概率论与数理统计期末考试试题及解答Word格式.docx
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8+1u
解似然方程得8的极大似然估计为
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
£
=7^^—-1.
—送lnxi
ni4
1.设A,B,C为三个事件,且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是
(A)
(B)
(C)
(D)
若P(C)=1,贝UAC与BC也独立.若P(C)=1,则AUC与B也独立.若P(C)=0,贝UaUc与B也独立.
若CuB,贝UA与C也独立.
(D).
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(都是正确的,只能选(D).
A),(B),(C)
事实上由图
SQ®
可见A与C不独立.
2.设随机变量X-N(0,1),
(A)2[1-①
(2)].
(C)2—①
(2).
X的分布函数为①(X),则P(|X|>
2)的值为
(B)26
(2)-1.
(D)1—2①
(2).
X-N(0,1)所以P(|X|〉2)=1—P(|X戶2)=1—P(—2vX<
2)-4:
2)+①(一2)=1-[或(2十1寺2十習应选(A).
3.设随机变量X和丫不相关,则下列结论中正确的是
(A)X与丫独立.(B)D(X-Y)=DX+DY.
(C)D(X-Y)=DX—DY.(D)D(XY)=DXDY.()
由不相关的等价条件知,
Pxy=0=cov(x,y)0
D(X-Y)=DX+DY+2cov(x,y)应选(B).
4.设离散型随机变量X和丫的联合概率分布为
(X,Y)
(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
若X,Y独立,
(A)a=-,
9
1
(C)-,
6
69
则a,P的值为
P=-.
PJ
18
(A)Ct
(D)a
—
"
9'
-18,
■
P=丄
若X,Y独立则有
3
a
P
一+a+P
1门
—+a
—+P
a=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)
5.设总体
故应选(A).
X的数学期望为比Xi,X2,川,Xn为来自
X的样本,则下列结论中
正确的是
(A)X1是4的无偏估计量.(B)X1
(C)X1是4的相合(一致)估计量.(D)X1
是卩的极大似然估计量.不是卩的估计量.()
EXi=卩,所以Xi是卩的无偏估计,应选(
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,
求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
(2)—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率
解:
设A=‘任取一产品,经检验认为是合格品'
B=‘任取一产品确是合格品’
则
(1)
P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)
(2)
=0.9X0.95+0.1X0.02=0.857.
P(AB)0.9咒0.95
P(B|A)===0.9977.
'
」P(A)0.857
四、(12分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立
的,并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数,
求X的分布列、分布函数、数学期望和方差
X的概率分布为
3_k
P(X=k)=C3k
k=0,1,2,3.
X的分布函数为
P竺鼻
125125
36
125
8
0,
27
125,
81
117
125,L1,
26
EX=3x—=—
55
23
DX=3X—X—:
=-
F(x)=<
0<
xv1,
1<
x<
2,
2<
x<
3,
x>
3.
25
五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|x>
0,y>
0,x+y<
1}上服从
均匀分布.求
(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;
(2)Z=X
+Y的分布函数与概率
密度.
(1)(X,Y)的概率密度为
(2)利用公式fz(z)
f-還其JD
讼「2—2x
fX(x)=\f(x,y)dy10,
0<
其它
-be
=J』(X,z-x)dx
其中f(x,z-x)=[2,
1,0<
z-x<
1-x
2,0<
1,[0,其它.
z<
z<
0或za1时fz(z)=0
z
z兰1时fZ(Z)=2J。
dx=2x0=2z
Z的分布函数为
或利用分布函数法
Fz(z)=P(Z<
¥
R
=<
丨1
I2z,0<
1,fZ⑺其它.
0,zcO
0,z"
*J02ydy,0<
1=*
z2,0<
z<
1,
1,z>
1,z>
故Z的概率密度为
fz⑵FJz(y)dy二
0,
dxdyw<
zi,
ZA1.
zcO,
1,za1.
fzW十
Z<
1,其它.
2兀
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标丫相
互独立,且均服从N(0,22)分布.求
(1)命中环形区域D={(x,y)|1<
x2+y2<
2}的概率;
(2)命中点到目标中心距离Z=Jx2+Y2的数学期望.
1■^丄2
rdrd日=一fe8r2dr
4■
r2
一re甘
■ber2I——
乂,丁2兀
+fe8dr=-—r』02j
■-oC
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:
样本,测得样本均值x=10,样本方差s2
区间;
(2)检验假设H0:
cr<
0.1(显著性水平为0.05).(附注)鮎.05(16)二1.746,如5(15)二1.753,鮎.025(15)=2.132,
cm)X~N(比CT),今抽取容量为16的=0.16.
(1)求卩的置信度为0.95的置信
222
70.05(16)=26.296,工0.05(15)=24.996,^0.025(15^27.488.
(1)卩的置信度为1-Ct下的置信区间为
—s—s
(X—ST石,X+32)石)
X=10,s=04n=16,a=0.05,to.o25(15)=2.132
卩的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
H。
:
CT2<
0.1的拒绝域为乂2>
/:
(n-1).
