版高三数学一轮复习3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升第6章数列试题文.docx
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版高三数学一轮复习3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升第6章数列试题文
第六章数列
考点1数列的概念及简单表示法
1.(2014·新课标全国Ⅱ,16)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.
1.解析将a8=2代入an+1=,可求得a7=;
再将a7=代入an+1=,可求得a6=-1;
再将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2.
由此可以推出数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=.
答案
2.(2014·江西,17)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
2.
(1)解由Sn=,得a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,
所以数列{an}的通项公式为:
an=3n-2.
(2)证明要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,
即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,
而此时m∈N*,且m>n.
所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
3.(2014·湖南,16)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
3.解
(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由
(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列{bn}的前2n项和为T2n,
则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,
则A==22n+1-2,
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
考点2等差数列及其前n项和
1.(2015·新课标全国Ⅰ,7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )
A.B.C.10D.12
1.解析由S8=4S4知,a5+a6+a7+a8=3(a1+a2+a3+a4),
又d=1,
∴a1=,a10=+9×1=.
答案B
2.(2015·新课标全国Ⅱ,5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5B.7C.9D.11
2.解析∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,
∴a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,
∴S5==5a3=5.故选A.
答案A
3.(2014·天津,5)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )
A.2B.-2C.D.-
3.解析由S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6成等比数列可得(2a1-1)2=a1(4a1-6),
解得a1=-.
答案D
4.(2014·新课标全国Ⅱ,5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1)B.n(n-1)
CD
4.解析因为a2,a4,a8成等比数列,所以a=a2·a8,
所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.
所以Sn=na1+d=n(n+1).故选A.
答案A
5.(2014·重庆,2)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )
A.5B.8C.10D.14
5.解析由等差数列的性质得a1+a7=a3+a5,
因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8,选B.
答案B
6.(2015·安徽,13)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
6.解析由已知数列{an}是以1为首项,以为公差的等差数列.
∴S9=9×1+×=9+18=27.
答案27
7.(2015·陕西,13)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________
7.解析由题意设首项为a1,
则a1+2015=2×1010=2020,
∴a1=5.
答案5
8.(2014·江西,13)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
8.解析由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,可得
即解得-1 答案 9.(2016·新课标全国Ⅱ,17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0, [2.6]=2. 9.解 (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3, 解得a1=1,d=. 所以{an}的通项公式为an=. (2)由 (1)知,bn=. 当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1; 当n=4,5时,2≤<3,bn=2; 当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3; 当n=9,10时,4≤<5,bn=4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24. 10.(2014·大纲全国,17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 10. (1)证明由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2, 即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解由 (1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. 于是, 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1, 所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2. 11.(2014·浙江,19)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 11.解 (1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因为d>0,所以d=2. 从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由 (1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)·(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,k∈N*知2m+k-1>k+1>1, 故所以 12.(2014·重庆,16)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和. (1)求an及Sn; (2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 12.解 (1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1. 故Sn=1+3+…+(2n-1)===n2. (2)由 (1)得a4=7,S4=16. 因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1. 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1). 考点3等比数列及其前n项和 1.(2015·新课标全国Ⅱ,9)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( ) A.2B.1C.D. 1.解析由{an}为等比数列,得a3a5=a, 所以a=4(a4-1),解得a4=2. 设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,得2=q3,解得q=2, 所以a2=a1q=.选C. 答案C 2.(2014·大纲全国,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31B.32C.63D.64 2.解析方法一 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. 若q=1,则有Sn=na1,显然不符合题意,故q≠1. 由已知可得两式相除得1+q2=5,解得q2=4. 故q=2或q=-2. 若q=2,代入解得a1=1,此时S6===63. 若q=-2,代入解得a1=-3,此时S6===63.故选C. 方法二 因为数列{an}为等比数列,若q=1,则有Sn=na1,显然不符合题意,故q≠1. 设其前n项和为Sn=Aqn-A. 由题意可得,两式相除得1+q2=5, 解得q2=4,代入解得A=1. 故Sn=qn-1. 所以S6=q6-1=(q2)3-1=43-1=63.故选C. 方法三 设等比数列的公比为q. 则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)×3=15, 解得q2=4. 故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)=(1+4+42)×3=63.故选C. 答案C 3.(2015·新课标全国Ⅰ,13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和. 若Sn=126,则n=________. 3.解析由an+1=2an知,数列{an}是以a1=2为首项,q=2为公比的等比数列, 由Sn==126,解得n=6. 答案6 4.(2015·广东,13)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=________. 4.解析∵三个正数a,b,c成等比数列, ∴b2=ac=(5+2)(5-2)=1. ∵b为正数,∴b=1. 答案1 5.(2014·广东,13)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________. 5.解析由等比数列的性质可知a1a5=a2a4=a, 于是由a1a5=4得a3=2,故a1a2a3a4a5=32, 则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log232=5. 答案5 6.(2016·新课标全国Ⅲ,17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 6.解 (1)由题意得a2=,a3=. (2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数,所以=. 故{an}是首项为1,公比为的等比数列, 所以an=. 7.(2016·北京,15)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 7.解 (1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 由得 ∴{bn}的通项公式bn=b1qn-1=3n-1, 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27, ∴1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴{an}的通
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