高考数学25个必考点专题19椭圆检测Word格式.docx
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3.(20xx·
青岛月考)已知A1,A2分别为椭圆C:
+=1(a>
0)的左,右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
【解析】 设P(x0,y0),则×
=-,
化简得+=1,
则=,e===,故选D.
4.20xx年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:
①a1+c1=a2+c2;
②a1-c1=a2-c2;
③<
;
④c1a2>
a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
5.(20xx·
贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1B.C.2D.2
【解析】 设a,b,c分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,
依题意知,当三角形的高为b时面积最大,
所以×
2cb=1,bc=1,
而2a=2≥2=2
(当且仅当b=c=1时取等号),故选D.
6.若椭圆+=1(a>
0,b>
0)的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为________________.
【答案】 +=1
7.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________.
【答案】 7
【解析】 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,
从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
8.(20xx·
石家庄质检)椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________________.
【答案】 (-,)
【解析】 设椭圆上一点P的坐标为(x,y),
则=(x+,y),=(x-,y).
∵∠F1PF2为钝角,∴·
<
0,即x2-3+y2<
0,①
∵y2=1-,代入①得x2-3+1-<
0,x2<
2,∴x2<
.
解得-<
x<
,∴x∈(-,).
9.(20xx·
长沙模拟)已知过椭圆+=1(a>
0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P,交椭圆于点Q,若△AOP是等腰三角形,且=2,则椭圆的离心率为________.
【答案】
10.如图,椭圆C:
0)的右焦点为F,右顶点,上顶点分别为A,B,且|AB|=|BF|.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.
【答案】:
(1)求椭圆C的离心率;
(2)直线l的方程为2x-y+2=0.椭圆C的方程为+y2=1.
【解析】
(1)由已知|AB|=|BF|,即=a,
4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,∴e==.
(2)由
(1)知a2=4b2,∴椭圆C:
+=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
由消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.
Δ=322+16×
17(b2-4)>
0,解得b>
x1+x2=-,x1x2=.
∵OP⊥OQ,∴·
=0,
即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.
从而-+4=0,
解得b=1,满足b>
.∴椭圆C的方程为+y2=1.
二、能力提高题
1.(20xx·
济南质检)设A1,A2为椭圆+=1(a>
0)的左,右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·
=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.(0,)B.(0,)
C.(,1)D.(,1)
∵f(0)=-a2b2<
0,f(a)=0,如图,
Δ=(a3)2-4(b2-a2)·
(-a2b2)=a2(a4-4a2b2+4b4)=a2(a2-2b2)2≥0,
∴对称轴满足0<
-<
a,即0<
a,
∴<
1,∴>
.又0<
1,∴<
1,故选D.
2.(20xx·
天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
①求λ的值;
②若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.
(1)直线BF的斜率为2;
(2)λ=.椭圆方程为+=1.
(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
①由
(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,
整理得21x2-40cx=0,解得xQ=.
又因为λ=及xM=0,可得λ===.
②因为=,所以==,即|PQ|=|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=,所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.
又因为yP=2xP+2c=-c,所以|BP|==c,
因此c=,得c=1.
所以,椭圆方程为+=1.
长春调研)已知椭圆+=1(a>
0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点.过F,B,A三点的圆的圆心坐标为(p,q).
(1)当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;
(2)若点D(b+1,0),在
(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,(+)·
的最小值为,求椭圆的方程.
(1)≤e<
1.;
(2)椭圆的方程为+=1.
(2)当e=时,a=b=c,此时椭圆的方程为+=1,
设M(x,y),则-c≤x≤c,
所以(+)·
=x2-x+c2=(x-1)2+c2-.
当c≥时,上式的最小值为c2-,即c2-=,得c=2;
当0<
c<
时,上式的最小值为(c)2-c+c2,即(c)2-c+c2=,
解得c=,不合题意,舍去.
综上所述,椭圆的方程为+=1.
4.(20xx江苏高考18)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.
(2)①设直线l与圆O相切于,则,
所以直线l的方程为,即.
由,消去y,得.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
所以.
因为,所以.
因此,点P的坐标为.
点评.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.
5(20xx全国高考I卷19)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:
(2)当l与x轴重合时,.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,,
则,直线MA,MB的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以,.
则.
从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以.
综上,.
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