二轮复习导数专题北京各区导数汇编.docx
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二轮复习导数专题北京各区导数汇编
考试内容
要求层次
A
B
C
导数及其应用
导数概念及其几何意义
导数的概念
V
导数的几何意义
V
导数的运算
1
根据导数定义求函数yc,yx,yx,yx3,y—,
x
yjx的导数
V
导数的四则运算
V
简单的复合函数(仅限于形如f(axb))的导数
V
导数公式表
V
导数在研究函数中的应用
利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三次)
V
函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次)
V
利用导数解决某些实际问题
V
定积分与微积分基本定理
定积分的概念
V
微积分的基本定理
V
、求切线
2
1.求曲线yX在点P(2,4)处的切线方程。
、导数的应用
切线求参(I)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是y3x3,求a,b的值;
r»_ax
含参---单调区间(n)若函数g(x)ef'(x),求函数g(x)的单调区间.
2
2.已知函数f(x)Inxax(a2)x.
已知极值求参数(I)若f(x)在x1处取得极值,求a的值;
含参---最值
(n)求函数yf(x)在[a2,a]上的最大值.
3.已知函数
x2f(x)xlnx,g(x)x
ee
不含参---不含参(I)求函数f(x)在区间[1,3]上的最小值;
!
不等式应用(n)证明:
对任意m,n(0,),都有f(m)g(n)成立.
2
4.已知函数f(x)xalnx(aR).
不含参---单调性(i)若a2,求证:
f(x)在(1,)上是增函数;
含参----求最值(n)求f(x)在[1,e]上的最小值.
5.已知函数f(x)xalnx,g(x)1a,(aR).
x
不含参---求极值(i)若a1,求函数f(x)的极值;
含参---单调性(n)设函数h(x)f(x)g(x),求函数h(x)的单调区间;
!
不等式应用(川)若在1,e(e2.718...)上存在一点沧,使得f(x°)g(x°)成立,求a的取值范围•
212
6.已知函数f(x)(axx)lnxaxx.(aR).
2
不含参---求切线(I)当a0时,求曲线yf(x)在(e,f(e))处的切线方程(e2.718...);
含参---求单调性(ll)求函数f(x)的单调区间.
7.已知函数f(x)a(x21),其中a0.
x
含参---求单调性(I)求函数f(x)的单调区间;
已知切线---求参数(n)若直线xy10是曲线yf(x)的切线,求实数a的值;
含参---求最值(川)设g(x)xlnxxf(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.
ax
8.已知函数f(x)
(1)e(x0),其中e为自然对数的底数.
x
不含参---求切线(I)当a2时,求曲线yf(x)在(1,f
(1))处的切线与坐标轴围成的面积;
知极值---求参(n)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为e5,求a的值.
2
9.已知函数f(x)alnx2(a0).
x
!
不等式应用(n)若对于x(0,
求单调性(I)若曲线yf(x)在点P(1,f
(1))处的切线与直线yx2垂直,求函数yf(x)的单调区间;
)都有f(x)2(a1)成立,试求a的取值范围;
!
零点应用(川)记g(x)
f(x)xb(bR).当a1时,函数g(x)在区间[e[e]上有两个零点,求实
数b的取值范围.
2
10.设函数f(x)Inx(xa),aR.
1
已知单调性---求参数(n)若函数f(x)在[-,2]上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围;
含参----求极值(川)求函数f(x)的极值点.
答案解析
2a22a2
g(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,0),(-
aa
x
(,0)
0
(0,)
g'(x)
-
0
+
g(x)
]
极小值
Z
g(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(
2
②当a0时,令g'(x)0,得x0或x-a
a
(i)当一a0,即0a近时,
a
0).
x
(,0)
0
(0,^^)
a
2a2
a
(^^,)
a
g'(x)
-
0
+
0
-
g(x)
]
极小值
Z
极大值
]
①当a
0时,g'(x)2x,
9分
10分
);11分
(ii)当-a0,即a2时,g'(x)2x2e2x0,
a
x
(
,-a)a
2a
a
(-a,0)a
0
(0,)
g'(x)
-
0
+
0
-
故g(x)在(,)单调递减;……12分(iii)当-a0,即a2时,
a
g(x)
]
极小值
Z
极大值
]
13分
22
g(x)在(冬2,0)上单调递增,在(0,),(,J^)上单调递
aa
(,0);
综上所述,当a0时,g(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为
a2时,g(x)的单调递增区间为(0,2
2
—),单调递减区间为(
a
0),
2时,g(x)的单调递减区间为
.2时,g(x)的单调递增区间为
(2—,0),单调递减区间为(0,
a
(“综上所述”
要求一定要写出来)
2•解:
f(x)
2
Inxax(a2)x,
•••函数的定义域为(0,).
