结合不可能表示所有的命题。

见例2.2.12。

应该说明的是，寻求最少联结词的全功能联结词集合，主要不是个理论问题，而是为了满足工程实践的需要。

但是，一般情况下，为了不至于因为联结词的减少而使得公式的形式变得复杂，我们仍常采用“，，，→，”这5个联结词。

例2.2.10将公式（P→（QR））（PQ）用仅含联结词和的公式等价表示。

（P→（QR））（PQ）=（P（QR））（PQ）

=（P（PQ））（（QR）（PQ））

=（PQ）（Q（PQ））（R（PQ））

=（PQ）（PQ）（（PQ）R）

=PQ

=（PQ）

例2.2.11定义三元联结词如表2.2.6。

e1

e2

e3

f（e1,e2,e3）

表2.2.6三元联结词f（e1,e2,e3）的真值表

（1）试证明{f}是完备的，即，联结词集合{，}或{，}可由该联结词表示。

（2）用该联结词表示公式：

（P→R）Q。

（1）证明：

因为

P=f（P,P,P），PQ=f（P,P,Q），

所以联结词集合{，}可由该三元联结词f表示。

而联结词集合{，}是完备的，因此，{f}是完备的。

（2）解：

PQ=f（P,P,Q），

所以

P→Q=PQ=f（P,P,Q）.

又由

PQ=（PQ）=（QP）

=f（P,P,Q）=f（Q,Q,P）.

因此

（P→R）Q=f（P,P,R）Q

=f（Q,Q,f（P,P,R））

=f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R）））

=f（f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R）））,f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R）））,f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R））））。

例2.2.12{，→}是否是联结词的全功能集合？

证明你的结论。

在证明此题之前，我们先直观分析一下。

考虑和→这两个联结词的特点：

当一个命题公式中只含有联结词和→时，则当公式中出现的所有命题原子都取真值1时，公式也必然取真值1。

这就是说，仅含和→的公式不能表示所有的命题公式，比如恒假式：

AA。

因此，联结词集合{，→}不是全功能集。

下面证明{，→}不是联结词的全功能集。

对公式中出现的联结词个数使用数学归纳法来证明下面的结论：

n=0时，即公式中不含任何联结词时，公式为原子，结论显然。

假设n≤k时，命题成立，即，如果一个公式中含有n个联结词，→，则当公式的所有原子真值取1时，公式也取真值1。

当n=k+1时，设任一含k+1个联结词的公式为A，则存在公式B和C，使得：

A=B→C或A=BC，

且B和C中的联结词个数均≤k。

由归纳假设知，当所有原子取真值1时，B和C在该解释下的真值均为1，因此，A在该解释下的真值亦为1。

归纳完成。

由该结论知，如果一个命题公式中只含有联结词和→，那么至少存在一个解释满足该公式。

因此，只含有联结词和→的公式肯定不能表示恒假公式。

所以，{，→}不是联结词的全功能集。

2.2.5综合应用题

综合题主要是先符号化，再使用上面的知识进行联结词的转化、或求主合取式、主析取式、利用基本等价式化简、或进行逻辑推理来论证或做逻辑判断等。

例2.2.13一个排队线路，输入为A，B，C，其输出分别为FA,FB,FC。

在同一时间只能有一个信号通过。

如果同时有两个或两个以上信号通过时，则按A，B，C的顺序输出。

例如，A，B，C同时输入时，只能A有输出。

写出FA,FB,FC的逻辑表达式，并化成全功能集{}中的表达式。

先将已知事实中的各简单命题符号化，设：

P：

A输入；

Q：

B输入；

R：

C输入。

然后根据已知条件，写出FA,FB,FC的真值表如表2.2.7。

FA

FB

FC

表2.2.7

于是，

FA=（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）

=（（PQ）（RR））（（PQ（RR））

=（PQ）（PQ）

=P（QQ）

=P

=（PP）

=（PP）

=（（PP）（PP））

=（PP）（PP）.

FB=（PQR）（PQR）

=（PQ）（RR）

=（PQ）

=PQ

=P（QQ）

FC=PQR

=（PQR）

=（PQ）（R）

=（（PQ））（R）

=（（PQ））（R）

=（（PQ）（PQ））（RR）

例2.2.14一一个公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下：

（1）A或B盗窃了x

（2）若A盗窃了x，则作案时间不能发生在午夜前

（3）若B证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭

（4）若B证词不正确，则作案时间发生在午夜前

（5）午夜时屋里灯光灭了

（6）A并不富裕

试用演绎法找出盗窃犯。

P：

A盗窃了x

Q：

B盗窃了x

R：

作案时间发生在午夜前

S：

B证词正确

T：

在午夜时屋里灯光未灭

U：

A并不富裕

再将各前提写出：

G1：

P∨QG2：

P→

R

G3：

S→TG4：

：

S→RG5：

TG6：

U

演绎过程为：

（1）S→T　　　（规则１）

（2）

T（规则１）

（3）

S（规则2）

（4）

S→R（规则１）

（5）R（规则2）

（6）P→

R（规则１）

（7）

P（规则2）

（8）P∨Q（规则１）

（9）Q（规则2）

因此，是B盗窃了x。

例2.2.15一甲、乙、丙、丁四个人有且仅有两个人参加围棋优胜比赛。

关于谁参加比赛，下面四种判断都是正确的：

（1）甲和乙只有一人参加；

（2）丙参加，丁必参加；

（3）乙或丁至多参加一人；

（4）丁不参加，甲也不会参加。

请推断出哪两个人参加了围棋比赛。

甲参加了比赛；

乙参加了比赛；

丙参加了比赛；

丁参加了比赛.

依已知条件

（1）--（4）有：

（1）（PQ）（PQ