因为
/2
15S2
-^=15X1.6=24,/205(15)=24.996
0.1
LJ2
=24<
24.996=上0.05(15),所以接受H。
.
《概率论与数理统计》期末考试试题(A)
专业、班级:
姓名:
学号:
单项选择题(每题3分共18分)
1.D2.A3.B4.A5.A6.B
题号
一一一
二二二
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
」、单项选择题(每题3分共18分)
(1)
若事件A、B适合P(AB)=0,则以下说法正确的是().
(2)设随机变量X其概率分布为
则P{X<
1.5}=(
0.20.30.10.4
立,令Z=X-2Y+7,贝yZ~().
(A)N(0,5);
(B)N(0,3);
(C)N(0,46);
(D)N(0,54).
(5)设X1X2,…,Xn为正态总体N(巴b2)的一个简单随机样本,其中厂=2,卩未知,则()是一个统计量。
(A)2Xi2+b2
i4
(6)设样本Xi,X2,…,Xn来自总体X〜N(巴/),/未知。
统计假设
为H。
4=已知)H1:
Ph#0。
则所用统计量为()
(D)工2=—2(Xi-門2
birn
:
、填空题(每空3分共15分)
(1)如果P(A)>
0,P(B)>
0,P(AB)=P(A),则P倒A)=
(2)设随机变量X的分布函数为
Fd」0,,X兰0,
l1—(1+x)e,x>
0.
设冈禹忌是总体分布中参数&
的无偏估计量,a&
?
-观+3碣,
时,现日是的无偏估计量.
(4)设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1),X1,X2"
-X9是来自总体X的
X+…+X
+…
样本,丫1,丫2,…丫9是来自总体丫的样本,则统计量U=/;
=9
VYj+…+丫92
解:
O.88=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)—P(A)P(B)
四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T,各电梯在
运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
求随机变量丫=2X+1的概率密度。
因为y=2x+1是单调可导的,
故可用公式法计算
.1分
当X>
0时,丫>
由y=2x+1,得x=^^
.2分
从而丫的密度函数为fY(y)
[f(g)1
^2
4分
y>
..5分
..6分
y<
七、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
=03e^Xdx4de^dy二Le」xLe^yI
300元,求工厂出售一台
..8分
用丫表示出售一台设备的净盈利
X1
贝UP(Y=100)=[Te^dx=訂
14
九、(8分)设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,
而相关系数为-0.5,求E(2X-Y),D(2X-Y)。
已知EX=—2,EY=2,DX=1,DY=4,PX^-0.5
十、(7分)设供电站供应某地区1000户居民用电,各户用电情况相互独立。
已
知每户每日用电量(单位:
度)服从[0,20]上的均匀分布,禾用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。
(所求概率用标准正
态分布函数①(X)的值表示).
用Xi表示第i户居民的用电量,贝UXi〜U[0,20]
1000
则1000户居民的用电量为X=ZXi,由独立同分布中心极限定理
3分
p{x>
10100}=1—p{x<
1010。
}
7^分
其中日>0未知,求0的最大似然估计。
解:
最大似然函数为
L(X1,…,XnP)=nf(Xi)=r[(£
+1)Xp
iy
..4分
InL(X1,…,Xn,&
)=nIn(9+1)+日In(X1,…,xj
0CXi,…,Xn
十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率X〜N(巴1)服从正态分布,均值为
4,长期以来方差b2稳定为1,现随机抽取的100天的利润,样本均值
为X=5,试求4的置信水平为95%的置信区间。
(t0.05(100)=1.99,
①(1.96)=0.975)
因为b已知,且二^~N(0,1)
b/Jn
1^分
X-卩
=1_a
2分
依题息a=0.05,Uq=1.96,n=100,ct=1,
则4的置信水平为95%的置信区间为
即为
一c—c
[X巴7n,X+U*即
4■分
[4.801,5.199]
5分
《概率论与数理统计》课程期末考试试题(B)
、单项选择题(每题3分共15分)
A与B互斥(互不相容);
P(A)=0或P(B)=0;
A与B同时出现是不可能事件;
P(A)>
0,贝yP(BA)=0.
离散型随机变量X的分布律为P{x=k}=b.k,
(k=1,2,
的充分必要条件是(
).
b>
0且0VAV1;
A<
1;
0.
连续随机变量X的概率密度为
则随机变量X落在区间
jX,
f(x)=<
2—X,
【0,
(0.4,1.2)内的概率为(
x<
1<
(A)0.64;
(4)
(B)0.6;
(C)0.5;
(D)0.42.
设随机变量X〜N(-3,
1),Y〜N(2,
1),且X与Y相互独
立,令Z=X-2Y+7,贝yZ~(
(A)N(0,5);
(B)N(0,3);
(C)N(0,46);
设(6,日2)是参数9的置信度为1-a的区间估计,则以下
结论正确的是().
设总体X与Y相互独立,且都服从正态分布N(0,1).(X1「公9)
是从总体X中抽取的一个样本,(丫1,…,丫9)是从总体Y中抽取的
一个样本,则统计量
设曾,码,^3是总体分布中参数£
的无偏估计量,令=a朮-2日?