•••f(x)
1
2ax(a
x
2)
12ax2(a2)x
(2x1)(ax1)
f(x)
f
(1)
(21)(a1)0,
1.
1
1时,在(一,1)内
2
1是函数yf(x)的极小值点.
a2a,•0a1.
f(x)
2ax(a2)1加(a2)x
(2x1)(ax1)
•••x€(0,
•ax10,
11
)上单调递减,
•f(x)在(0,—)上单调递增;在(—,
22
2
f(x)在[a,a]单调递增,
1
①当0a—时,
2
•fmax(x)f(a)
Ina
2a;
10分
a
②当
2
a
—
2,即-
—2
2
f(x)在(a2,1)单调递增,在(-,a)单调递减,
22
1
•fmax(x)£
In2
1ln2;
11分
12
③当-a2,即亍a1时,
2
f(x)在[a,a]单调递减,
2
二fmax(x)f(a)2lna
3
a2a
12分
1
综上所述,当0a—时,
2
函数
232
yf(x)在[a,a]上的最大值是Inaaa2a;
a2时,函数
2
2a
f(x)在[a,a]上的最大值是1In2;
4
厘时
2时,
函数y
2
f(x)在[a,a]上的最大值是
53
2lnaaa2a.13分
xlnx,可得f(x)Inx1.当x
(0,1),f(x)0,f(x)单调递减,
当x(1,
e
),f(x)
0,f(x)单调递增•所以函数
f(x)在区间[1,3]上单调递增,
又f⑴0,所以函数
f(x)在区间[1,3]上的最小值为0•
(n)证明:
由(I)可知f(x)
1
又f(-)
e
1
xInx(x(0,))在x时取得最小值,
e
1x2
f(m)-•由g(x)—,可得g'(x)
eee
所以当x
(0,1),g'(x)
0,g(x)单调递增,当x(1,
),g'(x)0,g(x)单调递减.
所以函数
g(x)(x0)在
x1时取得最大值,又g
(1)
-,可知g(n)-,ee
所以对任意m,n(0,
),都有f(m)
g(n)成立.
4.(I)证明:
当a2时,f(x)
2
x2Inx,当x
(1,)时,
(x)g0,
x
所以f(x)在(1,
)上是增函数.
(n)解:
2
f(x)空亠
(x0),当x[1,e],2x2x
2
a[2a,2ea].
f(x)在[1,e]上是增函数,
若a2,则当x[1,e]时,f(x)0,所以
则当x[1,e]时,f(x)0,
又f
(1)1,故函数f(x)在[1,e]上的最小值为1.若a2e2,
所以f(x)在[1,e]上是减函数,
又f(e)e2a,所以f(x)在[1,e]上的最小值为e
2e2
则当1
时,f(x)0,此时f(x)是减函数;
•2
xe时,f(x)0,此时f(x)
是增函数.
aaa
In,所以f(x)在[1,e]上的最小值为
综上可知,
当a2时,
-OOO
f(x)在[1,e]上的最小值为1;当2a2e时,f(x)在[1,e]上的最小值为In;
222
5.解:
(I)f(x)的定义域为(0,
当a1时,f(x)xInx,f(x)1
x
(0,1)
1
(1,)
f(x)
一
0
+
f(x)
极小
J
所
f(x)在x1处取得极
(H)h(x)
aalnx,
1.
2
h(x)1导axax2(1a)
xxx
①当a10时,即a
1时,在(0,1a)上h(x)0,在(1a,
)上h(x)0,
所以h(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,)上单调递增;
②当1a0,即a1时,在(0,)上h(x)0,
所以,函数h(x)在(0,)上单调递增
(III)在1,e上存在一点X。
,使得f(x°)g(x°)成立,即
在1,e上存在一点x0,使得h(x0)0,即
函数h(x)x-—aaInx在1,e上的最小值小于零
x
10分
②当1a1,即a0时,
h(x)在
1,e上单调递增,
所以h(x)最小值为h
(1),
由h
(1)1
1a0可得a
11分
③当1
1ae,即0a
1时,
可得h(x)最小值为
h(1a),
因为0
ln(1a)1,所以,
aIn(1a)
a故h(1
a)2aaln(1a)
此时,
h(1a)0不成立.
12分
2
e1
a或a
e1
6.解:
(I)当a0时,f(x)xxlnx,f'(x)In
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