目标规划典型例题Word格式.docx
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(1)检验及销售费用目标及约束
ming)
40x150x2d1d1
6000
(2)每月甲产品的销售目标及约束
min(d2)
x1d2d2100
(3)I、II两车间工时利用情况目标及约束
I车间
4%
min(d3)
X2d3d3
150,H车间
min(d4)
x13x2d4d4
200
(4)I车间加班时间目标及约束
min©
)
d3d5d530
(5)每月乙产品销售目标及约束
min
x2d6d680
根据优先等级层次,确定优先因子和权系数,得出目标规划的数学模型如下:
minZPidip?
d2卩3曲dj卩4小5Psde
40论50x2d1d16000
X|d2d2100
4x1x2d3d3150
s.tx13x2d4d4200
Xi,X20;
di,di0;
i1丄,6
——例6-2有三个产地向四个销地供应物资。
产地Ai(i=1,2,3)的供应量a、销地
Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间的单位物资运费Cj如表5-1所示。
表中,ai和bj的单位为吨,Cij的单位为元/吨。
编制调运方案时要求按照相应的优先级依次考虑下列六个目标:
P1:
B4是重点保证单位,其需要量应尽可能全部满足;
A3向B1提供的物资不少于100吨;
P3:
每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%;
实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%;
P5:
因路况原因,尽量避免安排A2的物资运往B4;
P6:
对B1和B3的供应率要尽可能相同;
试建立该问题的目标规划模型。
表6-1
仝
Ai
B1
B2
B3
B4
ai
A1
5
2
6
7
300
A2
3
4
A3
400
bj
100
450
250
解:
设Xij为从Ai运往Bj的运输量,首先求出当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费为2950元。
在各级目标中没有涉及到供应量,因此供应量构成硬约束:
xnx12x13x14300
X21
X22
X23
X24
X31
X32
X33
X34
根据各优先级目标,可写出相应的目标及目标约束。
B4是重点保证单位,其需要量应尽可能全部满足
mindi
x14X24x34d1d1250
P2:
A3向Bi提供的物资不少于100吨
mind2
X31d2
d2
每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%
min(d3
d4
d5)
X11
d3
-160
X12
x22
x32
80
X13
d5
360
实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的
mind6
34
Cjxijd6dg2950110%
i1j1
因路况原因,尽量避免安排A2的物资运往B4
mind7
x24d7d70
P6:
对B1和B3的供应率要尽可能相同
110%。
min(dada)
X11X21X31X13X23X33
200450
da
da0
综上所述,将该问题列成优先目标规划模型:
minz1d1,minz2d2,minz3d3d4d5
minz4d6
min
Z5
d7,minz6
d8
Xii
Xi2
Xi3
Xi4
X2i
X3i
di
TOO
i60
..7..
ijij
d6
3245
iiji
d7
(Xii
X3i)
(Xi3
X23X33)d8d8
题型II目标规划的图解法
目标规划的图解法就是通过图形来确定所给目标规划的满意解,虽然比较直
观,但因为是平面图,所以最多只能求解包含两个决策变量的目标规划问题。
其
解题步骤是:
第一步,建立直角坐标系,作出硬约束的限制区域;
第二步,作出其他约束条件当偏差变量为0时的图形,确定其它各约束条件的限制区域;
第三步,结合决策变量的可行围,按优先因子考察各偏差变量的变化对目标函数的影响,确定尽可能满足目标的满意解。
例6-3用图解法找出以下目标规划问题的满意解。
minZ
Pi(di
P2(2d2d3)
Xi
i0x2
50
3x-ist|
5x2
d:
220
8x1
6x2
ds
i00
为,X2,di,di0,i1,2,3
第一步,因为本题没有硬约束,所以先作出偏差变量为0时,各目标约
束所确定的直线,如图5-1所示。
第二步,按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响,确定约束条件所限定的xi,x2围。
要满足min(didi),只能在CD射线上取得满意解;
显然,在CD射线上,pi(didi)0。
其次,在CD射线上使p2(2d2d3)达到极小点
的只能是C点
第三步,确定满意解。
由图6-1可知,满意解为x;
50,x;
0
8x1+6x2=100
图6-1
例6-4用图解法找出以下目标规划问题的满意解
minZp1d2p-|d2
P3d
1
x12x2d1
10
10x112x2d2
s.t
62.4
2x!
x2
8
X1,X2,dj,d2
0,i
1,2
第一步
冃首先作出硬约束等式直线
AB:
2x1x28
第二步,再作出偏差变量为0时,各目标约束所确定的直线DI和CH,如图
6-2所示。
第三步,按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响,确定约束条
件所限定的X1,x2围。
要满足min(d;
d;
),并且满足硬约束2为x;
8所在围,只能在GC线段上取得满意解;
而要满足mind1,满意解又只能是在CE线段上。
由图6-2可得满意解为C(0,5.2)和E(0.6,4.7)连线上任一点。
X2*
图6-2
题型III目标规划的单纯形法
例6-5用单纯形法求以下目标规划问题的满意解
minZpd
Pid2
P2di
禺2x2
10x112x2
X2
Xi,X2,di
di
第一步,将原规划化为标准型
minZpi(d2
d2)
x12x2
st12
O.L
X38
Xi,X2,X3,di
第二步,取di,d2,X3为初始基变量,列初始单纯形表,如表6-2所示
表6-2
Cj
P2
Pi
i
aik
Cb
Xb
b
X3
[2]
-i
10/2
12
62.4/12
8/i
Cj-Zj
-10
-12
-2
第三步,取k=1,检查检验数的P1行的负数,取最小者-12对应的变量X2为换入变量,并用最小比值原则确定换出变量为di,见表6-3。
表6-3
bi
aki
CB
XB
xi
x2
i/2
-i/2
-
2.4
-6
⑹
2.4/6
3/2
3/(i/2)
Q-Zj
-4
第四步,还是取k=1,检查检验数的Pi行的负数,取最小值-6对应的变量di
为换入变量,并用最小比值规则确定换出变量d2,见表6-4。
表6-4
ak
5.2
5/6
i/i2
-i/i2
0.4
2/3
i/6
-i/6
2.8
7/6
C3-Zj
第五步,检查检验数的Pi行,P2行,都没有负数了,故得到满意解x*(0,5.2)t
且因为非基变量xi的检验数为0,所以存在多重解。
例6-6用单纯形法求解下列目标规划问题。
minZpi(2di3d2)p2d4p3d3
xix2didii0
x-id2d24
s.t5xi3x2d3d356
xix2d4d4i2
xi,x2,di,di0,ii,2,3,4
第一步:
该问题已经化为标准形,以di,d2,d3,d4为基变量,建立
初始单纯形表,如表6-5所示。
表6-5初始单纯性表
[i]
56
P3
-5
-3
第二步:
在表6-5中,检验数矩阵中第一列、第二列均有负数,因此此表对应的解不是满意解,需要进行迭代。
以xi为进基变量,d2为出基变量,进行基变换运算,结果如表6-6所示。
表6-6第一次迭代表
[1]
36
-1
第三步:
在表5-6中,检验数矩阵中第二列仍有负数,以X2为进基变量,di
为出基变量,进行基变换运算,结果如表6-7所示。
表6-7第二次迭代表
18
P1
在表6-7中,检验数矩阵中每一列第一个非零元素均为非负数,因此此表所对应的解为满意解。
满意解为(x1,x2)(4,6),目标达到情况是:
第一级目
标minZ1p1(2d13d2)0达到最优,第二级目标minZ2p2d40达到最优,
第三级目标minZ3pads18,没有达到最优。
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