2+3碣,
时,M也日是的无偏估计量.
设总体X〜N(A,1),卩是未知参数,X1,X2是样本,则
2111
卩1=肆1+肆2及2=訐+尹
设样本(X1,X2,…,Xn)抽自总体X~N(巴八).巴八均未知.要对4作假设检验,统计假设为H0:
4=卩0,(4。
已知),H1:
4hPo,则要用检验统计量为,
给定显著水平"
则检验的拒绝区间为.
三、(7分)已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,条件概率P(BA)=0.8,试求P(AB)..
四、(9分).设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,-处cxw+比,
求:
(1)常数A,B;
(2)P(]X<
1);
(3)随机变量X的密度函数。
五、(6分)某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第1车间的次品率为0.15,
第2车间的次品率为0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中,假设1、2车间生产的成品比例为2:
3,今有一客户从成品仓库中随机提台产品,求该产品合格的概率.
六、(8分)已知甲、乙两箱装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求乙箱中次品件数的分布律及分布函数F(X).
七、(7分)设随机变量X的密度函数为
八、(6分)现有一批钢材,其中80%的长度不小于3m,现从钢材中随机取出
100根,试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30的概率。
(计算结果用标准正态分布函数值表示)
九、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
12e3*y),x>
0,y》0,f(x,y)-*
其他.
【0,
(1)P(0<
X<
1,0<
Y<
2);
(2)求X,Y的边缘密度;
(3)判断X与丫是
否相互独立
十、(8分).设随机变量(X,Y)的联合密度函数为
Il2y2Owy<
f(X,y)冷其他,
求E(X),E(Y),E(XY),进一步判别X与Y是否不相关。
卜一、(7分).设X1,X2/-,Xn是来自总体X的一个简单随机样本,总体X的密度函数
;
2x
f(X,日)=«
y'
L0,
Q<
Q,
其他,
求日的矩估计量。
十二、(5分)总体X-N(巴1)测得样本容量为
100的样本均值X=5,求X的
数学期望卩的置信度等于0.95的置信区间。
(to.O5(1OO)=1.99,
1、
2、
3、
4、
5、
、单项选择题:
(15分)
D
B
A
C
、填空题:
(12分)
t,9;
-1
X—4—q_S
S/,(X-t仪2(n-1)^=,X+tQ/2(n-1)^=);
三、(7分)
P(AB)=P(A)P(BIA).
=0.5咒0.8=0.4
4分
....7分
四、(9分)
(1)由1=F(+^)=A+B—
兀
0=F(y)=A-B—
得A=1,B=1
2兀
=1+丄arctanx
F(x)
P(|x|)=F
(1)—F(—1)
f(x)=F'
(x)=
兀(1+x2)
(w<
X<
七无)
五、(6分)
B={从仓库随机提出的一台是合格品}
A={提出的一台是第i车间生产}(i=1,2)
P(A)Pp(A2)=-
P(B|A)=1-0.15=0.85,P(B|A2)=1-0.12=0.88则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A2)P(B|A2)
==x0.85+-X0.88=0.868
X
<
七、(7分)
丫=eX可能取值范围为[1,+^),Y的分布函数为FY(y)=P(Y<
y)=Pgx<
y)当y<
1时,FY(y)=O
当yx1时,Fy(y)=P(X<
Iny)=Fx(lny)5分
则丫的密度函数为
[FX(lny)]'
1。
八、(6分)
设X为100根钢材小于3m的钢材根数
贝yX~B(100,0.2)2分
E(X)=100天0.2=20,D(X)=100X0.2X0.8=16由中心极限定理:
X-2030-20
P(x兰30)=P気
2(2.5)=0.9938
九、(10分)
12
P(0<
Y<
2)=Ldx[12e*xFy)dy
=(1-r)(1-e」)
关于X的边缘分布:
fx(x)=Lf(x,y)dy
r3e-xx>
I0X兰0
同理关于丫的边缘分布:
fY(y)=©
(x,y)dx=J4®
I0
0
(3)因为
f(X,y)=fX(X)fY(y)(YcX<
母,一处<
yV母)
所以X与丫相互独立。
10分
十、(8分)
-be-be1x
E(X^^Lxf(x,y)dxd^^00
E(Y^^cLyf(x,y)dxd^0i
24
”12ydxdy=—
yj2ydxdy=-
-be-be1x21
E(XY)=L^xyfa,y)dxdy=([xy12ydxdy=?
E(XY)HE(X)E(Y),所以X与丫是相关的。
(7分)
E(X)
化日2x2X3ft2
=Lxf(x,&
)dx「0x^ydx^頁.品
令E(X)=-2Xi
nirn
0的矩估计为
十二、(5分)
因为cr=1,所以卩的置信度为0.95=1-0.05的置信区间为
(—d—CJ
(X-u创2—X+Ua/2—;
=
vn
JnJn
其中a=0.05,==0.025,u必=1.96,n=100,X=5
所求区间为(4.804,5.196)
X(以年计)服从参数为丄的指数分
4
布。
工厂规定,出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费设备净盈利
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- 概率论 数理统计 期末考试 试题 解答