四川省高考数学试题及答案文科版.doc
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四川省高考数学试题及答案文科版.doc
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2016年四川省高考数学试卷(文科)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( )
A.0 B.2 C.2i D.2+2i
2.设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.抛物线y2=4x的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0)D.(1,0)
4.为了得到函数y=sin(x+)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动个单位长度
5.设p:
实数x,y满足x>1且y>1,q:
实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=( )
A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2
7.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:
lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )
A.35 B.20 C.18 D.9
9.已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是( )
A. B. C. D.
10.设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)B.(0,2) C.(0,+∞)D.(1,+∞)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.sin750°= .
12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .
13.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .
14.若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,
则f(﹣)+f
(2)= .
15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:
①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中的a值;
(II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.
17.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(II)证明:
平面PAB⊥平面PBD.
18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(Ⅰ)证明:
sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.
19.(12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+
(Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2.
20.(13分)已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:
︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
21.(14分)设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:
当x>1时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
2016年四川省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.
1.【解答】解:
(1+i)2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i,
故选:
C.
2.【解答】解:
∵集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z={1,2,3,4,5}.
∴集合A∩Z中元素的个数是5.
故选:
B.
3.【解答】解:
抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),
故选:
D
4.【解答】解:
由已知中平移前函数解析式为y=sinx,平移后函数解析式为:
y=sin(x+),
可得平移量为向左平行移动个单位长度,
故选:
A
5.【解答】解:
由x>1且y>1,可得:
x+y>2,反之不成立:
例如取x=3,y=.
∴p是q的充分不必要条件.
故选:
A.
6.【解答】解:
f′(x)=3x2﹣12;
∴x<﹣2时,f′(x)>0,﹣2<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0;
∴x=2是f(x)的极小值点;又a为f(x)的极小值点;∴a=2.
故选D.
7.【解答】解:
设第n年开始超过200万元,则130×(1+12%)n﹣2015>200,
化为:
(n﹣2015)lg1.12>lg2﹣lg1.3,n﹣2015>=3.8.
取n=2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.
故选:
B.
8.【解答】解:
∵输入的x=2,n=3,
故v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1,
满足进行循环的条件,v=9,i=0,
满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1
不满足进行循环的条件,
故输出的v值为:
故选:
C
9.【解答】解:
如图所示,建立直角坐标系.
B(0,0),C,A.
∵M满足||=1,∴点P的轨迹方程为:
=1,
令x=+cosθ,y=3+sinθ,θ∈[0,2π).
又=,则M,
∴||2=+=+3sin≤.
∴||2的最大值是.
故选:
B.
10.【解答】解:
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0<x1<1<x2),
当0<x<1时,f′(x)=,当x>1时,f′(x)=,
∴l1的斜率,l2的斜率,
∵l1与l2垂直,且x2>x1>0,
∴,即x1x2=1.
直线l1:
,l2:
.
取x=0分别得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),
|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2.
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=,
∴|AB|•|xP|==.
∵函数y=x+在(0,1)上为减函数,且0<x1<1,
∴,则,∴.
∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).
故选:
A.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.【解答】解:
sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°=,
故答案为:
.
12.【解答】解:
由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S==,棱锥的高为h=1,∴棱锥的体积V=Sh==.
故答案为:
.
13.【解答】解:
从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,
基本事件总数n==12,
logab为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个,
∴logab为整数的概率p=.
故答案为:
.
14.【解答】解:
∵函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,
∴f
(2)=f(0)=0,
f(﹣)=f(﹣+2)=f(﹣)=﹣f()=﹣=﹣=﹣2,
则f(﹣)+f
(2)=﹣2+0=﹣2,
故答案为:
﹣2.
15.【解答】解:
①设A(0,1),则A的“伴随点”为A′(1,0),
而A′(1,0)的“伴随点”为(0,﹣1),不是A,故①错误,
②若点在单位圆上,则x2+y2=1,
即P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P(y,﹣x),
满足y2+(﹣x)2=1,即P′也在单位圆上,故②正确,
③若两点关于x轴对称,设P(x,y),对称点为Q(x,﹣y),
则Q(x,﹣y)的“伴随点”为Q′(﹣,),
则Q′(﹣,)与P′(,)关于y轴对称,故③正确,
④∵(﹣1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y=1上,
∴(﹣1,1)的“伴随点”为(,),即(,),
(0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1的“伴随点”为(,﹣),即(,﹣),
则(,),(1,0),(,﹣)三点不在同一直线上,故④错误,
故答案为:
②③
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.【解答】解:
(I)∵1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5,
整理可得:
2=1.4+2a,∴解得:
a=0.3.
(II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下:
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为
(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,
又样本容量=30万,则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万.
(Ⅲ)根据频率分布直方图,得;
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48<0.5,0.48+0.5×0.52=0.74>0.5,
∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x,
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5,解得x=0.038;
∴中位数是2+0.06=
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